能量原理和變分法

1、關(guān)于能量原理與變分法第一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-1 彈性體的形變勢(shì)能主 要 內(nèi) 容 11-2 位移變分方程11-3 位移變分法11-4 位移變分法應(yīng)用于平面問題11-5 應(yīng)力變分方程11-6 應(yīng)力變分法11-7 應(yīng)力變分法應(yīng)于平面問題11-8 應(yīng)力變分法應(yīng)于扭轉(zhuǎn)問題11-9 解答的唯一性11-10 功的互等定理第二張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-0 引 言1. 彈性力學(xué)問題的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程（2）幾何方程（3）物理方程（4）邊界條件應(yīng)力邊界條件；位移邊界條件；定解問題求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移為基本未知量

2、的平衡微分方程;（2）按應(yīng)力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）邊界條件。（b） 相容方程；（c） 邊界條件。（a） 歸結(jié)為求解聯(lián)立的微分方程組；求解特點(diǎn)：（b） 難以求得解析解。 從研究微小單元體入手，考察其平衡、變形、材料性質(zhì)，建立基本方程：第三張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 彈性力學(xué)問題的變分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精確解的解；將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組。彈性力學(xué)中的變分原理 能量原理 直接處理整個(gè)彈性系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)的能量關(guān)系，建立一些泛函的變分方程，將彈性力學(xué)問題歸結(jié)為在給定約束條件下求泛函極（駐）值的變分問題。（變分解法也稱能

3、量法）（a）以位移為基本未知量，得到最小勢(shì)（位）能原理等。（b）以應(yīng)力為基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同時(shí)以位移、應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槲粗?，得到廣義（約束）變分原理。 位移法 力法 混合法 有限單元法、邊界元法、離散元法 等數(shù)值解法的理論基礎(chǔ)。求解方法：里茲（Ritz）法，伽遼金（Galerkin ）法，加權(quán)殘值（ 余量）法等。第四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 彈性力學(xué)問題的數(shù)值解法：（a）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學(xué)的基本方程） 有限差分法；基本思想：將導(dǎo)數(shù)運(yùn)算近似地用差分運(yùn)算代替；將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組。典型軟件：FLAC實(shí)質(zhì)：將變量離散。（b）對(duì)變分

4、方程進(jìn)行數(shù)值求解 有限單元法、邊界元法、離散元法 等典型軟件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等； 基于有限元法的分析軟件；UDEC 基于離散元法的分析軟件；基本思想：將求解區(qū)域離散，離散成有限個(gè)小區(qū)域（單元），在小區(qū)域（單元）上假設(shè)可能解，最后由能量原理（變分原理）確定其最優(yōu)解。 將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯笮偷木€性方程組。第五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-1 彈性體的形變勢(shì)能1. 形變勢(shì)能的一般表達(dá)式Pxl0l單向拉伸：PlOPl外力所做的功： 由于在靜載（緩慢加載）條件下，其它能量損失很小，所外力功全部轉(zhuǎn)化桿件的形變勢(shì)能（變形能）U：桿

5、件的體積令： 單位體積的變形能，稱為比能。三向應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)： xyz第六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月三向應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)： xyz 由能量守恒原理，形變勢(shì)能的值與彈性體受力的次序無關(guān)，只取決于最終的狀態(tài)。 假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按同樣的比例增加，此時(shí)，單元體的形變比能：（a）整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能：（b）（c）若用張量表示：形變比能：整體形變勢(shì)能：第七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 形變勢(shì)能的應(yīng)力分量表示在線彈性的情況下，由物理方程（8-17） ：代入式（a），整理得形變勢(shì)能的表達(dá)式：（d）（e）代入式（b），有：（11-1）將式

6、（e）分別對(duì)6 個(gè)應(yīng)力分量求導(dǎo)，并將其結(jié)果與物理方程比較，得：第八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（11-2）表明：彈性體的比能對(duì)于任一應(yīng)力分量的改變率，就等于相應(yīng)的形變分量。3. 形變勢(shì)能的應(yīng)變分量表示用應(yīng)變表示的物理方程（8-19）：（f）第九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月或：代入式（a）：（a）并整理可得：（g）（11-3） 0 1/2 ， U 0 即彈性體的形變勢(shì)能是非負(fù)的量。 將上式對(duì)6個(gè)應(yīng)變分量分別求導(dǎo)，再與應(yīng)力表示的物理方程（8-17）比較，可得：第十張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（11-4）將幾何方程（8-9）代入上式，得：彈性體的

