離散型隨機(jī)變量分布列期望及方差

1、百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我離散型隨機(jī)變量分布列、期望及方差高三數(shù)學(xué)徐建勛 2010-1-30教學(xué)目標(biāo)：1、理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性 2、理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：（1）離散型隨機(jī)變量及其分布列（2）條件概率及事件的獨(dú)立性（3）離散型隨機(jī)變量的期望與方差教學(xué)難點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列及其兩個(gè)基本性質(zhì)教學(xué)過(guò)程：/ /【知識(shí)梳理】1、隨機(jī)變量的概念如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X表示，并且 X是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，那么這樣的變量 X

2、叫隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用希臘字母X、丫、 表示。如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量.2、離散型隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取得的值為 工卜七，L, X取得每一個(gè)值的概率為田支,則稱表XXi 甘工hPi 為離散型隨機(jī)變量 X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.離散型隨機(jī)變量 X的分布列的性質(zhì)：（1）月之0/ = 12紅 巧+為+8+L =1一般的，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之 和。3、二點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量x的分布列為，其中口=,則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為百的二點(diǎn)分布.XL0lhpPq4、超幾何分布一

3、般的，設(shè)有總數(shù)為 N件的兩類物品，其中一類有 n件，從所有物品中任取 M件（M WN）,這M件中所含這類物品的件數(shù) X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為/ m時(shí)的概率為我們稱離散型隨機(jī)變量 X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N,M, n的超幾何分布./5、條件概率/一般地，設(shè)A, B為兩個(gè)事件，且F（上）0 ,在事件a發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的 條件概率記為1百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我6、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)戶 戶一般地，在相同條件下，重復(fù)地做n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率為 P僅-小琮巴1-p尸, k = 0, 1, 2,，n,其

4、中p是一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率。7、二項(xiàng)分布若將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為 X ,事件A不發(fā)生的概率設(shè)為 1-P ,那么在n次獨(dú) 立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率是汽X二幻二(其中k = 0,1,2, n),于是得到/X的分布列:X01頁(yè) nPC 口 則稱這樣的離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，記為 乂雙也的。8、期望設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是 工I,這些值對(duì)應(yīng)的概率是尸卜尸N .外，則*二工】外+巧巧+L +工缶叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量 X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱 期望).當(dāng)離散型隨機(jī)變量時(shí),E(X) = ；左二迎當(dāng)離散型隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為N, M, n的超幾何分布

5、時(shí)，則N 。9、方差設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是 MJ小,這些值對(duì)應(yīng)的概率是外，科工品，則 * 17=值-顏幻用z叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量 X的方差。(3)方差的性質(zhì)：若X服從二點(diǎn)分布，則D91); TOC o 1-5 h z 當(dāng)離散型隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為N, M, n的超幾何分布時(shí)，則N 。若X服從二項(xiàng)分布則乂一以乩切，口8 =輯敢S = 1-券。/【典型例題】例1. 一袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為 1, 2, 3, 4, 5, 6,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè) 球，以X表示取出球的最大號(hào)碼，求 X的分布列./分析：隨機(jī)取出3個(gè)球的最大號(hào)碼 X的所有可能取值為 3, 4, 5, 6,

6、“X = 3”對(duì)應(yīng)事 件“取出的3個(gè)球的編號(hào)為1, 2, , 3 ； “X = 4”對(duì)應(yīng)事件“取出的 3個(gè)球中恰取到4 號(hào)球和1 , 2, 3號(hào)球中的2個(gè)”；“ X = 5”對(duì)應(yīng)事件“取出的 3個(gè)球中恰取到5號(hào)球和1, 2, 3, 4號(hào)球中的2個(gè)”；“ X = 6”對(duì)應(yīng)事件“取出的 3個(gè)球中恰取到6號(hào)球及1, 2, 3, 4, 5號(hào)球中的2個(gè)”.而要求其概率則要利用等可能事件的概率公式和排列組合知識(shí)來(lái)求解，從而獲得X的分布列.百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我解析：隨機(jī)變量X的可能取值為3, 4, 5, 6。從袋中隨機(jī)地取 3個(gè)球，包含的基本事件總數(shù)為 章，事件“X=3 ”包含的基本事件總數(shù)為

