正弦定理和余弦定理-知識點與題型歸納

1、高考明方向掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題備考知考情1.利用正、余弦定理求三角形中的邊、角問題是高考 考查的熱點2.常與三角恒等變換、平面向量相結(jié)合出現(xiàn)在解答題 中，綜合考查三角形中的邊角關(guān)系、三角形形狀的 判斷等問題3.三種題型都有可能出現(xiàn)，屬中低檔題.一、知識梳理名師一號P62知識點一 正弦定理 (其中R為ABC外接圓的半徑)變形1:變形2：變形3： 注意：(補充) 關(guān)于邊的齊次式或關(guān)于角的正弦的齊次式 均可利用正弦定理進行邊角互化。知識點二 余弦定理注意：(補充)（1）關(guān)于邊的二次式或關(guān)于角的余弦 均可考慮利用余弦定理進行邊角互化。（2）勾股定理是余弦定理的特例（

2、3）在中， 用于判斷三角形形狀名師一號P63問題探究 問題3判斷三角形形狀有什么辦法？判斷三角形形狀的兩種途徑：一是化邊為角；二是化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換知識點三 三角形中常見的結(jié)論 ABC的面積公式有：Seq f(1,2)ah(h表示a邊上的高)；Seq f(1,2)absinCeq f(1,2)acsinBeq f(1,2)bcsinAeq f(abc,4R)；-知兩邊（或兩邊的積）及其夾角可求面積Seq f(1,2)r(abc)(r為內(nèi)切圓半徑) (補充)（1）（2）在三角形中大邊對大角，大角對大邊（3）任意兩邊之和大于第三邊， 任意兩邊之差小于第三邊（4）有關(guān)三角

3、形內(nèi)角的常用三角函數(shù)關(guān)系式 利用及誘導公式可得之（5）在ABC中的幾個充要條件: 名師一號P63問題探究 問題4 sinAsinB eq f(a,2R)eq f(b,2R) ab AB. (補充) 若 或() 或()45套之7-19 （6）銳角ABC中的常用結(jié)論 為銳角三角形 4解斜三角形的類型 名師一號P63問題探究 問題1利用正、余弦定理可解決哪幾類問題？在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；(2

4、)已知三邊問題(補充)已知兩邊和其中一邊的對角（如） 用正弦定理或余弦定理均可 名師一號P63問題探究 問題2選用正、余弦定理的原則是什么？若式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；若遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到補充:一、正弦定理推導必修5 證明思路： 轉(zhuǎn)化到特殊情形-直角三角形中二、余弦定理推導必修5 2011年陜西高考考查余弦定理的證明18.（本小題滿分12分）敘述并證明余弦定理。 ，.證明：（證法一） 如圖， 即同理可證 ， （證法二） 已知中，所對邊分別為，以為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，則，

5、即 同理可證 ， 二、例題分析：（一）利用正、余弦定理解三角形例1（1）名師一號P62 對點自測1在ABC中，A60，B75，a10，則c等于()A5eq r(2) B10eq r(2) C.eq f(10r(6),3) D5eq r(6)解析由ABC180，知C45， 由正弦定理得：eq f(a,sinA)eq f(c,sinC). 即eq f(10,f(r(3),2)eq f(c,f(r(2),2). ceq f(10r(6),3).注意：已知兩角及任一邊，求其它邊或角-正弦定理,解唯一例1（2）名師一號P62 對點自測2 在ABC中，若a3，beq r(3)，Aeq f(,3)，則C的大

6、小為_解析由正弦定理可知sinBeq f(bsinA,a)eq f(r(3)sinf(,3),3)eq f(1,2)，所以Beq f(,6)或eq f(5,6)(舍去)，(因為ab即Aeq f(,3) B 所以Beq f(,6)所以CABeq f(,3)eq f(,6)eq f(,2).一解!變式1: 在ABC中，若b3，aeq r(3)，Aeq f(,3)，則C的大小為_答案: sinB1 無解!變式2: 在中，已知，解.答案： 或兩解!變式3:求邊？注意： 知道兩邊和其中一邊的對角（如）解三角形 可用正弦定理先求出角也可用余弦定理先求出邊 再求解。兩種方法均須注意解的個數(shù)！ 可能有一解、二

