三垂線定理及其逆定理

1、垂線定理及其逆定 理 99419三垂線定理及其逆定理知識點(diǎn)：.三垂線定理；.三垂線定理的逆定理;.綜合應(yīng)用；教學(xué)過程：.三垂線定理：平面內(nèi)一條直線，如果和這個平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線就和這條斜線垂直;已知：PA,PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面 的射影，a求證：a PO ；證明:說明:(1)線射垂直（平面問題）線斜垂直（空間問題）；(2)證明線線垂直的方法:定義法；線線垂直判定定理；三垂線定理;(3)三垂線定理描述的是PO斛線）、AO酎影）、a（直線）之間的垂直關(guān)系。(4)直線a與PO可以相交，也可以異面。(5)三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直

2、線垂直的判定定理。例1.已知P是平面ABC外一點(diǎn)，PA ABC, AC BC。求證：PC BC o例2.已知PA 正方形ABCD所在平面，。為對角線BD的中點(diǎn) 求證：PO BD,PC BD。例4.在正方體ACi中，求證：AC BiDi,ACBCi ;.寫出三垂線定理的逆命題，并證明它的正確性;命題：已知：求證：證明：說明：例2.在空間四邊形ABCDfr,設(shè)AB CD, AC BD求證：(1) AD BC;(2)點(diǎn)A在底面BCDt的射影是 BCD的垂心；例3.求證：如果一個角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在 這個角的平分線上已知：P求證：說明：可以作為定理來用例5.已

3、知：Rt ABC中， A ,AB 3,AC 4, PA是面ABC的斜線, 2PAB PAc 。 3求PA與面ABCff成的角的大??；(2)當(dāng)PA的長度等于多少的時(shí)候，點(diǎn) P在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在邊BC上;作業(yè):.正方體 ABCD AiBiCiDi , E,F 分別是 AA,AB 上的點(diǎn)，ECi EF .求證：EF EBi o.已知：PA 平面PBC , PB PC,M是BC的中點(diǎn)。求證：BC AM ;.填空并證明：(1)在四面體ABCDK對棱互相垂直,則A在底面BCD的射影是底面BCD勺 心。(2)在四面體ABCm，AR AC、AD互相垂直，則 A在底面BCD1的射影是底面BCD的 心(3)在四面體ABCm，AB=AC=AD則A在底面BCD1的射影是底面BCD的 心。(4)在四面體ABC時(shí)，頂點(diǎn)A到BG CD DB的距離相等,則A在底面BCD上的射影是底面BCDW 心。.正方體ABCD A1B1cl D1中棱長a ,點(diǎn)P在AC上，Q在BC上，AD B岸a,(1)求直線PQ與平面ABC所成角的正切值；(2)求證：PCLAD.在正方體 ABCD A1B1C1D1中，設(shè)E是棱AA1上的點(diǎn)，且A1E: EA 1:2, F是棱AB上的 點(diǎn)，C1EF -0 求 AF: FB。.點(diǎn)P是 ABC所在平面外一點(diǎn)，且 PAL平面 ABC若。和Q分別是A ABC和A PBC的垂 心，試證：OQL