泛函分析重要內(nèi)容

1、-. z.們同意前人的提法，認(rèn)為線性泛函與無(wú)窮維空間上引進(jìn)坐標(biāo)的思想有關(guān)，而對(duì)偶理論則有如無(wú)窮維線性空間上的解析幾何學(xué)。Chp.1 距離線性空間SS1. 選擇公理，良序定理，佐恩引理有序集的定義：1假設(shè)a在b之先，則b便不在a之先。2假設(shè)a在b之先，b在c之先，則a在c之先。這種先后關(guān)系記作 良序集：A的任何非空子集C都必有一個(gè)屬于C的最先元素。良序集的超限歸納法：1 為真，這里是A中最先的元素。2 對(duì)一切,為真，則 亦真則 對(duì)一切皆真。選擇公理 設(shè) N=N是一個(gè)非空集合構(gòu)成的族，則必存在定義在N上的函數(shù)f，使得對(duì)一切N 都有局部有序稱元素族*是局部有序的，如果在其中*些元素對(duì)a,b上有二元關(guān)

2、系，它據(jù)有性質(zhì)：例如*中包換關(guān)系在局部有序集下，有上界、極大元和完全有序其中完全有序的C： 。例如 在復(fù)數(shù)域中，按大小關(guān)系定義兩個(gè)復(fù)數(shù)的關(guān)系，則復(fù)平面是局部有序的，實(shí)軸、虛軸是完全有序的。佐恩引理 設(shè)*非空的局部有序集，如果*的任何完全有序子集都有一個(gè)上界在*中，則*必含有極大元。從現(xiàn)代觀點(diǎn)來(lái)看，泛函分析研究的主要是研究實(shí)數(shù)域或者復(fù)數(shù)域上的完備賦線性空間。SS2. 線性空間，哈邁爾Hamel基線性空間的定義：加法交換、加法結(jié)合、有零元，有負(fù)元、有單位元等。線性流形：線性空間中的非空子集，如果它加法封閉、數(shù)乘封閉。線性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中mM, nN。線性流形的直和：

3、如果MN=,則以代替M+N如果,則稱M與N是代數(shù)互補(bǔ)的線性流形。于是有下述定理：定理2.1 設(shè)M,N是線性空間*的線性流形，則當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)*都有唯一的表達(dá)式 *=m+n, mM,nN.定理2.2 假設(shè)，則 dim*=dimM+dimNHamel基的定義：設(shè)*是具有非零元的線性空間，*的子集H稱為*的Hamel基，如果1 H是線性無(wú)關(guān)的。2 H成的線性流形是整個(gè)空間。則有Hamel基和線性無(wú)關(guān)子集的關(guān)系：定理2.3 設(shè)*是線性空間，S是*中任意的線性無(wú)關(guān)子集，則存在*的一個(gè)Hamel基使得 推論 任何非零線性空間必有Hamel基由定理2.3，可有定理2.4 設(shè)M是線性空間*的線性流形，則必有線

4、性流形 使得，即N是M的代數(shù)補(bǔ)。SS3 距離空間度量空間，距離線性空間定義了距離滿足正定性、對(duì)稱性和三角不等式的映射d(*,y)的空間即為距離空間，記為按距離收斂： 設(shè)距離空間中的點(diǎn)列使得 ,則稱按d(，)收斂到*，簡(jiǎn)記為距離線性空間：設(shè)賦有距離d(,)的線性空間*滿足12距離線性空間的例子例1 有界序列空間m設(shè)*代表所有有界數(shù)列的集合，設(shè)定義加法和數(shù)乘：以及距離：則它是一個(gè)線性距離空間例2 收斂序列空間c元素、加法、數(shù)乘和距離定義同上，序列有極限。例3 本質(zhì)有界可測(cè)函數(shù)空間定義加法和數(shù)乘：(*+y)(t)=*(t)+y(t), (a*)(t)=a*(t)以及距離： d(*,y)=essup|

5、*(t)-y(t)|例4 所有序列空間s元素、加法和數(shù)乘定義同例1，距離 例5 空間設(shè)*代表滿足條件的所有數(shù)列的集合，加法和數(shù)乘同例1，距離為 SS4 距離空間中的拓?fù)?，可分空間中，球、開集、鄰域、閉集、點(diǎn)、部的概念同拓?fù)?。其中，極限點(diǎn)的概念相當(dāng)于拓?fù)鋵W(xué)中的聚點(diǎn)，連續(xù)函數(shù)的定義和拓?fù)湟彩且恢碌?。稠密：設(shè)是距離空間，S包含于*稱為稠密的，如果任給.空間*稱為可分的，如果*有一個(gè)可數(shù)的稠密集。例5、 所有序列空間s是可分的；有界序列空間m，例3是可分的。SS5 完備距離空間完備性：稱是完備的，假設(shè)對(duì)任意的柯西序列都收斂。例 C0,1:所有復(fù)值連續(xù)函數(shù)的集合， 是完備的。定義與例3一樣的加法和數(shù)乘，

