高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)總結(jié)

1、立體幾何知識(shí)總結(jié) 立體幾何知識(shí)點(diǎn)一向量1三點(diǎn)P,A,B共線已知O是空間任一點(diǎn),有且. 當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)2四點(diǎn)P,A,B,C共面已知O是空間任一點(diǎn),有+且.3設(shè),則 . . =(4設(shè)點(diǎn)A,B,C是線段AB的中點(diǎn), 則. 點(diǎn)C( |AB|=5運(yùn)算律: , 6設(shè)直線的方向向量為=(m,n),則直線的斜率k=7設(shè)P分所成的比為,既=,且, 則（分點(diǎn)坐標(biāo)=）8設(shè)G是ABC的重心,則G9向量的加法運(yùn)算三角形或平形四邊形法則,向量的減法運(yùn)算三角形法則（終點(diǎn)-起點(diǎn)，如）10向量與平面平行：指向量所在的直線與平面平行或向量在平面內(nèi)。記作/。11共面向量：（1）定義：指平行于同一平面的向量（2）定理：如果兩個(gè)向量不共線，

2、則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)使10空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)。稱為空間的一個(gè)基底，都叫做基向量。11空間向量的坐標(biāo)表示：xByxzyBAO 當(dāng)=（單位正交基底）時(shí)，有，則稱（）是向量的坐標(biāo)。二立體幾何1掌握平面性質(zhì)的三大公理及三個(gè)推論.2空間兩直線的位置關(guān)系平行、相交和異面.3兩條異面直線所成的角:（1）概念,(2)范圍(0,90，（3）求法: 作角平移，說明，求角。4直線與平面的位置關(guān)系:直線在平面內(nèi)和直線在平面外平行和相交。5掌握直線與平面平行,平面與平面平行的性質(zhì)和判定定理線線平行面面平行線面平行 6 掌握直線與平面垂直,

3、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定定理線線垂直線面垂直面面垂直 OBBAa7其它與平行,垂直有關(guān)的定理(1) (2)(3) (4)8三垂線定理與逆定理AB是平面的斜線, BO是斜線AB在平面內(nèi)的射影, 定理: ; 逆定理:ABOCD9直線與平面所成的角0,90(1)斜線與平面所成的角:定義:斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角,范圍（0,90）最小角定理:(2)直線與平面平行或直線在平面內(nèi)成角為0(3)直線與平面垂直成角為9010二面角（1）概念,(2)范圍0,180,(3)二面角的平面角: 定義, 構(gòu)造方法定義法、垂面法和三垂線法，（4）二面角的求法: 作平面角, 說明, 求角11掌握用向量法求(證明)一

4、些幾何量(1)證明線線垂直和線面垂直(2)求兩條異面直線的夾角：利用ABOabOBCAadbD(3)求兩條異面直線a,b的公垂線長(zhǎng)d利用OBA其中是異面直線a,b的公共法向量(4)求點(diǎn)A到平面的距離d 其中是平面的法向量,B是平面上的一個(gè)已知點(diǎn)。(5)求直線AB與平面所成的角 =(6)求二面角ABNM 或其中分別是兩個(gè)平面的法向量 利用12棱柱與棱錐(1)直棱柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)高,體積=底面面積高(2)斜棱柱的側(cè)面積=直截面周長(zhǎng)側(cè)棱長(zhǎng),體積=直截面面積側(cè)棱長(zhǎng)(3)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)其中分別為長(zhǎng),寬,高ABCSOMOOMA(4)棱錐的體積=底面面積高(5)掌握正棱錐的高,斜高,側(cè)棱,底面邊長(zhǎng),側(cè)

5、棱與底面的夾角,側(cè)面與底面的夾角求法:解題時(shí)在利用下面兩個(gè)圖形求解BROAr13球ORrAd(1)球的截面(圓)的性質(zhì):球心O與圓心的連線O與圓面垂直球心與圓面的距離經(jīng)度緯線緯度經(jīng)線O地軸P(2)球面上兩點(diǎn)A,B的球面距離定義:經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的大圓的劣弧長(zhǎng)求法:利用大圓O與小圓的公共弦AB,注意劣弧AB所對(duì)的圓心角是角AOB而不是角AB(3)經(jīng)度與緯度緯度:某點(diǎn)P的緯度就是指經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑與經(jīng)過這點(diǎn)的緯度圈所在的平面的夾角經(jīng)度:某點(diǎn)P的經(jīng)度就是指經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與0經(jīng)線與地軸確定的半平面所在的二面角的大小.(4)球內(nèi)接長(zhǎng)方體的性質(zhì): 長(zhǎng)方體的中心就是球心, 長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)就