7、比能對(duì)于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。 格林公式4. 形變勢(shì)能的位移分量表示表明：（11-5）第十一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-2 位移變分方程1. 泛函與變分的概念（1）泛函的概念函數(shù)：x 自變量；y 因變量，或稱自變量 x 的函數(shù)。泛函：x 自變量；y 為一變函數(shù)；F 為函數(shù) y 的函數(shù)，稱為泛函。例1：P1 彎矩方程梁的形變勢(shì)能：ABlx 泛函例2：第十二張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例2：因?yàn)樗裕琔 被稱為形變勢(shì)能泛函。（2）變分與變分法設(shè)：當(dāng)自變量 x 有一增量：函數(shù) y 也有一增量： dy 與 dx ，分別稱為自變量 x 與函

8、數(shù) y 的 微分。 微分問題P1ABlx設(shè)：函數(shù) y 有一增量：泛函 U 也有一增量：第十三張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月P1ABlx設(shè)：函數(shù) y 也有一增量：泛函 U 也有一增量： 函數(shù)的增量y 、泛函的增量 U 等稱為變分。 研究自變函數(shù)的增量與泛函的增量 間關(guān)系稱為變分問題。例如：Pcr （1）壓桿穩(wěn)定問題 尋求壓桿形變勢(shì)能 U 達(dá)到最大值時(shí)的壓力 P 值。 （2）球下落問題12 球從位置1下落至位置2，所需時(shí)間為T，當(dāng) 最速下降問題 泛函的變分問題第十四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（3）變分及其性質(zhì)定義：泛函增量：函數(shù)連續(xù)性：稱函數(shù) z 在 x0 點(diǎn)連

9、續(xù)。當(dāng)有稱泛函 U 在 y0 (x) 處零階接近。當(dāng)有稱泛函 U 在 y0 (x) 處一階接近。當(dāng)有稱泛函 U 在 y0 (x) 處二階接近。第十五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月泛函函數(shù)微分：當(dāng)x0時(shí)， 0，則 z 可用其線性主部表示其微分。即 U 增量的線性主部變分：當(dāng) max|y|0時(shí)，max 0，則 U 可用其線性主部表示, 即極值：若在 x0 處有極值，則有：若 Uy(x) 在 y0(x) 處有極值，條件： 一階變分為零。當(dāng)取得極值 稱為強(qiáng)極值當(dāng)取得極值 稱為弱極值極值：第十六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（4）變分的運(yùn)算變分與微分運(yùn)算：變分運(yùn)算與微分運(yùn)

10、算互相交換。變分與積分運(yùn)算：變分運(yùn)算與積分運(yùn)算互相交換。復(fù)合函數(shù)的變分：其中：一階變分：第十七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)合函數(shù)的變分：其中：一階變分： 自變量 x 的變分 x 0二階變分： 二階變分用于判別駐值點(diǎn)是取得極大值還是極小值。第十八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 位移變分方程建立：彈性體的形變勢(shì)能與位移間變分關(guān)系 位移變分方程qP應(yīng)力邊界 S位移邊界 Su設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。邊界：位移場(chǎng)：應(yīng)力場(chǎng)：滿足：平衡方程、幾何方程、物理方程、邊界條件。 稱為真實(shí)解（1）任給彈性體一微小的位移變化：滿足兩個(gè)條件：（1）不破壞平衡狀態(tài)；（2

11、）不破壞約束條件，即為約束所允許。第十九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月任給彈性體一微小的位移變化：滿足兩個(gè)條件：（1）不破壞平衡狀態(tài)；（2）不破壞約束條件，即為約束所允許。qP應(yīng)力邊界 S位移邊界 Su變化后的位移狀態(tài)： 稱為位移的變分，或虛位移。（2）考察彈性體的能量變化：由能量守恒原理：彈性體變形勢(shì)能的增加，等于外力勢(shì)能的減少。（在沒有溫度改變、動(dòng)能改變的情況下）設(shè)： 表示彈性變形勢(shì)能的增量； 表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力勢(shì)能的減少。則有：第二十張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月外力的虛功：體力：面力： 外力代入前式：（11-6）表明：物體形變

12、勢(shì)能的變分，等于外力在虛位移上所做的虛功。 式（11-6）稱為位移變分方程，也稱 Lagrange 變分方程。第二十一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 虛功方程由式（b）:兩邊求變分:將 U1 視為應(yīng)變分量的函數(shù)由格林公式:（11-4）第二十二張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月表示：實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功 內(nèi)力的虛功將上式代入位移變分方程（11-6），有（11-7）虛功方程表明：如果在虛位移發(fā)生前，彈性體處于平衡狀態(tài)，則在虛位移發(fā)生過程中，外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。虛功方程 是有限單元法的理論基礎(chǔ)，也是許多變分原理的基礎(chǔ)。第二十