7、解、無解，應注意區(qū)分練習:(補充)（2009山東文17）已知函數(shù) 處取最小值。（I）求的值； （）在中，分別是角A，B，C的對邊，已知求角C。【解析】（）f(x)2sinxsin(x+).因為f(x)在x時取最小值，所以sin(+)=-1,故sin=1.又0，所以， （）由（）知f(x)=sin(x+)=cosx.因為f(A)=cosA=,且A為ABC的角，所以A.由正弦定理得sinB=,又ba，當時，當時，綜上所述，來例2 (補充) 若滿足條件，的有兩個，求的取值范圍.答案：注意：判斷三角形解的個數(shù)常用方法：(1)在中，已知。構(gòu)造直角三角形判斷(2)利用余弦定理判斷（一元二次方程正根個數(shù)）

8、勿忘大邊對大角判斷 已知兩邊及其中一邊對角，判斷三角形解的個數(shù)的方法：應用三角形中大邊對大角的性質(zhì) 以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個數(shù)在ABC中，已知a、b和A， 以點C為圓心，以邊長a為半徑畫弧， 此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數(shù) 即為三角形的個數(shù)，解的個數(shù)見下表：圖示已知a、b、A，ABC解的情況()A為鈍角或直角時解的情況如下：()A為銳角時，解的情況如下： = 3 * GB3 運用余弦定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于一元二次方程 正根個數(shù)問題練習: 已知中，若，且三角形有兩解，求角的取值范圍。答案：由條件知bsinAa，即2eq r(2)sinA2， sinAeq f(r(2),2)，ab，AB，A

9、為銳角，0Aeq f(,4).例3（1）名師一號P62 對點自測3在ABC中，aeq r(3)，b1，c2，則A等于()A30 B45 C60 D75解析由余弦定理得：cosAeq f(b2c2a2,2bc)eq f(143,212)eq f(1,2)，0A，A60.注意：已知三邊，求其它邊或角-余弦定理例3（2）名師一號P63 高頻考點 例1(2)(2014新課標全國卷)鈍角三角形ABC的面積是eq f(1,2)，AB1，BCeq r(2)，則AC()A5 B.eq r(5) C2 D1解:由題意知SABCeq f(1,2)ABBCsinB，即eq f(1,2)eq f(1,2)1eq r(

10、2)sinB，解得sinBeq f(r(2),2)，B45或B135.當B45時，AC2AB2BC22ABBCcosB12(eq r(2)221eq r(2)eq f(r(2),2)1.此時AC2AB2BC2，ABC為直角三角形， 不符合題意；當B135時，AC2AB2BC22ABBCcosB12(eq r(2)221eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)5，解得ACeq r(5). 符合題意故選B.注意：已知兩邊夾角，求其它邊或角-余弦定理小結(jié):已知與待求涉及三邊和一角的關(guān)系-余弦定理例4（1）名師一號P63 高頻考點 例1(1)(2014江西卷)在ABC

11、中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若3a2b，則eq f(2sin2Bsin2A,sin2A)的值為()Aeq f(1,9) B.eq f(1,3) C1 D.eq f(7,2)解:3a2b，由正弦定理得eq f(a,b)eq f(sinA,sinB)eq f(2,3).eq f(sin2A,sin2B)eq f(4,9)，eq f(2sin2Bsin2A,sin2A)2eq f(sin2B,sin2A)12eq f(9,4)1eq f(9,2)1eq f(7,2).例4（2）名師一號P62 對點自測已知ABC三邊滿足a2b2c2eq r(3)ab，則此三角形的最大內(nèi)角為_解析a2b

12、2c2eq r(3)ab，cosCeq f(a2b2c2,2ab)eq f(r(3),2)，故C150為三角形的最大內(nèi)角注意：（1）關(guān)于邊的齊次式或關(guān)于角的正弦的齊次式均可利用正弦定理進行邊角互化。（2）關(guān)于邊的二次式或關(guān)于角的余弦 均可考慮利用余弦定理進行邊角互化.注意等價轉(zhuǎn)換!練習:(2010天津理)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2b2eq r(3)bc，sinC2eq r(3)sinB，則A()A30 B60 C120 D150 解:由余弦定理得：cosAeq f(b2c2a2,2bc)，由題知b2a2eq r(3)bc，c22eq r(3)bc，則cosAeq

