數(shù)學建模競賽必備資料

1、數(shù)學建模競賽必備資料一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題直接影響競賽答卷水平的一個重要問題是參賽者不能正確面對競賽題目。 1、以為賽題就是某領域中的一個“原原本本”的實際問 題，因而生搬硬套該領域的專門資料;2、心存僥幸，想“找捷徑”從網(wǎng)上下載自認為是直 接解答賽題的參考資料；3、沾沾自喜，認為賽題撞到槍口上用自己所學的 專業(yè)知識就能拿下；一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題5、僅僅從字面上理解賽題對參賽者的要求以致該做的 沒做、應答的未答；4、誤以為在答卷中所用的數(shù)學知識越高深、計算方法 越新潮，才越有水平；6、不注意揣摩命題人的意圖，忽視賽題具有的靈活性。一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 CUMCM章程的第二

2、條：“競賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學等方面經(jīng)過適當簡化加工的實際問題，不要求參賽者預先掌握深入的專門知識，只需要學過高等學校的數(shù)學課程。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。參賽者應根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設、建立和求解、計算方法的設計和計算機實現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文。”一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 結(jié)合歷年賽題，分四方面談談如何面對數(shù)模競賽賽題。 一、沉著面對 二、深入理解 三、準確把握 四、正確選題一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 一、沉著面對 競賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學等 方面尚未解決至少是尚未完全解決的實際問題。 一般不存在現(xiàn)成的解答。同

3、時，競賽題目是經(jīng) 過了適當簡化加工的實際問題，并不要求參賽 者預先掌握深入的專門知識，也不會讓某類專業(yè) 的參賽者“近水樓臺先得月” 。一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題例1.1 CUMCM-2004B題 (電力市場的輸電阻塞管理)充滿了“出力”、“潮流”、“清算價”、“阻塞”、“安全裕度”、等等專業(yè)術(shù)語，不得不查閱電力市場的輸電阻塞管理方面的專門知識。 其實不然，只要靜下心來一遍又一遍仔細地看了這道題之后，就會發(fā)現(xiàn)題目中使用的專業(yè)術(shù)語的含義已經(jīng)在題目中闡述得一清二楚了。 一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 經(jīng)驗告訴我們，完成CUMCM的賽題，并不要求參賽者預先掌握深入的專門知識。既然賽題已將復雜的實際問題

4、大大簡化（這是前進），那么，參賽者就不要反過來“將簡化后的賽題復雜化”（這是倒退）。參賽者憑已學過的基礎知識、已積累起來的常識，再加上賽前培訓補充的相關知識，通常就可將賽題“拿下”了。一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題例1.2 CUMCM-2009A題（制動器試驗臺的控制方法分析） 適當?shù)夭殚喣承┱撐?，或許有助于理解此題，但不可能找到此題的直接解答。這是由于為了形成這個賽題，命題者完全回避了溫度、壓力，因此是做了大幅度簡化的，與一般的這類實際問題已不一樣。正因為如此，無論參賽者學哪類專業(yè)，都不存在“沾光”或“吃虧”的差異。 一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 面對賽題應當沉著，既不要“望題生畏”，也不要“

5、心存僥幸”。試想，如果有這么一道賽題，眾多的參賽學生都無法下手；或者有那么一道賽題，會使少數(shù)專業(yè)的參賽學生大沾其光。那只能說明出題者沒水平或組委會失職。我可以負責地告訴大家，在CUMCM中，過去、現(xiàn)在以及未來都不可能發(fā)生這樣的事。一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 一道好的賽題所需要的專門知識不一定廣，所涉及的數(shù)學知識不一定深。做這樣的賽題更應當強調(diào)的是“面向?qū)嶋H”的指導思想。 基本知識扎實固然重要，而在建立模型、設計算法、計算機實現(xiàn)、分析計算結(jié)果以及撰寫論文等環(huán)節(jié)都能緊密結(jié)合所要解決的實際問題，才是最需要練就的本領(也是謀生的本領）。 參賽時最好能記住：你們是在做一件事，而不是在完成一道練習題。