13、三張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月4. 最小勢(shì)能原理 也是位移變分方程的一個(gè)應(yīng)用由位移變分方程： 由于虛位移為微小的、為約束所允許的，所以，可認(rèn)為在虛位移發(fā)生過程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點(diǎn)位置有微小變化。 于是，有：以為零勢(shì)能狀態(tài)，并用 V 表示任意狀態(tài)的外力勢(shì)能，則外力在可能位移上所做的功W，即代入前式，有第二十四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月其中： 形變勢(shì)能與外力勢(shì)能的總和，稱為系統(tǒng)的總勢(shì)能表明： 在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢(shì)能的變分為零。等價(jià)于總勢(shì)能 U+V 取駐值。 極值勢(shì)能原理平衡狀態(tài)：（1）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（2）不穩(wěn)定平衡

14、狀態(tài)；（3）隨宜平衡狀態(tài)；穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨宜平衡 勢(shì)能取極小值 勢(shì)能取極大值 不定最小勢(shì)能原理： 在給定的外力作用下，滿足位移邊界條件的各組位移中，實(shí)際存在的位移，應(yīng)使系統(tǒng)的總勢(shì)能成為駐值。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡時(shí)，總勢(shì)能取極小值，通常也為最小值。第二十五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月實(shí)際存在的位移應(yīng)滿足：（1）位移邊界條件；（2）平衡方程（位移形式）；（3）應(yīng)力邊界條件。（1）位移邊界條件；（2）位移變分方程。因而，有：位移變分方程（1）平衡方程；（2）應(yīng)力邊界條件。（可互相導(dǎo)出）（最小勢(shì)能原理）5. 伽遼金變分方程 由虛功方程建立當(dāng)位移分量滿足：位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件時(shí)

15、，彈性體的位移變分應(yīng)滿足的條件。 將虛應(yīng)變用虛位移表示：（c）將其代入虛功方程：第二十六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（11-7）第二十七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 同理，可得到其余各項(xiàng)的結(jié)果： 將其代入虛功方程左邊，有：（11-7）第二十八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 將其代入虛功方程，并整理有： 當(dāng)應(yīng)力邊界條件滿足時(shí)，000 上式可簡(jiǎn)化為：（11-7）第二十九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（10-8） 伽遼金（Galerkin）變分方程表明：當(dāng)所取位移分量同時(shí)滿足：位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件時(shí)，其位移變分需滿足的方程。第

16、三十張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（11-6）（1）位移變分方程（2）虛功方程（11-7）位移變分方程小結(jié)：也稱 Lagrange 變分方程：（3）最小勢(shì)能原理說明：（1）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；（2）對(duì)虛功方程，也適用各種材料的物理方程。如：塑性材料、非線性彈性材料等。第三十一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（4）伽遼金（Galerkin）變分方程要求：可能（虛）位移滿足：（1）位移邊界條件；（2）應(yīng)力邊界條件。（10-8）第三十二張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-3 位移變分法1. 里茲（Ritz）法基本思想：設(shè)定位移函數(shù)的表

17、達(dá)形式，使其滿足位移邊界條件，其中含有若干待定常數(shù)，然后利用位移變分方程確定這些常數(shù)，即得位移解。設(shè)取位移的表達(dá)式如下：（11-9）其中：為互不相關(guān)的 3m 個(gè)系數(shù)；為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：為邊界上為零的設(shè)定函數(shù) 顯然，上述函數(shù)滿足邊界條件。此時(shí)，位移的變分只能由系數(shù) Am、Bm、 Cm的變分來實(shí)現(xiàn)。與變分無關(guān)。第三十三張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（a）位移的變分：形變勢(shì)能的變分：由式（11-5），可知：（b）將式（a）、（b）代入位移變分方程，有：（11-5）第三十四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月將上式整理、移項(xiàng)、合并，可得：完全任意，且互相獨(dú)立，要使上

18、式成立，則須有：第三十五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（11-10） Ritz 法方程或稱 Rayleigh- Ritz 法方程說明：（1）由 U 的位移表達(dá)式（11-5）可知，U 是系數(shù)的二次函數(shù)，因而，方程（11-10）為各系數(shù)的線性方程 組?；ゲ幌嚓P(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)。（2）求出了系數(shù)就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等（3）在假定位移函數(shù)時(shí)，須保證其滿足全部位移邊界條件。第三十六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 伽遼金（Galerkin）法設(shè)取位移的表達(dá)式如下：（11-9）同時(shí)滿足：（1）位移邊界條件；（2）應(yīng)力邊界條件；位移的變分：將其代入伽遼金

19、變分方程（10-8）：得到：第三十七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月完全任意，且互相獨(dú)立，要使上式成立，則須有：第三十八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月將物理方程和幾何方程代入，有（11-11） 伽遼金（Galerkin）法方程說明：（1）與 Ritz 法類似，得 3m 階的線方程組，可求出3m個(gè)系數(shù)。（2）伽遼金（Galerkin）法與 Ritz 法的區(qū)別：在于設(shè)位移函數(shù)時(shí)，前者要求同時(shí)滿足應(yīng)力、位移邊界條件，而后者只要求滿足位移邊界條件。第三十九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月位移變分法的應(yīng)用：（1）求解彈性體的近似解；（2）推導(dǎo)彈性體的平衡微分方