6、是球的直徑(5)正四面體的內(nèi)切球與外接球的性質(zhì):它們是同心球,球心在正四體的高線上,內(nèi)切球與外接球的半徑的和等于正四面體的高,求解時(shí)可利用等體積法.(6)球體積,球的表面積,弧長(zhǎng)公式立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.空間多邊形不在同一平面內(nèi)的若干線段首尾相接所成的圖形叫做空間折線.若空間折線的最后一條線段的尾端與最初一條線段的首端重合，則叫做封閉的空間折線.若封閉的空間折線各線段彼此不相交，則叫做這空間多邊形平面，平面是一個(gè)不定義的概念，幾何里的平面是無限伸展的.平面通常用一個(gè)平行四邊形來表示.平面常用希臘字母、或拉丁字母M、N、P來表示，也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)字母表示，如平面AC.在立體幾何

7、中，大寫字母A，B，C，表示點(diǎn)，小寫字母，a,b,c,l,m,n,表示直線，且把直線和平面看成點(diǎn)的集合，因而能借用集合論中的符號(hào)表示它們之間的關(guān)系，例如：Al點(diǎn)A在直線l上；A點(diǎn)A不在平面內(nèi)；l直線l在平面內(nèi)；a直線a不在平面內(nèi)；lm=A直線l與直線m相交于A點(diǎn)；l=A平面與直線l交于A點(diǎn)；=l平面與平面相交于直線l.2.平面的基本性質(zhì)公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.公理3 經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1 經(jīng)過一條直線和

8、這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.直接證法3.證題方法反證法證題方法 間接證法 同一法4.空間線面的位置關(guān)系 共面 平行沒有公共點(diǎn)(1)直線與直線 相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)異面(既不平行，又不相交) 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線和平面 直線不在平面內(nèi) 平行沒有公共點(diǎn) (直線在平面外) 相交有且只有一公共點(diǎn)(3)平面與平面 相交有一條公共直線(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn))平行沒有公共點(diǎn)5.異面直線的判定證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直

9、線”.6.線面平行與垂直的判定 (1)兩直線平行的判定定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行.如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a,a，=b,則ab.平行于同一直線的兩直線平行，即若ab,bc,則ac.垂直于同一平面的兩直線平行，即若a，b，則ab兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若,=b,則ab如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行，即若=b,a,a，則ab.(2)兩直線垂直的判定定義：若兩直線成90角，則這兩直線互相垂直.一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b

10、c,ab,則ac一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即若a,b，ab.三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若a,b,則ab.三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若,，,且=a,=b,=c，則ab,bc,ca.(3)直線與平面平行的判定定義：若一條直線和平面沒有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平行.如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行.即若a,b，ab,則a.兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即若,l，

11、則l.如果一個(gè)平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個(gè)平面平行.即若,l，l，則l.在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過這兩個(gè)點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行，即若A，B，A、B在同側(cè)，且A、B到等距，則AB.兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即若,a，a，a，則.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若a,b，ba，則b.如果兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平面內(nèi))，即若ab,a,b(或b)(4)直線與平面垂直的判定定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線

12、垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即若m，n，mn=B,lm,ln,則l.如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若la,a,則l.一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若,l，則l.如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若,a=，l，la,則l.如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若,且a=,則a.(5)兩平面平行的判定定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無公共點(diǎn).如果一個(gè)平面內(nèi)

13、有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,b，ab=P,a,b,則.垂直于同一直線的兩平面平行.即若a,a,則.平行于同一平面的兩平面平行.即若,則.一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即若a,b,c,d,ab=P,ac,bd,則.(6)兩平面垂直的判定定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角a=90.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l,l，則.一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即若，則.7.直線在平面內(nèi)的判定(1)利用公理1：一直線上不重合的兩

14、點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，即若,A，AB，則AB.(3)過一點(diǎn)和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即若Aa,ab，A,b，則a.(4)過平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若P，P，Pa,a，則a.(5)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，即若a,A，Ab,ba,則b.8.存在性和唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)與這條直線平行的直線有且只有一條；(2)過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條；(3)過