6、一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題二、深入理解 參賽者對賽題理解的透徹程度，直接關系到所交論文的質(zhì)量水平。評閱者根據(jù)什么來判斷參 賽者對賽題的理解是否透徹呢？我認為主要看“基本假設”、 “建模及求解思路”等部分。一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 首先，“基本假設”起著舉足輕重的作用。根據(jù)不同的假設有可能得出不同的模型；不同深度的假設會導致不同水平的模型；不合理的假設顯然會偏離原題。例1.3 CUMCM-2003B題 (露天礦生產(chǎn)的車輛安排) 有一個至關重要的假設：“只考慮同一條路線上的車輛不發(fā)生等待”。這是因為，如果連這一點都做不到，那么等待就是“必然”的；而做到了這一點之后，不同路線上的車輛在某一裝點

7、（或卸點）是否出現(xiàn)等待將是“隨機”的。 一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 該題的背景是城市公交路徑查詢系統(tǒng)的研制。該題僅提出“應該從實際情況出發(fā)，滿足查詢者的各種不同要求”，并沒有對“什么樣的路徑為最優(yōu)”提出明確的要求，需要參賽者自己去思考。雖然體現(xiàn)了開放性，但是并不難。 其次，務必弄清楚“應當對什么問題建?！?。例1.4 CUMCM-2007B題 （乘公交，看奧運）一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 稍加思考便能找出三種主要的要求：換乘次數(shù)最少，行程總時間最短，乘車總費用最省。顯而易見此題是一個多目標優(yōu)化問題。 然而怎樣對待查詢者的各種不同要求呢？過分強調(diào)某一目標（如換乘次數(shù)），或者把三個目標通過加權(quán)合

8、成轉(zhuǎn)化為單目標，都是不合理的，因為不符合實際。 應當按不同目標的各種字典順序，分別建立不同的優(yōu)化模型。 一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 最后，模型求解的方法，無論是自己設計的，還是選用現(xiàn)成的，都應當遵循從實際出發(fā)的原則，所用的方法要有針對性。 CUMCM-2009A題（制動器試驗臺的控制方法分析） 近幾年，一些賽題的數(shù)據(jù)，往往先運用擬合、插值、灰色預測等方法。有的參賽者似乎掌握了“套路”，或者是有了某種“慣性”。見到此題給的離散數(shù)據(jù)，馬上來 一番擬合或插值，接下去卻派不上用場，顯得十分荒唐。這道題的離散數(shù)據(jù)就是直接在離散情況下使用的。一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題三、準確把握 賽題通常由背景、問題

9、、信息這三部分組成。 要領會賽題對參賽者的要求，不能只看賽題的“問題”部分，一定要看賽題的從標題到附件的全部內(nèi)容；如果僅僅從字面上去理解賽題對參賽者的要求那是不夠的。 好的參賽隊還應當注意揣摩命題人的意圖，利用賽題具有的靈活性，發(fā)揮出本隊的優(yōu)勢。 一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 準確把握賽題的意圖，就是要明確：“這道題要參賽者做什么事？”“在該題的答卷中需要回答哪些問題？” 簡潔地說，就是明確 做什么？ 答什么？一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題必須按照實際問題的需要去做，并且按照實際問題的需要給出結(jié)果。例1.5 CUMCM-2003B題 (露天礦生產(chǎn)的車輛安排)這是一個優(yōu)化問題，用數(shù)學方法可求得目標