20、程與自然（力）邊界條件；第四十張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-4 位移變分法應(yīng)用于平面問題1. 形變勢(shì)能表達(dá)式對(duì)于平面應(yīng)變問題：且由式（11-5）（11-12）對(duì)于平面應(yīng)力問題：（11-13）（11-5）第四十一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 位移函數(shù)設(shè)定 由于，兩種平面問題中，都不必考慮 z 方向的位移w，所以位移分量可設(shè)為：（11-14）式中：各系數(shù)的含義和以前相同。3. 變分法方程Ritz 法方程：（在 z 方向取單位長(zhǎng)度）（11-15）Galerkin 法方程：第四十二張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月Galerkin 法方程：（11

21、-16） 適用于平面應(yīng)變問題式中：對(duì)于平面應(yīng)力問題：（11-17）第四十三張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例：圖示薄板，寬為 a，高度為 b，左邊和下邊受連桿支承，右邊和上邊分別受有均布?jí)毫?q1和 q2 作用，不計(jì)體力。試求薄板的位移。解：（1）假設(shè)位移函數(shù)（a）滿足邊界條件：試在式（a）中只取兩個(gè)系數(shù)：A1、B1 ，即（b）（2）計(jì)算形變勢(shì)能 U將式（b）代入（11-13），有（平面應(yīng)力情形下形變勢(shì)能公式）積分得：（c）第四十四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（c）（3）代入Ritz 法方程求解體力有在右邊界：在上邊界：于是有：將式（c）代入，得（11-15）第

22、四十五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月聯(lián)立求解，得：（f）代入位移表達(dá)式（b），得：（g）討論：（1）如果在位移式（a）中再多取一此系數(shù)如：A2、B2等，但是經(jīng)計(jì)算，這些系數(shù)全為零。（2）位移解（g）滿足幾何方程、平衡方程和邊界條件。表明：位移解（g）為問題的精確解。第四十六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例：圖示矩形薄板，寬為2 a，高度為2 b，左右兩邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：（h）不計(jì)體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。解：（1）假設(shè)位移函數(shù)取 m =1, 將位移分量設(shè)為：（i）顯然，可滿足位移邊界條件：第四十七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6

23、月（2）代入Galerkin 法方程求解該問題中，無應(yīng)力邊界條件，式（i）滿足全部條件?？捎觅み|金（Galerkin）法求解。X=Y=0，m=1，伽遼金法方程變?yōu)椋海?1-17）（j）第四十八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 將其代入伽遼金方程（j）, 可求得：代回位移式（h）, 有：第四十九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月代回位移表達(dá)式（h）, 得位移解答：當(dāng) b = a，取 = 0.2時(shí)，上述解答成為：第五十張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（3）求應(yīng)力分量應(yīng)用幾何方程及物理方程，可求得應(yīng)力為：第五十一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月在

24、處，相應(yīng)的面力：第五十二張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例：如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。 PABlxy解：（1）假設(shè)位移試探函數(shù)（必須滿足位移邊界條件）設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項(xiàng)）：式中：a 為待定常數(shù)。（2）計(jì)算：（ a）（ b）顯然，式（a）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件:（3）代入Ritz 法方程，求解（ c）（ d）第五十三張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月PABlxy討論：（1）中點(diǎn)的撓度：（ e）而材料力學(xué)的結(jié)果：兩者比較：式（a）的結(jié)果偏小2%。如果取如下位移函數(shù)：式中項(xiàng)數(shù) m 取得越多，則求得精度就越高。（2）所取的位移函數(shù)必須滿足

25、位移邊界條件。（3）位移函數(shù)選取不是唯一的，如：第五十四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月PABlxy例：如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。 解：（1）假設(shè)位移試探函數(shù)式中：A1、A2 為待定常數(shù)。顯然，式（a）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件:（2）計(jì)算：梁的形變勢(shì)能:（3）代入 Ritz 法方程:第五十五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月PABlxy例：如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。 解：位移函數(shù)（a）（3）代入 Ritz 法方程:所求撓曲線方程:第五十六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月PABlxy所求撓曲線方

26、程:中點(diǎn)撓度:而材料力學(xué)的結(jié)果：說明：（1）設(shè)定的待定系數(shù)個(gè)數(shù)與所得的線性方程數(shù)相同；（2）亦可用最小勢(shì)能原理求解上述問題。第五十七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例：如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。 PABlxy解：（1）假設(shè)位移試探函數(shù)（必須滿足位移邊界條件）設(shè)位移試探函數(shù)為：式中：a 為待定常數(shù)。（2）求系統(tǒng)的總勢(shì)能（ a）（ b）（ c）將式（a）代入，計(jì)算得顯然，式（a）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件:（3）由最小勢(shì)能原理確定常數(shù)（ d）第五十八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月PABlxy說明：（1）（ e）與 Ritz 法結(jié)果相同；（2