15、平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；(5)過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)；(6)過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；(7)過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；(8)過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).9.射影及有關(guān)性質(zhì)(1)點(diǎn)在平面上的射影自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的射影還是點(diǎn).(2)直線在平面上的射影自直線上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.和射影面垂直的直線的射影是一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線的射影是一條直

16、線.(3)圖形在平面上的射影一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影.當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線段；當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形.(4)射影的有關(guān)性質(zhì)從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；(ii)相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；(iii)垂線段比任何一條斜線段都短.10.空間中的各種角等角定理及其推論定理若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(

17、或直角)相等.異面直線所成的角(1)定義：a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線aa,bb,則a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.(2)取值范圍：090.(3)求解方法根據(jù)定義，通過平移，找到異面直線所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.11.直線和平面所成的角(1)定義 和平面所成的角有三種：(i)垂線 面所成的角 的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.(ii)垂線與平面所成的角 直線垂直于平面，則它們所成的角是直角.(iii)一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0的角.(2)取值范圍090(3)求解方法作出斜線

18、在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.最小角定理斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角，亦可說，斜線和平面所成的角不大于斜線與平面內(nèi)任何直線所成的角.12.二面角及二面角的平面角(1)半平面 直線把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.若兩個(gè)平面相交，則以兩個(gè)平面的交線為棱形成四個(gè)二面角.二面角的大小用它的平面角來度量，通常認(rèn)為二面角的平面角的取值范圍是0180(3)二面角的平面角以二面

19、角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.如圖，PCD是二面角-AB-的平面角.平面角PCD的大小與頂點(diǎn)C在棱AB上的位置無關(guān).二面角的平面角具有下列性質(zhì)：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD.(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長(zhǎng)線)上.(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定義法(ii)垂面法(iii)三垂線法()根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)(4)求二面角大小的常見方法

20、先找(或作)出二面角的平面角，再通過解三角形求得的值.利用面積射影定理S=Scos其中S為二面角一個(gè)面內(nèi)平面圖形的面積，S是這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖形的面積，為二面角的大小.利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小.13.空間的各種距離點(diǎn)到平面的距離(1)定義 面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.(2)求點(diǎn)面距離常用的方法：1)直接利用定義求找到(或作出)表示距離的線段；抓住線段(所求距離)所在三角形解之.2)利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面交線的距離就是所求的點(diǎn)面距離.3)體積法其步驟是：在平面內(nèi)選取

21、適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；由V=Sh，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離.難點(diǎn)在于如何構(gòu)造合適的三棱錐以便于計(jì)算.4)轉(zhuǎn)化法將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為(平行)直線與平面的距離來求.14.直線和平面的距離(1)定義一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.(2)求線面距離常用的方法直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之.作輔助垂直平面，把求線面距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)線距離.15.平行平面的距離(1)定義 個(gè)平

22、行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線.公垂線夾在兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段.兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度叫做這兩個(gè)平行平面的距離.(2)求平行平面距離常用的方法直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.把面面平行距離轉(zhuǎn)化為線面平行距離，再轉(zhuǎn)化為線線平行距離，最后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線(面)距離，通過解三角形或體積法求解之.16.異面直線的距離(1)定義 條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離.任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段.(2)求兩條異面直線的距

23、離常用的方法定義法 題目所給的條件，找出(或作出)兩條異面直線的公垂線段，再根據(jù)有關(guān)定理、性質(zhì)求出公垂線段的長(zhǎng).此法一般多用于兩異面直線互相垂直的情形.轉(zhuǎn)化法 為以下兩種形式：線面距離面面距離等體積法最值法射影法公式法立 體 幾 何的“十個(gè)位置關(guān)系”一、確定直線的條件兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則相交于過此點(diǎn)的直線,唯一；兩異面直線有且只有一條公垂線；過一點(diǎn)有且只有一直線與已知平面垂直；過直線外一點(diǎn)有且只有一直線與已知直線平行。二、確定一平面的條件（1） 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一平面；（2）一直線及其外一點(diǎn)確定一平面；（3） 兩平行直線確定一平面； （4）兩相交直線確定一平面；過兩異面直線中的一條直