10、函數(shù)的最優(yōu)值以及相應的決策變量。但是，答卷在表述最終結(jié)果時，應當按照題目的要求具體給出“一個班次的生產(chǎn)計劃”： 動用幾臺電鏟，在哪幾個鏟位作業(yè)；出動多少量自卸卡車，分別運行在哪幾條線路上。如果這樣安排，那么一個班次就能生產(chǎn)多少礦石、多少巖石；總運量是多少等等。一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 此題所給的數(shù)據(jù)有一些是用不上的，一些參賽隊誤以為“題目給的數(shù)據(jù)不用是不行的”，以致為了用數(shù)據(jù)而湊方法；甚至在答卷中質(zhì)問：“題目給出這些數(shù)據(jù)的目的何在？”。 做什么？怎樣做？都應當符合實際問題的需要。 例1.6 CUMCM-2010A題 （儲油罐的變位識別與罐容表標定 ）一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題四、正確選題

11、 數(shù)學建模競賽的賽題都是將某一領域的實際問題經(jīng)過簡化加工而形成的，是該領域尚未解決或尚未完全解決的問題。 賽題通常包括背景、問題和信息三個部分。其中信息可能是若干參數(shù)或一些數(shù)據(jù)（甚至是“海量” 數(shù)據(jù)），也可能是圖形（包括數(shù)字化圖形）。 一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 參賽時選哪個題？選難度較低的賽題，未必能做出水平，你認為做得挺好，其實別人可能做得更好；選難度較高的賽題，未必就做不出水平，這種題富有挑戰(zhàn)性，更能激發(fā)你的創(chuàng)造性，你認為做得不怎么樣，其實別人不一定能超過你。一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 數(shù)學建模競賽的評卷不是“過等級”而是“排座次”。在做同一個賽題的所有答卷中，對難度較低的賽題而言往

12、往是“從高的里面挑更高的”；對難度較高的賽題而言往往是“在低的里面找較高的”。中國研究生數(shù)學建模競賽特別強調(diào)，評卷時將向難度較大的賽題傾斜。一、如何面對數(shù)學建模競賽賽題 因此，“避重就輕”或“寧重勿輕”都是不明智的。 應當從本隊成員的實際情況出發(fā)，以有利于發(fā)揮三個人的綜合優(yōu)勢為原則，選擇賽題。 二、數(shù)學建模競賽中的常用算法題號98A98B99A99B賽題投資的收益和風險災情巡視路線自動化車床管理鉆井布局數(shù)學工具優(yōu)化離散優(yōu)化概率,優(yōu)化優(yōu)化應用領域金融公用管理工業(yè)管理工業(yè)管理專業(yè)要求低低中低開放度中低低低二、數(shù)學建模競賽中的常用算法題號00A00B01A01B賽題DNA序列分類鋼管定購和運輸血管的

13、三維重建公交車調(diào)度數(shù)學工具統(tǒng)計優(yōu)化計算機圖形學優(yōu)化應用領域生物工業(yè)管理醫(yī)學公用管理專業(yè)要求中低中低開放度高低中中二、數(shù)學建模競賽中的常用算法題號02A02B03A03B賽題車燈線光源的優(yōu)化設計彩票中的數(shù)學SARS的傳播露天礦生產(chǎn)的車輛安排數(shù)學工具優(yōu)化,幾何概率,優(yōu)化方程,優(yōu)化優(yōu)化應用領域光學公用管理醫(yī)學工業(yè)管理專業(yè)要求高低中低開放度低高高低二、數(shù)學建模競賽中的常用算法題號04A04B05A05B賽題奧運會臨時超市網(wǎng)點設計電力市場的輸電阻塞管理長江水質(zhì)的評價和預測 DVD在線租賃數(shù)學工具統(tǒng)計,優(yōu)化優(yōu)化,統(tǒng)計統(tǒng)計,方程優(yōu)化應用領域公用管理工業(yè)管理環(huán)保商業(yè)專業(yè)要求低中中低開放度高低高中二、數(shù)學建模競