27、）所取的位移函數(shù)必須滿足位移邊界條件。（3）位移函數(shù)選取不是唯一的，如：第五十九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例：如圖所示，一端固定，另一端有彈性支承的梁，跨度為 l ，抗彎剛度為EI，彈簧的剛度為 k ，梁上作用有分布載荷q(x)，試用最小勢(shì)能原理導(dǎo)出梁的彎曲微分方程和邊界條件。 解：（1）求系統(tǒng)的總勢(shì)能系統(tǒng)的總勢(shì)能= 梁的彎曲變形能+ 彈簧的變形能+ 外力勢(shì)能(a)式中：w 為梁的撓度。由最小勢(shì)能原理：(b)分部積分：（2）對(duì)總勢(shì)能求變分第六十張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月將其代入式（b），有第六十一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月梁的左端固定

28、，有代入上式，有：的任意性與相互獨(dú)立性，有（3）利用位移邊界條件和變分的任意性確定所需的結(jié)果。第六十二張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 彎曲微分方程 力的邊界條件表明：最小勢(shì)能原理等價(jià)于平衡微分方程和力的邊界條件；第六十三張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月Ritz 法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條件；（2） 計(jì)算形變勢(shì)能 U ；（3）代入Ritz 法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。用最小勢(shì)能原理解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條件；（2） 計(jì)算系統(tǒng)的總勢(shì)能 ；（3） 由最小勢(shì)能原理： =0 ，確定待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力

29、等。第六十四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月圖示簡(jiǎn)支梁，兩端受軸向壓力P 作用，在距左端距離 c處受集中力偶 M 作用，梁的跨度為 l 。試用最小勢(shì)能原理求的梁的撓曲線方程。 例：設(shè)梁的撓曲線方程可設(shè)為：解：設(shè)定梁的撓曲線函數(shù)求系統(tǒng)的總勢(shì)：第六十五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月代入總勢(shì)能計(jì)算公式：由最小勢(shì)能原理求出待定系數(shù)：由于，Am不能等于零，可求得：第六十六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月梁的撓曲線方程為：梁的最小失穩(wěn)載荷為：第六十七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-5 應(yīng)力變分方程1. 形變余能Pxl0lO（1）單向應(yīng)力狀態(tài)設(shè)

30、： 一般的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系形變勢(shì)能（比能）：dd00 單位體積的形變勢(shì)能（比能）形變余能（比能）： 單位體積的形變余能（比余能）對(duì)線彈性體，顯然有：形變勢(shì)能（比能）等于形變余能（比余能）表明：形變比余能在數(shù)值上等于圖中矩形面積減去 U1 后余下的面積。第六十八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）三向應(yīng)力狀態(tài)對(duì)線彈性體，有：物體形變余能：對(duì)線彈性體：物體形變余能常用應(yīng)力表示：第六十九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（3）形變余能的變分對(duì)照形變余比能的表達(dá)式，有：由應(yīng)力表示的卡氏（ Castigliano）定理代入形變余比能的變分表達(dá)式，有：第七十張，PPT共一百二十三頁

31、，創(chuàng)作于2022年6月若將上式中應(yīng)變分量利用幾何方程表示成位移形式，有：代入形變余比能的變分表達(dá)式，有：第七十一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 應(yīng)力變分方程設(shè)有任一彈性體，在外力的作用下處于平衡狀態(tài)。其應(yīng)力和位移分別為： 實(shí)際的應(yīng)力和位移建立：物體形變余能的變化與應(yīng)力變分之間的關(guān)系。（1）應(yīng)力的變分假設(shè)：作用于物體的體力不變，而應(yīng)力分量發(fā)生如下變分： 常稱為虛應(yīng)力滿足：（1）平衡微分方程；（2）應(yīng)力邊界條件（即：在應(yīng)力邊界上變分應(yīng)為零）。變化后應(yīng)力狀態(tài)：（2）應(yīng)力變分方程都滿足平衡方程并作用于同樣的體力，將其分別代入平衡微分方程，并進(jìn)行比較，應(yīng)有：第七十二張，PPT共一百二

32、十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（a）張量表示在位移給定的邊界上，由于應(yīng)力的變分必然引起該邊界上面力的變分：由邊界上應(yīng)力與邊界面間關(guān)系，在位移給定邊界上，應(yīng)有：（b）張量表示第七十三張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由形變余能的變分：利用奧-高公式，將上式每一項(xiàng)作變換，如：將其代入應(yīng)變余能的變分，并整理有：第七十四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月000得到：（11-18）上式表明：由于應(yīng)力的變分，形變余能的變分等于面力的變分在實(shí)際位移上所做的功（虛功）。 應(yīng)力變分方程，也稱Castigliano變分方程。第七十五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月說明：（1）要