24、線而與另一條直線平行的平面唯一；過一點(diǎn)而與兩異面直線分別平行的平面唯一；過一點(diǎn)而與已知直線垂直的平面唯一； 過一點(diǎn)而與已知平面平行的平面唯一；（9） 過不垂直于已知平面的直線而與已知平面垂直的平面唯一。三、直線落于平面上的條件若直線上有兩點(diǎn)在平面上，則該直線在平面內(nèi)；過一點(diǎn)與已知直線垂直的直線均在過此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)；過平面外一點(diǎn)與已知平面平行的直線均在過此點(diǎn)而平行于已知平面的平面內(nèi)；兩平面相垂直，過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)而垂直于令一個(gè)另平面的直線在第一平面內(nèi)；過直線上每一點(diǎn)而垂直于已知平面的直線，均在過此直線且與已知平面垂直的平面內(nèi)。四、線段或角相等的條件平行平面間的平行線段相等；（2

25、）平行直線上每點(diǎn)與平面間的距離相等；（3） 由一點(diǎn)向平面引垂線和斜線段，射影等的斜線段等，反之亦然；（4） 兩邊分別平行（垂直）且方向相同的角相等；（5） 若平面的斜線與平面內(nèi)角的兩邊成等角，則其射影平分此角；平面的斜線上點(diǎn)與平面內(nèi)角的兩邊距離相等，則其射影落于角平分線；兩平行線與同一直線所成角相等；兩平行線與同一平面所成角相等； 兩平行平面與同一直線所成角相等；兩平行平面與同一平面所成角相等。五、兩直線平行的條件三平面兩兩相交，若兩交線平行，則第三條交線必與之平行；平行于同一直線的兩直線平行； （3） 線面平行則線線平行；（4） 垂直于同一平面的兩直線平行； （5） 面面平行則線線平行；分別

26、過兩平行線中一條直線的兩相交平面的交線與之平行。六、兩直線垂直的條件所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條；線線垂直，則線面垂直； （4） 三垂線定理及其逆定理。七、直線與平面平行的條件線面無公共點(diǎn)，則線面平行； （2） 線線平行，則線面平行；（3） 一平面及該平面外一直線m垂直于同一平面，則線m與面平行；（4） 平面內(nèi)的任一直線必平行于這平面的平行平面（面面平行，則線面平行）。八、直線與平面垂直的條件直線垂直于平面內(nèi)的兩相交直線，則線面垂直；兩平行直線中有一條垂直于平面，則另一直線垂直于該平面；直線垂直于平行平面中的一個(gè)，則垂直于另一個(gè)；兩相交平面分別垂直于第三平面

27、，其交線垂直于第三平面；兩平面相垂直，則其中一平面內(nèi)垂直于交線的直線，垂直于另一個(gè)平面。九、兩平面平行的條件一平面內(nèi)的兩相交直線分別平行于另一平面，則面面平行；兩平面內(nèi)分別有兩相交直線分別平行，則面面平行；垂直于同一直線的兩平面平行；平行于同一個(gè)平面的兩平面平行；無公共點(diǎn)的兩平面平行。十、兩平面垂直的條件相交構(gòu)成直二平面角的兩平面垂直；（2） 若一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩平面垂直；（3） 若垂直于平行平面中的的一個(gè)平面，則垂直于另一個(gè)平面。(此外：關(guān)于“平行”、“垂直”問題的證明，還可以依據(jù)“初中平面幾何結(jié)論”或“定義”去證明。但使用“平面幾何結(jié)論”要先說明共面。)立體幾何題怎么解高考

28、立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道, 主觀題1道), 共計(jì)總分27分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著”多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題.例1 四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB面ABCD.（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60，求這個(gè)四棱錐的體積；（2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二

29、面角恒大于90講解:（1）正方形ABCD是四棱錐PABCD的底面, 其面積為從而只要算出四棱錐的高就行了.面ABCD,BA是PA在面ABCD上的射影.又DAAB， PADA， PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角， PAB=60. 而PB是四棱錐PABCD的高，PB=ABtg60=a, .（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形. 作AEDP，垂足為E，連結(jié)EC，則ADECDE， 是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角. 設(shè)AC與DB相交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EOAC， 在 故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90. 本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概