14、賽中的常用算法題號06A06B07A07B賽題出版社的資源配置 艾滋病療法的評價及療效的預測 中國人口增長預測 乘公交，看奧運 數(shù)學工具統(tǒng)計,優(yōu)化統(tǒng)計統(tǒng)計,方程統(tǒng)計,優(yōu)化應用領域商業(yè)醫(yī)學社會公用管理專業(yè)要求低高低低開放度高低高中二、數(shù)學建模競賽中的常用算法題號08A08B09A09B賽題數(shù)碼相機定位高等教育學費標準探討制動器試驗臺的控制方法分析眼科病床的合理安排數(shù)學工具方程,優(yōu)化統(tǒng)計,回歸方程動態(tài)規(guī)劃,優(yōu)化應用領域商業(yè)社會商業(yè)醫(yī)學專業(yè)要求高低中低開放度低高低高二、數(shù)學建模競賽中的常用算法1. 蒙特卡羅方法(Monte-Carlo方法, MC) 該算法又稱計算機隨機性模擬方法，也稱統(tǒng)計試驗方法。

15、MC方法是一種基于“隨機數(shù)”的計算方法，能夠比較逼真地描述事物的特點及物理實驗過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題。 MC方法的雛型可以追溯到十九世紀后期的蒲豐隨機投針試驗，即著名的蒲豐問題。 MC方法通過計算機仿真(模擬)解決問題，同時也可以通過模擬來檢驗自己模型的正確性，是比賽中經(jīng)常使用的方法。二、數(shù)學建模競賽中的常用算法CUMCM-1997A題 零件的參數(shù)設計每個零件都有自己的標定值，也都有自己的容差等級，而求解最優(yōu)的組合方案將要面對著的是一個極其復雜的公式和108種容差選取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最優(yōu)的方案呢？隨機性模擬搜索最優(yōu)方案就是其中的一種方法，在每個零件可行的區(qū)

16、間中按照正態(tài)分布隨機的選取一個標定值和選取一個容差值作為一種方案，然后通過蒙特卡羅算法仿真出大量的方案，從中選取一個最佳的。CUMCM-2002B題 彩票中的數(shù)學關于彩票第二問，要求設計一種更好的方案，首先方案的優(yōu)劣取決于很多復雜的因素，同樣不可能刻畫出一個模型進行求解，只能靠隨機仿真模擬。二、數(shù)學建模競賽中的常用算法2. 規(guī)劃類問題算法 此類問題主要有線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等。競賽中很多問題都和數(shù)學規(guī)劃有關，可以說不少的模型都可以歸結(jié)為一組不等式作為約束條件、幾個函數(shù)表達式作為目標函數(shù)的問題，遇到這類問題，求解就是關鍵了。CUMCM-1998B題 災情巡視路線 用很多不等式完

17、全可以把問題刻畫清楚 因此列舉出規(guī)劃后用Lingo 等軟件來進行解決比較方 便，所以還需要熟悉這個軟件。二、數(shù)學建模競賽中的常用算法3. 圖論問題 這類問題算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等問題。CUMCM 1994 B 題（鎖具裝箱）、2000 B 題（鋼管訂購與運輸）、1998B 題（災情巡視路線）等問題體現(xiàn)了圖論問題的重要性。二、數(shù)學建模競賽中的常用算法4. 計算機算法設計中的問題 計算機算法設計包括很多內(nèi)容：動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分枝定界等計算機算法.CUMCM1992 年B 題用分枝定界法CUMCM1997

18、年B 題是典型的動態(tài)規(guī)劃問題CUMCM1998 年B 題體現(xiàn)了分治算法 這方面問題和ACM 程序設計競賽中的問題類似，可看一下與計算機算法有關的書。二、數(shù)學建模競賽中的常用算法5. 最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法:模擬退火法 (SA)、神經(jīng)網(wǎng)絡(NN)、遺傳算法(GA) 近幾年的賽題越來越復雜，很多問題沒有什么很好的模型可以借鑒，于是這三類算法很多時候可以派上用場。CUMCM 1997年A 題用模擬退火算法CUMCM 2000年B 題用神經(jīng)網(wǎng)絡分類算法CUMCM 2001年B 題這種難題也可以使用神經(jīng)網(wǎng)絡目前算法最佳的是遺傳算法。二、數(shù)學建模競賽中的常用算法6. 網(wǎng)格算法和窮舉算法CUMCM 19