33、求應(yīng)力的變分滿足：平衡微分方程；應(yīng)力邊界條件；（2）由位移變分方程：可得；右邊的積分僅當(dāng)在給定非零位移的邊界上才不為零；而在應(yīng)力邊界和固定位移邊界均為零。（3）實(shí)際存在的應(yīng)力應(yīng)滿足：（1）平衡方程；（2）相容方程；（3）應(yīng)力邊界條件；（4）位移邊界條件。（1）平衡方程；（2）應(yīng)力邊界條件；（3）應(yīng)力變分方程可見：應(yīng)力變分方程（1）相容方程；（2）位移邊界條件。特別當(dāng)位移邊界為固定邊界時(shí)，應(yīng)力變分方程等價(jià)于相容方程，且有：第七十六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 最小余能原理將應(yīng)力變分方程：改寫為：（c）在要積分的邊界上，位移是給定的，其變分恒為零，上式可寫為（d）式中：U *

34、 為形變余能； 外力余能； 總余能；于是式（d）可寫成：（d）第七十七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（d）（d）或：上式表明：在滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件的各組應(yīng)力中，實(shí)際存在的應(yīng)力應(yīng)使彈性體的總余能成為極值。如果考慮二階變分，可以證明該極值為極小值。 最小余能原理最小余能原理：是應(yīng)力變分方程的一個(gè)應(yīng)用，等價(jià)于彈性體的相容方程與位移邊界條件。說明：應(yīng)力變分方程或最小余能原理，僅限于單連體問題。對(duì)于多連體問題，還需考慮位移單值條件，而在應(yīng)力變分方程中考慮位移單值是非常復(fù)雜的問題。第七十八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-6 應(yīng)力變分法1. 應(yīng)力分量的設(shè)定 以

35、應(yīng)力為未知量的近似解法滿足平衡微分方程；應(yīng)力分量設(shè)定的要求：滿足應(yīng)力邊界條件。帕普考維奇應(yīng)力分量設(shè)定：（11-19）其中：（1）Am 為互不相關(guān)的 m 個(gè)系數(shù)；平衡方程與應(yīng)力邊界條件的設(shè)定函數(shù)；為滿足（2）（3）為滿足“沒有面力與體力作用時(shí)的平衡方程與應(yīng)力邊界條件”的設(shè)定函數(shù)； 此時(shí)應(yīng)力的變分僅由系數(shù) Am 的變分實(shí)現(xiàn)。第七十九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 應(yīng)力變分法方程（1）彈性體的位移邊界為固定邊界此時(shí)，應(yīng)力變分方程為：將設(shè)定應(yīng)力分量代入形變余能表達(dá)式：將其代入應(yīng)力變分方程，有：由于 Am為互相獨(dú)立，且任意，有：（11-20）由此得到 m 個(gè)線性方程， 可確定m個(gè)系數(shù)

36、Am。（2）彈性體具有給定的非零位移邊界條件第八十張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）彈性體具有給定的非零位移邊界條件此時(shí)，應(yīng)力變分方程為：（a）式中：u、v、w 為已知函數(shù)；而非零位移邊界條件上的面力變分：可由邊界上應(yīng)力應(yīng)滿足的條件確定：（b）將設(shè)定的應(yīng)力分量式（11-19）代入上式，并積分式（a）的右邊，得：（c）式中：Bm 為積分所得的常數(shù)。而式（a）左邊為：（d）第八十一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由式（c）、（d）、（a）可得：由于 Am為互相獨(dú)立，且任意，所以有：（e）式（c）仍為一 m 階的線性方程組，可求解出 m 個(gè)系數(shù) Am，將系數(shù) Am代回

37、應(yīng)力分量設(shè)定式（11-19），即得所求的應(yīng)力。說明：（1）如果無位移被給定，且不等于零的邊界，則所有的 Bm 都為零，此時(shí)式（e）簡(jiǎn)化為：（2）要求設(shè)定的應(yīng)力分量既滿足平衡微分方程、又滿足應(yīng)力邊界條件，往往比較困難。但若某些問題存在應(yīng)力函數(shù)，由于應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量已滿足平衡微分方程，所以，假設(shè)的應(yīng)力分量只需滿足應(yīng)力邊界條件即可。第八十二張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-7 應(yīng)力變分法應(yīng)于平面問題1. 應(yīng)力函數(shù)的設(shè)定對(duì)于平面問題，如果體力為常量，則存在應(yīng)力函數(shù)，使得應(yīng)力表示為：（a） 根據(jù)問題的應(yīng)力邊界條件、及應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系，可將應(yīng)力函數(shù) 設(shè)為：（11-21）其