7、名， 事件“ X= 4”包含的基本事件總數(shù)為 4.事件“ x=5 ”包含的基本事件總數(shù)為 叩；;P僅工 從而有力弱，事件“ X=6”包含的基本事件總數(shù)為“富;里px)零 或叫I10 ?d以2,，隨機(jī)變量X的分布列為X3456PL 303203L02點(diǎn)評(píng)：確定離散型隨機(jī)變量 X的分布列的關(guān)鍵是要搞清 X取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件.進(jìn)一步利用排列組合知識(shí)求出X取每個(gè)值的概率.例2. 一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗1遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是3。(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，

8、求 Y的分布列；(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.1解析：(1)將通過(guò)每個(gè)交通崗看做一次試驗(yàn)，則遇到紅燈的概率為3 ,且每次試驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的，-5(6,-)故3 ,以此為基礎(chǔ)求X的分布列.由 3 ,所以X的分布列為己， k=0, 1, 2, 3, 4, 5,(2)由于Y表示這名學(xué)生在首次停車時(shí)經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，顯然Y是隨機(jī)變量,/其取值為0, 1, 2, 3, 4, 5。其中： = ) *=1234表示前k個(gè)路口沒(méi)有遇上鄉(xiāng)T燈，但在第k+1個(gè)路口 遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生計(jì)算.而丫0表示一路沒(méi)有遇上紅燈，/P(Y=6)=-故其概率為1-,百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自

9、我因此Y的分布列為:Y0123456P 31 3 |2L自丫1住丫 30(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為區(qū)之1)=6=1或又=減.一或又=嘰所以其概率為 TOC o 1-5 h z 4臼、&WV/729。點(diǎn)評(píng)：解決離散型隨機(jī)變量分布列問(wèn)題時(shí)，主要依靠概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，其關(guān)鍵是要識(shí)別題中的離散型隨機(jī)變量服從什么分布，像本例中隨機(jī)變量X表示遇到紅燈次數(shù)，而每次遇到紅燈是相互獨(dú)立的，因此這是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)事件，符合二項(xiàng)分布，即。分布列能完整地刻畫隨機(jī)變量X等相應(yīng)概率的變化情況，在分布列中第一行表示X的所有可取值，第二行對(duì)應(yīng)的各個(gè)值(概率值)必須都是非負(fù)實(shí)數(shù)且滿足其和為1。例3英語(yǔ)考試有

10、100道選擇題，每題 4個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得1分，否則得0分，學(xué)生甲會(huì)其中 的20道，學(xué)生乙會(huì)其中的 80道，不會(huì)的均隨機(jī)選擇，求甲、乙在這次測(cè)驗(yàn)中得分的期望.分析：甲、乙分別會(huì)20道和80道，故甲、乙分別從剩下的 80道和20道中隨機(jī)選擇， 因?yàn)橛?個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)答案正確并且每一個(gè)選項(xiàng)被選出的概率相等，故甲、乙剩下不會(huì)題的猜對(duì)個(gè)數(shù)(猜對(duì)分?jǐn)?shù))是隨機(jī)變量，分別設(shè)為X, Y,可知 尤,F耳儂。2解析：設(shè)甲、乙不會(huì)題得分分別為隨機(jī)變量X和Y.由題意知， ),故項(xiàng)=8伽Q.25 = 2(U=2似。,25 = 5 這樣甲、乙期望成績(jī)分別為 40分和85分.%例4.甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，

11、且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等，這兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為甲K0121 3P0 3asa 20,乙士XD1P6155仇4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.分析：要比較兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平，可先比較甲、乙兩個(gè)保護(hù)區(qū)的平均管理水平，然 后再看它們管理水平的穩(wěn)定性.解析：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù) Xi的數(shù)學(xué)期望和方差為：百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我D（X1）-（Q-lJ）ax0.34（l-13）3x0 3 + 2-1.3）ax0 2+（3-L3）aK0.2-1.21 o乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)區(qū)口的數(shù)學(xué)期望和方差為：E區(qū)”口口十1他5十2犬口,41.3 ,D（X（0- 1.3） kO.U 1-1,3）2 xO 5 +（2-1 S）3 乂 0.4= 0.41 o/因?yàn)槌砂┒?蒼,0（X）5匹）,所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)平均次