19、97 A 題、1999 B 題都可以用網(wǎng)格法搜索 網(wǎng)格算法和窮舉法一樣，只是網(wǎng)格法是連續(xù)問題的窮舉。此類算法運算量較大。 這種方法最好在運算速度較快的計算機中進行，還有要用高級語言來做，最好不要用MATLAB 做網(wǎng)格，否則會算很久的。二、數(shù)學建模競賽中的常用算法7. 連續(xù)問題離散化的方法 很多問題都是實際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計算機只能處理離散的數(shù)據(jù)，因此需要將連續(xù)問題進行離散化處理后再用計算機求解。比如差分代替微分、求和代替積分等思想都是把連續(xù)問題離散化的常用方法。二、數(shù)學建模競賽中的常用算法8. 數(shù)值分析方法 數(shù)值分析研究各種求解數(shù)學問題的數(shù)值計算方法，特別是適合于計算機實現(xiàn)方法與算法

20、。 它的主要內(nèi)容包括函數(shù)的數(shù)值逼近、數(shù)值微分與數(shù)值積分、非線性方程的數(shù)值解法、數(shù)值代數(shù)、常微分方程數(shù)值解等。數(shù)值分析是計算數(shù)學的一個重要分支，把理論與計算緊密結(jié)合，是現(xiàn)代科學計算的基礎 。 MATLAB等數(shù)學軟件中已經(jīng)有很多數(shù)值分析的函數(shù)可以直接調(diào)用。二、數(shù)學建模競賽中的常用算法9. 圖象處理算法CUMCM 2001A 題（血管的三維重建）CUMCM 2013B 題（碎紙片的拼接）需要你會讀BMP 圖象賽題中有一類問題與圖形有關，即使問題與圖形無關，論文中也會需要圖片來說明問題，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使MATLAB進行處理。 數(shù)模論文中也有很多圖片需要展示，解決這

21、類問題要熟悉MATLAB圖形圖像工具箱。二、數(shù)學建模競賽中的常用算法10. 數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法CUMCM 1994 年A 題逢山開路 山體海拔高度的插值計算1998 年美國賽A 題 生物組織切片的三維插值處理CUMCM 2011 年A 題 城市表層土壤重金屬污染分析 比賽中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關鍵就在于這些算法，通常使用MATLAB 作為工具。與圖形處理有關的問題很多與擬合有關系。 此類問題在MATLAB中有很多函數(shù)可以調(diào)用，只有熟悉MATLAB，這些方法才能用好。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法曲線插值與擬合數(shù)值微分與積分微分方程數(shù)值解回歸分析判別分

22、析三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法1. 曲線插值與擬合一維插值對表格給出的函數(shù)，求出沒有給出的函數(shù)值。在實際工作中，經(jīng)常會遇到插值問題。下表是待加工零件下輪廓線的一組數(shù)據(jù)，現(xiàn)需要得到x坐標每改變0.1時所對應的y的坐標.三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法下面是插值的兩條命令(專門用來解決這類問題)：y=interp(x0,y0,x,method)分段線性插值y=spline(x0,y0,x) 三次樣條插值x0,y0是已知的節(jié)點坐標，是同維向量。y對應于x處的插值，y與x是同維向量。method可選nearest(最近鄰插值),linear(線性插值),spline(三次樣條插值),cubic(三

23、次多項式插值)三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法解決上述問題，我們可分兩步: 用原始數(shù)據(jù)繪圖作為選用插值方法的參考. 確定插值方法進行插值計算x0=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15;y0=0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6;plot(x0,y0); %完成第一步工作x=0:0.1:15;y=interp(x0,y0,x); %用分段線性插值完成第二步工作plot(x,y);y=spline(x0,y0,x); plot(x,y); %用三次樣條插值完成第二步工作三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法MATLAB中二維插值的命令是：z=interp