38、中：Am 為互不相關(guān)的 m 個(gè)系數(shù)；0 給出應(yīng)力分量實(shí)際滿足的 應(yīng)力邊界條件；m 給出應(yīng)力分量滿足的無面力的應(yīng)力邊界條件；第八十三張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 形變余能的計(jì)算（1）平面應(yīng)力問題對(duì)于平面應(yīng)力問題，有：且不隨坐標(biāo) z 變化。 限于考慮線彈性問題在 z 方向取單位厚度，則有：（11-22）（2）平面應(yīng)變問題（11-23）（3）平面單連體問題 無論是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題，兩者的應(yīng)力分量x 、 y 、xy 均與材料常數(shù)無關(guān) ，不妨取 = 0，此時(shí)平面問題的形變余能可用統(tǒng)一的形式：第八十四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月將上式中的應(yīng)力分量用應(yīng)力函

39、數(shù) 表示，有（11-24）3. 應(yīng)力變分方程對(duì)于應(yīng)力邊界條件問題，面力的變分恒為零，所以有：將式（11-24）代入，得第八十五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（11-25） 單連體、應(yīng)力邊界條件問題應(yīng)力變分方程由上述方程可決定全部的待定系數(shù) Am 。第八十六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例：圖示矩形板或長(zhǎng)柱，體力不計(jì)，在兩對(duì)邊上受有按拋物線分布的拉應(yīng)力，其最大集度為 q ，其邊界條件為：求彈性體中的應(yīng)力。解：設(shè)定應(yīng)力函數(shù)先設(shè)：則： 顯然，0 可以滿足全部的應(yīng)力邊界條件。 為使m 滿足無面力的應(yīng)力邊界條件，可取m具有因子：或：第八十七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于

40、2022年6月 為使m 滿足無面力的應(yīng)力邊界條件，可取m具有因子：或：顯然有：由此可知，應(yīng)力函數(shù) 可?。?若在式只取一個(gè)系數(shù)，則 為：（b）（c）第八十八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（c）由應(yīng)力變分方程或最小余能原理，確定待定常數(shù)將式（c）代入，積分得：對(duì)正方形的薄板或長(zhǎng)柱，取 b/a=1，可求得：將其代入式（c），并取 b/a=1，可求得應(yīng)力分量：（11-25）第八十九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月薄板或長(zhǎng)柱中心（x = y =0）處的應(yīng)力：較精確的解約為: 若要求得較精確的解，需在式（b）中取較多系數(shù)項(xiàng)。解題步驟小結(jié)：（1）確定應(yīng)力函數(shù) 的形式由應(yīng)力邊界條

41、件、應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的關(guān)系來設(shè)定。（2）確定應(yīng)力函數(shù) 中的待定系數(shù)由應(yīng)力變分方程或最小勢(shì)能原理確定。（3）計(jì)算應(yīng)力分量第九十張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例：設(shè)平面應(yīng)力問題，全部邊界上為給定應(yīng)力邊界條件，不計(jì)體力。試用最小余能原理證明Airy應(yīng)力函數(shù)（x，y）滿足雙調(diào)和方程：證：計(jì)算系統(tǒng)的總余能： 因?yàn)?，全部邊界為?yīng)力邊界條件，不計(jì)體力，所以其外力余能為零。系統(tǒng)的總余能就等于物體的形變余能：（a）第九十一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（a）計(jì)算總余能變分，并使其等于零第九十二張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月在應(yīng)力邊界上，有：即：第九十三張，PP

42、T共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月利用奧高公式，有：第九十四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)上式中每一項(xiàng)進(jìn)行分部積分，有：因?yàn)樵谶吔缟?，有：在域?nèi)，所以，有，第九十五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-8 應(yīng)力變分法應(yīng)于扭轉(zhuǎn)問題1. 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力變分方程等截面直桿的扭轉(zhuǎn)問題中，存在應(yīng)力函數(shù) ，橫截面剪應(yīng)力可表示為：形變余能 及其變分式中：函數(shù) 為 Prandtl 應(yīng)力函數(shù)。將其代入形變余能計(jì)算式：應(yīng)力函數(shù) 僅為x、y 的函數(shù)，可將上述積分變?yōu)椋浩渲校篖為桿的長(zhǎng)度；G為剪切彈性模量。第九十六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（a）外力的功及其變分 扭轉(zhuǎn)

43、桿件側(cè)面上無外力，因而不存在面力的功。在兩端作用有方向相反的兩扭矩 M，兩端的相對(duì)轉(zhuǎn)角為：KL ，則面力在位移上的功為：W=MKL 由上一章的結(jié)果：得外力的功為：外力的功的變分為：（b）扭轉(zhuǎn)變分方程將式（a）（b）代入變分方程，有：第九十七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月扭轉(zhuǎn)變分方程將式（a）（b）代入變分方程，有：或：（c）以上兩式即為扭轉(zhuǎn)問題的變分方程或最小余能原理。（1）式（c）中： 扭轉(zhuǎn)問題的總余能說明：（2）式（c）中的應(yīng)力函數(shù) 已滿足了兩端的邊界條件。第九十八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 扭轉(zhuǎn)問題的變分方法由于扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù) 要求在邊界上的值等于零