6、定義距離 d(*,y)=ma*|*(t)-y(t)|，則它是線性距離空間，稱為連續(xù)函數(shù)空間完備化：對(duì)距離空間，假設(shè)有完備的距離空間,使*等距于， 即有,且T(*)是中的稠密子集，則 為*的完備化。進(jìn)一步，有定理定理5.1 任何距離空間都存在完備化SS6 列緊性列緊：中集合M是列緊的，如果M中任何序列都有收斂子列。 閉的列緊集稱為自列緊集。-網(wǎng)：對(duì)中的M,N，為給定正數(shù)，假設(shè)對(duì)M中的任一點(diǎn)*，必存在N中的一點(diǎn)*使得d(*,*)0，總存在由有限元組成的M的-網(wǎng)。定理6.1：在距離空間中，列緊性蘊(yùn)含完全有界性；假設(shè)更設(shè)*完備，則列緊性與完全有界性等價(jià)。定理6.2：在距離空間中，任何完全有界集是可分的

7、。定理6.3：在距離空間中，緊緊致性和自列緊性等價(jià)。等同連續(xù)：設(shè)F是一族從到的函數(shù)，假設(shè)任給都有 f(*),f(*), 當(dāng)d(*,*),則稱F是等同連續(xù)的。定理6.4：阿爾采拉-阿斯科利是列緊的必須且只需F是一致有界且等同連續(xù)的。定理6.5：蒙泰爾設(shè)是區(qū)域上一致有界的解析函數(shù)列，則與任何完全位于的有界區(qū)域DD的閉包在，恒有f的子序列在D上一致收斂。SS7 賦線性空間滿足數(shù)三公理的從*到R的映射稱為數(shù)，這樣的賦線性空間記為。賦線性空間*中，*是*的連續(xù)函數(shù)。線性算子 設(shè)T是從到的函數(shù)映射，假設(shè)對(duì)一切*,y*和數(shù)a,b都有 T(a*+by)=aT(*)+bT(y)，則稱T是*到Y(jié)的線性算子。 如果

8、還存在常數(shù)C0，使對(duì)一切*都有 ,則T是有界的 如上的C的下確界稱為T的數(shù)，記為T定理7.1 設(shè)*,Y是賦線性空間，T是從*到Y(jié)的線性算子，則下述等價(jià)：1T在*點(diǎn)連續(xù)；2T在*中所有點(diǎn)連續(xù)；3T是有界的。線性算子的值域、滿射的線性算子、單射的線性算子，逆算子這些定義是顯然的。其中有界限性算子的逆算子一般未必有界，假設(shè)有界則稱為有界可逆的。定義在從線性空間*到復(fù)數(shù)域C的線性算子函數(shù)，稱為線性泛函。命題7.2 有限維賦線性空間中點(diǎn)收斂等價(jià)于坐標(biāo)收斂命題7.3 有限維賦線性空間與同維度實(shí)數(shù)域線性同構(gòu)且同胚。Riesz引理：設(shè)M是賦線性空間*的真子空間，則對(duì)任給的正數(shù)且 根據(jù)這個(gè)引理，我們知道任何賦線

9、性空間*，假設(shè)球B(*,r)是列緊的，則*必是有限維的。Chp.2 希爾伯特空間SS1積空間定義 設(shè)*是復(fù)線性空間，如果對(duì)任給的*,y*都恰有一個(gè)復(fù)數(shù)，記為(*,y)，與之對(duì)應(yīng)，并且這個(gè)對(duì)應(yīng)有以下四條性質(zhì)：(1)(2)(3)(4)對(duì)任意的*,y*和aC,則稱(*,y)是*與y的積，稱*為具有積的及空間。正交的定義：(*,y)=0進(jìn)一步可以構(gòu)建正規(guī)正交集，并且向歐幾里得空間那樣構(gòu)建二數(shù)*。定理1.1 給出及空間*中的正規(guī)正交集*，則對(duì)任何*.貝塞爾不等式施瓦茨不等式定理1.2 每個(gè)積空間*按二數(shù)稱為賦線性空間名義命題1.1 積(*,y)是*,y的二元連續(xù)函數(shù)，即當(dāng)*,y有極限時(shí)，積也有極限。命題

10、1.2 設(shè)點(diǎn)集M在積空間*中稠密，假設(shè)有*使(*,*)=0, 對(duì)任意*,則*=0須知，積空間中向量的數(shù)有著異于其它賦線性空間中向量數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)。命題1.3 平行四邊形法則是否每個(gè)賦線性空間*都能賦以積(*,y)使得原來(lái)的數(shù)*總可以表成為呢？可以證明：*能賦以積的充要條件是*中的數(shù)滿足平行四邊形法則。例1 在空間C0,1不是積空間。只需取*(t)=1,y(t)=t,考慮*+y和*-y即可。C0,1是完備的定義1.3 假設(shè)積空間是完備的，則稱H為希爾伯特空間例2 空間的全體形成的線性空間，是希爾伯特空間。例3 空間是希爾伯特空間。注意到上兩例同時(shí)也是線性距離空間命題1.4 積空間*的完備化是希爾伯