24、2(x0,y0,z0,x,y,meth)二維插值三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法temps=82,81,80,82,84;79,63,61,65,87;84,84,82,85,86;mesh(temps)%根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出溫度分布圖，可看到此圖的粗造度。在一個長為5個單位，寬為3個單位的金屬薄片上測得15個點的溫度值，試求出此薄片的溫度分布，并繪出等溫線圖。（數(shù)據(jù)如下表）三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法下面開始進行二維函數(shù)的三階插值。mesh(width,depth,temps); %根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出溫度分布圖，可看到此圖的粗造度。 width=1:5; depth=1:3; di=1:0.2

25、:3; wi=1:0.2:5; WI,DI=meshgrid(wi,di); %生成x-y平面上的網(wǎng)格點矩陣ZI=interp2(width,depth,temps,WI,DI,cubic); % 對數(shù)據(jù)（width,depth,temps）進行三階插值擬合。surf(WI,DI,ZI);%可實現(xiàn)對網(wǎng)格曲面片著色，將網(wǎng)格曲面轉(zhuǎn)化為實曲面contour(WI,DI,ZI); %三維圖形等高線三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法曲線擬合假設一函數(shù)g(x)是以表格形式給出的，現(xiàn)要求一函數(shù)f(x)，使f(x)在某一準則下與表格函數(shù)（數(shù)據(jù)）最為接近。由于與插值的提法不同，所以

26、在數(shù)學上理論根據(jù)不同，解決問題的方法也不同。此處，我們總假設f(x)是多項式。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法問題：彈簧在力F的作用下伸長x厘米。F和x在一定的范圍內(nèi)服從胡克定律。試根據(jù)下列數(shù)據(jù)確定彈性系數(shù)k,并給出不服從胡克定律時的近似公式。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法解題思路：可以用一階多項式擬合求出k，以及近似公式。在MATLAB中，用以下命令擬合多項式。polyfit（x0,y0,n）一般，也需先觀察原始數(shù)據(jù)的圖像，然后再確定擬合成什么曲線。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法對于上述問題,可鍵入以下的命令:x=1,2,4,7,9,12,13,15,17; F=1.5,3.9,6.6,

27、11.7,15.6,18.8,19.6,20.6,21.1; plot(x,F,.)從圖像上我們發(fā)現(xiàn):前5個數(shù)據(jù)應與直線擬合,后5個數(shù)據(jù)應與二次曲線擬合。于是鍵入 : a=polyfit(x(1:5),F(1:5),1); a=polyfit(x(5:9),F(5:9),2);三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法注意：有時，面對一個實際問題，究竟是用插值還是用擬合不好確定，還需大家在實際中仔細區(qū)分。同時，大家（包括學過計算方法的同學）注意去掌握相應的理論知識。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法2. 數(shù)值微分與積分先看一個例子：現(xiàn)要根據(jù)瑞士地圖計算其國土面積。于是對地圖作如下的測量：以東西方向為橫軸，

28、以南北方向為縱軸。（選適當?shù)狞c為原點）將國土最西到最東邊界在x軸上的區(qū)間劃取足夠多的分點xi，在每個分點處可測出南北邊界點的對應坐標y1 ，y2。用這樣的方法得到下表根據(jù)地圖比例知18mm相當于40km，試由上表計算瑞士國土的近似面積。（精確值為41288km2）。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法解題思路：數(shù)據(jù)實際上表示了兩條曲線，實際上我們要求由兩曲線所圍成的圖形的面積。解此問題的方法是數(shù)值積分的方法。具體解時我們遇到兩個問題：1、數(shù)據(jù)如何輸入；2、沒有現(xiàn)成的命令可用。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法對于第一個問題，我們可把數(shù)據(jù)拷貝成M文件（或純文本文件）。然