44、，其形式可設(shè)為：其中：Am 為互不相關(guān)的 m 個(gè)系數(shù)。 為使應(yīng)力函數(shù) 在邊界上的值等于零，必須要求函數(shù) m 都在橫截面的邊界上的值為零。將 代入扭轉(zhuǎn)變分方程，注意到其變分是由系數(shù) Am 的變分來實(shí)現(xiàn)的，所以有：（11-26）得到一 m 階的線性方程組，恰好可用來 m 個(gè)系數(shù) Am 。第九十九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例：圖示矩形扭轉(zhuǎn)桿，材料的剪切彈模為G。試求其單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，剪應(yīng)力等。yxOAa/2a/2解：設(shè)定扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)矩形四根邊界線的方程：為滿足 在邊界上的值為零，可取：（d） 由截面的對(duì)稱性，或薄膜比擬，應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)為 x、y 的偶數(shù)，所以，式中 m、n 都只需取

45、為偶數(shù)。 對(duì)正方形截面桿（ b = a ），若在（d）中只取一項(xiàng)（ m = n =0）, 則有第一百張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 對(duì)正方形截面桿（ b = a ），若在（d）中只取一項(xiàng)（ m = n =0）, 則有yxOAa/2a/2代入式（11-26）有：（11-26）代入扭轉(zhuǎn)變分方程確定待定系數(shù)第一百零一張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月經(jīng)積分運(yùn)算，得：從而，有：（e）由公式（10-5）：有：由此求得：對(duì)照式（10-21）：有： 的精確值：0.141，相差：0.14%。兩者僅將求得的 K 代入式（e），有：第一百零二張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6

46、月（10-2）對(duì)照式（10-22）：由公式（10-2），可求得應(yīng)力分量：精確值為：0.208,相差：6.8%。兩者 如果要得更精確的解，需在式（d）中較多的系數(shù)項(xiàng)。如：第一百零三張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 進(jìn)行與上相同的運(yùn)算，得到： 由此算出的單位扭轉(zhuǎn)角 K 比精確值只小0.14%；最大剪應(yīng)力max比精確值只大出4%。第一百零四張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-9 解答的唯一性1. 問題的提出彈性力學(xué)問題的求解方法與途徑：（1）解析解：就所取未知量，有：按應(yīng)力求解；按位移求解；就所用坐標(biāo)系，有：直角坐標(biāo)求解；極坐標(biāo)求解；就解的函數(shù)形式，有：多項(xiàng)解；級(jí)數(shù)解；

47、其它函數(shù)解；復(fù)變函數(shù)解；（2）數(shù)值解：有限差分解（FDM）；有限單元法（FEM）；邊界單元法（BEM）；離散單元法（UDEC） ；不同方法、不同途徑得到的不同形式的解，其數(shù)值是否唯一？第一百零五張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 解答的唯一性及其證明相應(yīng)于一定的體力和邊界條件，某一彈性力學(xué)問題的解是唯一的。 也稱解的唯一性定理。解的唯一性定理證明：（反證法）假設(shè)：在一定的體力、面力、邊界條件下，某個(gè)彈性力學(xué)問題存在兩組解：（1）（2）考察這兩組解是否相同？它們都為同一問題的解，應(yīng)滿足相的平衡方程和邊界條件。對(duì)于第一組解，有：第一百零六張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6

48、月對(duì)于第一組解，類似有：將上述兩組不同的解方程兩邊分相減，有：第一百零七張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月可見：兩組不同的解的差，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為： 這就證明了彈性力學(xué)解的唯一性。等價(jià)于：該彈性體無外力作功，總形變勢(shì)能為零，即：因?yàn)?，物體的形變勢(shì)能恒為非負(fù)，所以，兩組解的差對(duì)應(yīng)的是零解。表明：上述兩組解答必須相同。該彈性體不受體力、面力、邊界位移均為零的狀態(tài)。第一百零八張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11-10 功的互等定理1. 功的互等定理設(shè)某一彈性體（位移邊界條件相同），具有兩種受力狀態(tài)。第一種狀態(tài)：外力：應(yīng)力：應(yīng)變：位移：第二種狀態(tài)：外力：應(yīng)力：應(yīng)變：位移：計(jì)算第一種狀態(tài)的外力，在第二種狀態(tài)位移上所做的功：（a）利用應(yīng)力邊界條件，有第一百零九張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月利用奧高公式，有：將其它各項(xiàng)也作類似處理，有：第一百一十張，PPT共一百二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月將其它