11、特空間。SS2 正規(guī)正交基現(xiàn)設(shè)H表示非零希爾伯特空間正規(guī)正交基：設(shè)S是H中的正規(guī)正交集，如果H中沒有其他的正規(guī)正交集真包含S，則稱S為H的正規(guī)正交基。這等價(jià)于：命題2.1 設(shè)S是H中的正規(guī)正交集，則S是H的正規(guī)正交基充要條件是 H中沒有非零元與S中每個(gè)元正交。定理2.1 假設(shè)H可分，則H必有一個(gè)可數(shù)的正規(guī)正交基。定理2.2 每個(gè)非零的希爾伯特空間都有正規(guī)正交基定理2.3 設(shè)是H的一個(gè)正規(guī)正交基，則對(duì)任何的*,都有 推論 每個(gè)可分的希爾伯特空間都與l2同構(gòu)。SS3射影定理，弗雷切特-利亞茨表現(xiàn)定理設(shè)M是希爾伯特空間H的線性流形，定義 ，稱其為M的正交補(bǔ)，二者的交為0，它也是H的子空間。定理3.1

12、射影定理 設(shè)M是希爾伯特空間H的子空間，則每個(gè)*都可以唯一地表成： 稱這個(gè)由*與M唯一確定的y為*在M上的正交射影。命題3.1 設(shè)M是H的線性流形，則.設(shè)表示希爾伯特空間H上全體連續(xù)線性泛函按逐點(diǎn)定義的加法和數(shù)乘形成的線性空間，對(duì),按這個(gè)數(shù)，它也是完備的賦線性空間，稱其為H的共軛空間或?qū)ε伎臻g。定理3.2 弗雷切特-利亞茨表現(xiàn)定理設(shè) 使f可表為定義3.1 設(shè)(*,y)是從HH到C中的函數(shù)，據(jù)有性質(zhì)：(1) (2) 則稱它是H上的雙線性泛函定理3.3 設(shè)(*,y)是H上的有界的共軛雙線性泛函，則恰有H上一個(gè)有界限性算子A，使得 (*,y)=(A*,y)SS4 希爾伯特共軛算子伴隨算子，拉克斯-米

13、爾格拉姆定理希爾伯特共軛算子 設(shè)H1,H2都是希爾伯特空間，T是從H1到H2的有界限性算子。稱T*為T的希爾伯特共軛算子，也稱伴隨算子，即由其定義可見 總之，對(duì)于這樣的一個(gè)有界限性算子，總有它的伴隨算子使得上式成立，且由其唯一確定。例1 對(duì)于一個(gè)矩陣算子，它的共軛轉(zhuǎn)置就是它的希爾伯特共軛算子。Chp.3 巴拿赫空間上的有界限性算子SS1 有界限性算子算子的數(shù)：設(shè)*,Y是賦線性空間，以下記從*到Y(jié)的全體有界限性算子集合為L(zhǎng)(*,Y),而L(*,*)簡(jiǎn)記為L(zhǎng)(*). 設(shè)AL(*,Y)，我們知道A的數(shù)為A=supA*/*，其中*不為零。命題1.1 兩個(gè)L(*,Y)中算子和的數(shù)小于數(shù)的和，數(shù)乘算子的數(shù)

14、等于算子數(shù)的數(shù)乘。命題1.2 設(shè)*是賦線性空間，Y是巴拿赫空間，則L(*,Y)也是巴拿赫空間。命題1.3 算子積的數(shù)小于數(shù)的積。數(shù)A強(qiáng)于數(shù)B，指A的收斂蘊(yùn)含了B的收斂；如果互相都強(qiáng)于互相，則稱二者是等價(jià)的。算子的逆命題1.5 設(shè)*,Y都是賦線性空間，A:*-Y是線性映射，則A是單射的，且定義在R(A)上的算子A是連續(xù)的，充分必要條件是存在常數(shù)m0使得A*m*,對(duì)任意的*中的*。定理1.1 設(shè)*是巴拿赫空間，AL(*),且A0.命題2.3 設(shè)M是賦線性空間*中的線性流形，*，則*M的閉包 當(dāng)且僅當(dāng) 對(duì)*上任何連續(xù)線性泛函f，f(*)=0, 對(duì)任意*M,蘊(yùn)含f(*)=0.進(jìn)一步推論 設(shè)S是賦線性空間*的子集，*，則 *可以用S中的線性組合來(lái)逼近 當(dāng)且僅當(dāng) 對(duì)*上的任何連續(xù)線性泛函f都有 f(*)=0, 對(duì)任意*S蘊(yùn)含f(*)=0.命題2.4 設(shè)M是巴拿赫空間*的有限維子空間，則有*的子空間N，使得 *=M+N且M與N的交為0。定理