29、后，利用數(shù)據(jù)繪制平面圖形。load mianji.txtA=mianji;plot(A(:,1),A(:,2),r,A(:,1),A(:,3),g)三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法接下來可以計算面積。鍵入：a1=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,2)*40/18);%梯形法求數(shù)值積分a2=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,3)*40/18);d=a2-a1;d = 4.2414e+004; %精確值為41288三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法至此，問題可以說得到了解決。之所以說還有問題，是我們覺得誤差較大。但計算方法的理論給了我們更精確計算方法。只是MATLAB沒有相應

30、的命令。想得到更理想的結(jié)果，我們可以自己設計解決問題的方法。（可以編寫辛普森數(shù)值計算公式的程序，或用擬合的方法求出被積函數(shù)，再利用MATLAB的命令quad,quad8）三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法3. 微分方程數(shù)值解單擺問題的數(shù)學模型是在初始角度不大時,問題可以得到很好地解決,但如果初始角較大,此方程無法求出解析解.現(xiàn)問題是當初始角為100和300時,求出其解,畫出解的圖形進行比較。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法解:若0較小,則原方程可用 來近似.其解析解為(t)=0cost, . 若不用線性方程來近似,那么有兩個模型:三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法取g=9.8,l=25, 100=

31、0.1745, 300=0.5236.用MATLAB求這兩個模型的數(shù)值解,先要作如下的處理:令x1=,x2=,則模型變?yōu)槿?、?shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法再編函數(shù)文件(danbai.m)function xdot=danbai(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=x(2);xdot(2)=-9.8/25*sin(x(1);在命令窗口鍵入()t,x=ode45(danbai,0:0.1:20,0.1745,0);t,y=ode45(danbai,0:0.1:20,0.5236,0);plot(t,x(:,1),r,t,y(:,1),k);三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法4. 回

32、歸分析前面我們曾學過擬合。但從統(tǒng)計的觀點看，對擬合問題還需作回歸分析。例如：有描述問題甲和問題乙的兩組數(shù)據(jù)(x,y)和(x,z)。設x=1,2, 3,4,5; y=1.0, 1.3, 1.5, 2.0, 2.3; z=0.6,1.95,0.9,2.85,1.8。如果在平面上畫出散點圖，那么問題甲的四個點基本在一條直線上而問題乙的四個點卻很散亂。如果都用命令polyfit(x,y,1)，polyfit(x,z,1)來擬合，將得到同一條直線。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法自然對問題甲的信任程度會高于對問題乙的信任程度。所以有必要對所得結(jié)果作科學的評價分析?；貧w分析就是解決這種問題的科學方法。下面

33、結(jié)合三個具體的例子介紹MATLAB實現(xiàn)回歸分析的命令。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法合金強度y與其中含碳量x有密切關系，如下表根據(jù)此表建立y(x)，并對結(jié)果作可信度進行檢驗、判斷x對y影響是否顯著、檢查數(shù)據(jù)中有無異常點、由x的取值對y作出預測。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法在x-y平面上畫散點圖，直觀地知道y與x大致為線性關系。用命令polyfit(x,y,1)可得y=140.6194x+27.0269。作回歸分析用命令b,bint,r,rint,ststs=regress(y,x,alpha) 可用help查閱此命令的具體用法殘差及置信區(qū)間可以用rcoplot(r,rint)畫圖三、數(shù)學

34、建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法設回歸模型為 y=0+1x,在MATLAB命令窗口中鍵入下列命令進行回歸分析(px_reg11.m)x1=0.1:0.01:0.18;x=x1,0.2,0.21,0.23;y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5;X=ones(12,1),x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X,0.05);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法得結(jié)果和圖b = 27.0269 140.6194bint = 22.3226 31.7313 111.7842

35、169.4546stats = 0.9219 118.0670 0.0000 3.1095三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法結(jié)果含義為0=27.0269 1=140.61940的置信區(qū)間是 22.3226,31.73131的置信區(qū)間是 111.7842,169.4546R2=0.9219 F=118.0670, p10-4.R是衡量y與x的相關程度的指標，稱為相關系數(shù)。R越大，x與y關系越密切。通常R大于0.9才認為相關關系成立。F是一統(tǒng)計指標p是與F對應的概率，當 p0.05時，回歸模型成立。此例中 p=0 10-40.05，故所得回歸模型成立。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法觀察所得殘差分布