30、念，以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設(shè)計(jì)新穎, 特征鮮明的好題.例2 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，ACB=900，AC=1，C點(diǎn)到AB1的距離為CE=，D為AB的中點(diǎn).（1）求證：AB1平面CED；（2）求異面直線AB1與CD之間的距離；（3）求二面角B1ACB的平面角.講解:（1）D是AB中點(diǎn)，ABC為等腰直角三角形，ABC=900，CDAB又AA1平面ABC，CDAA1.CD平面A1B1BA CDAB1，又CEAB1， AB1平面CDE；（2）由CD平面A1B1BA CDDEAB1平面CDE DEAB1DE是異面直線AB1與C

31、D的公垂線段CE=，AC=1 , CD=；（3）連結(jié)B1C，易證B1CAC，又BCAC , B1CB是二面角B1ACB的平面角.在RtCEA中，CE=，BC=AC=1,B1AC=600， , , .作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.例3 如圖al是120的二面角，A，B兩點(diǎn)在棱上，AB=2，D在內(nèi)，三角形ABD是等腰直角三角形，DAB=90，C在內(nèi)，ABC是等腰直角三角形ACB=求三棱錐DABC的體積；（2）求二面角DACB的大??； （3）求異面直線AB、CD所成的角. 講解: (1) 過D向平面做垂線，垂足為O，連強(qiáng)OA并延長(zhǎng)至E

32、. 為二面角al的平面角.是等腰直角三角形，斜邊AB=2.又D到平面的距離DO=（2）過O在內(nèi)作OMAC,交AC的反向延長(zhǎng)線于M,連結(jié)DM.則ACDM.DMO 為二面角DACB的平面角. 又在DOA中，OA=2cos60=1.且 （3）在平在內(nèi)，過C作AB的平行線交AE于F，DCF為異面直線AB、CD所成的角. 為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即ABC斜邊上的高,異面直線AB,CD所成的角為arctg比較例2與例3解法的異同, 你會(huì)得出怎樣的啟示? 想想看. 例4在邊長(zhǎng)為a的正三角形的三個(gè)角處各剪去一個(gè)四邊形這個(gè)四邊形是由兩個(gè)全等的直角三角形組成的，并且這三個(gè)四邊形也全等，如圖若用

33、剩下的部分折成一個(gè)無蓋的正三棱柱形容器，如圖則當(dāng)容器的高為多少時(shí)，可使這個(gè)容器的容積最大，并求出容積的最大值 圖 圖 講解: 設(shè)容器的高為x則容器底面正三角形的邊長(zhǎng)為, . 當(dāng)且僅當(dāng) .故當(dāng)容器的高為時(shí)，容器的容積最大，其最大容積為對(duì)學(xué)過導(dǎo)數(shù)的同學(xué)來講，三次函數(shù)的最值問題用導(dǎo)數(shù)求解是最方便的，請(qǐng)讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與20XX年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)壓軸題有關(guān)，還請(qǐng)做做對(duì)照. 類似的問題是:某企業(yè)設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當(dāng)圓柱的底面半徑r和圓柱的高h(yuǎn)為何值時(shí)，制造這個(gè)密閉容器的用料最省（即容器的表面積最?。? 例5 已知三棱錐PABC中，PC底面ABC，

34、AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DEAP于E （1）求證：AP平面BDE； （2）求證：平面BDE平面BDF；（3）若AEEP=12，求截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分的體積比講解: (1）PC底面ABC，BD平面ABC，PCBD由AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，得BDAC又PCAC=C，BD平面PAC 又PA平面、PAC，BDPA由已知DEPA，DEBD=D，AP平面BDE （2）由BD平面PAC，DE平面PAC，得BDDE由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，得DF/AP由已知，DEAP，DEDF. BDDF=D，DE平面BDF又DE平面BDE，平面BDE平面BDF （3）設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A

35、到平面PBC的距離分別為h1和h2則 h1h2=EPAP=23, 故截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分體積的比為12或21值得注意的是, “截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分的體積比”并沒有說明先后順序, 因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個(gè), 希不要犯這種”會(huì)而不全”的錯(cuò)誤.例6 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）為p的拋物線.（1）求圓錐的母線與底面所成的角；（2）求圓錐的全面積 講解: （1）設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，由題意得：,即,所以母線和底面所成的角為（2）設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON，其中O為截面與AC的交點(diǎn)，則OO1/AB且在截面MON內(nèi)，以O(shè)O1所在有向直線為y軸，O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則O為拋物的