13、f(r(3),2)，又A(0，180)，A30，故選A.注意：已知三邊比例關(guān)系-余弦定理（二）三角形的面積例1（1）名師一號P62 對點自測6(2014福建卷)在ABC中，A60，AC4，BC2eq r(3)，則ABC的面積等于_解析由題意及余弦定理得cosAeq f(b2c2a2,2bc)eq f(c21612,24c)eq f(1,2)，解得c2.所以Seq f(1,2)bcsinAeq f(1,2)42sin602eq r(3). 故答案為2eq r(3).注意： 知道兩邊和其中一邊的對角（如）解三角形可用正弦定理先求出角也可用余弦定理先求出邊再求解。兩種方法均須注意解的個數(shù)！本例用余弦

14、求邊更快捷.例1（2）名師一號P63 高頻考點 例3(2014浙江卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ab，ceq r(3)，cos2Acos2Beq r(3)sinAcosAeq r(3)sinBcosB.(1)求角C的大?。?2)若sinAeq f(4,5)，求ABC的面積解:(1)由題意得eq f(1cos2A,2)eq f(1cos2B,2)eq f(r(3),2)sin2Aeq f(r(3),2)sin2B，即eq f(r(3),2)sin2Aeq f(1,2)cos2Aeq f(r(3),2)sin2Beq f(1,2)cos2B，sineq blc(rc)

15、(avs4alco1(2Af(,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(2Bf(,6).由ab，得AB，又AB(0，)得2Aeq f(,6)2Beq f(,6)，即ABeq f(2,3)，所以Ceq f(,3).(2)由ceq r(3)，sinAeq f(4,5)，eq f(a,sinA)eq f(c,sinC)，得aeq f(8,5).由ac，得AC，從而cosAeq f(3,5)，故sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCeq f(43r(3),10).所以ABC的面積為Seq f(1,2)acsinBeq f(8r(3)18,25).【規(guī)律方法】三角形面積公式的

16、應用原則(1)對于面積公式Seq f(1,2)absinCeq f(1,2)acsinBeq f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化（三）三角形形狀的判定例1（1）名師一號P63 高頻考點 例2在ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大?。?2)若sinBsinC1，試判斷ABC的形狀解:(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccosA，故cosAeq f(1,2)

17、，0A180，A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2CsinBsinCeq f(3,4).又sinBsinC1，解得sinBsinCeq f(1,2).0B60，0C0且sinCAD0，則由正余弦的關(guān)系可得sinBADeq r(1cos2BAD)eq f(3r(21),14)，且sinCADeq r(1cos2CAD)eq f(r(21),7)，由正弦的和差角公式可得sinBACsin(BADCAD)sinBADcosCADsinCADcosBADeq f(3r(21),14)eq f(2r(7),7)eq f(r(21),7)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(

18、7),14)eq f(3r(3),7)eq f(r(3),14)eq f(r(3),2)，再由ABC的正弦定理可得eq f(AC,sinCBA)eq f(BC,sinBAC)BCeq f(r(7),blc(rc)(avs4alco1(f(r(21),6)eq f(r(3),2)3.2、45套之7-19（2）-方程的思想課后作業(yè)計時雙基練P251基礎(chǔ)1-6；課本P63變式思考1、3補充練習1、2、3計時雙基練P251基礎(chǔ)7-11；培優(yōu)1-4課本P63變式思考2 三、課本P64典例、對應訓練 補充練習4、5預習 第七節(jié)補充練習:1、（2009山東文17）已知函數(shù) 處取最小值。（I）求的值； （）在

19、中，分別是角A，B，C的對邊，已知求角C。【解析】（）f(x)2sinxsin(x+).因為f(x)在x時取最小值，所以sin(+)=-1,故sin=1.又0，所以， （）由（）知f(x)=sin(x+)=cosx.因為f(A)=cosA=,且A為ABC的角，所以A.由正弦定理得sinB=,又ba，當時，當時，綜上所述，2、 已知中，若，且三角形有兩解，求角的取值范圍。答案：由條件知bsinAa，即2eq r(2)sinA2， sinAeq f(r(2),2)，ab，AB，A為銳角，0Aeq f(,4).3、已知ABC中，A60，BC=2eq r(3)，則其外接圓面積為_ 答案：注意： 勿忘正弦定理中 三角形各邊與對角正弦的比