36、圖，看到第8個數(shù)據(jù)的殘差置信區(qū)間不含零點，此點視為異常點，剔除后重新計算。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法此時鍵入:(px_reg12.m)X(8,:)=;y(8)=;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)據(jù)處理方法b = 27.0992 137.8085bint = 23.8563 30.3421 117.8534 157.7636stats = 0.9644 244.0571 0.0000 1.4332可以看到：置信區(qū)間縮?。籖2、F變大，所以應采用修改后的結(jié)果。三、數(shù)學建模競賽中的數(shù)

37、據(jù)處理方法5. 判別分析判別分析是判別樣品所屬類型的一種統(tǒng)計方法，其應用之廣泛可與回歸分析媲美。判別分析與聚類分析不同。判別分析的分類距離判別法Fisher 判別法MATLAB中還包括神經(jīng)網(wǎng)絡工具箱，小波分析工具箱，在網(wǎng)上還可以下載遺傳算法工具箱，有興趣的同學可以借這次機會，結(jié)合學習MATLAB，好好學習一下相關理論知識。四、數(shù)學建模競賽論文的撰寫 寫好答卷的重要性 1、答卷是評定競賽成績的主要依據(jù)。 2、答卷是競賽活動成果的體現(xiàn)。 3、寫好答卷是科技寫作的訓練。 競賽論文的結(jié)構(gòu)1、摘要2、問題重述3、問題分析4、符號說明5、模型假設6、模型建立7、模型求解8、模型結(jié)果分析9、模型優(yōu)缺點10、

38、改進方向11、參考文獻12、附錄1、摘要寫作要求內(nèi)容：簡要論述本文所要解決的問題及意義，解決問題的思路與方法、主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果或結(jié)論），建模的創(chuàng)新之處與特色等。注1：全國競賽組委會已加大對摘要在評獎中的比重。注2：摘要通常不超過一頁注3：摘要要能吸引評委的眼球，能表達全文的概貌、要點、特色，要回答題目要求的全部問題。2、問題重述問題重述部分是要保持全文的完整性，要求用自己的語言將賽題重述一遍，可以簡單地有刪有增地重述。這一部分相對不太重要，有的論文只是將題目copy上去就完了。3、問題分析這一部分的任務是對賽題作一全面的分析，說明題目要求解決的是什么問題，解決問題的關鍵是什么，解決問題的思路

39、、大致步驟，是建立模型之前的必要準備。要點：弄清題意，梳理解決問題的思路。注：也可將這一部分歸入模型建立。在問題分析推導過程要注意的問題：（1）分析：中肯、確切；（2）術(shù)語：專業(yè)、內(nèi)行；（3）原理、依據(jù)：正確、明確；（4）表述：簡明，關鍵步驟要列出忌：外行話，專業(yè)術(shù)語不明確，表述混亂，冗長。4、符號說明論文中所用到每一個數(shù)學符號，都必須在此說明它們各自的含義，一個符號說明用一個自然段，全部符號說明形成一個自然節(jié)。例： Yi第i年的產(chǎn)值。 Xj 第i年的成本。5、模型假設假設的合理性是評閱的一個重要指標，如何作假設？從題目所給條件中作假設從題目的要求中作假設注：作假設要切合題意，關鍵性假設不可缺，不要羅列一大堆無用的假設。6、模型建立基本模型每一篇論文都必須有一個模型！常見問題：很多參賽隊的論文通篇沒有一個模型，只是用湊的辦法弄出一個結(jié)果。數(shù)學模型：可以是一個（組）公式、算法、圖表等數(shù)學結(jié)構(gòu)。強調(diào)：模型意識?；灸Ｐ停和ǔＪ墙?/p>