高二數學上冊重難點突破：專題12 拋物線方程及其簡單幾何性質中檔題突破（解析版）

1、 16/16專題12 拋物線方程及其簡單幾何性質性質題型一 求軌跡方程1已知點到的距離與到直線的距離相等，求點的軌跡方程【解答】解：設點為，則根據題意故答案為：2已知圓的方程為，求與軸相切且與圓外切的動圓圓心軌跡方程【解答】解：若動圓在軸右側，則動圓圓心到定點與到定直線的距離相等，其軌跡是拋物線，方程為，若動圓在軸左側，則動圓圓心軌跡是負半軸，方程為，綜上，動圓圓心軌跡方程是或，3點到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是【解答】解：設，依題意得點到點的距離比它到直線的距離小1，由兩點間的距離公式，得，根據平面幾何原理，得，原方程化為兩邊平方，得，整理得即點的軌跡方程是故答案為：4點到

2、點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是【解答】解：點到點的距離比它到直線的距離小1，點到直線的距離和它到點的距離相等根據拋物線的定義可得點的軌跡是以點為焦點，以直線為準線的拋物線，拋物線的標準方程為，故答案為5平面上動點到定點的距離比點到軸的距離大1，求動點的軌跡方程【解答】解：設，由到定點的距離為，到軸的距離為，當時，的軌跡為；當時，又動點到定點的距離比到軸的距離大1，列出等式：化簡得，為焦點為的拋物線則動點的軌跡方程為：或6設動圓與軸相切且與圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程為或【解答】解：設動圓圓心的坐標為，則動圓與軸相切且與圓相外切，當時，；當時，故答案為：或7已知動圓與定圓相外切

3、，又與定直線相切，求動圓的圓心的軌跡方程【解答】解：令點坐標為，動圓得半徑為，則根據兩圓相外切及直線與圓相切得性質可得，在直線的左側，故到定直線的距離是，所以，即，化簡得：8已知是拋物線的頂點，、是上的兩個動點，且（1）試判斷直線是否經過某一個定點？若是，求這個定點的坐標；若不是，說明理由；（2）設點是的外接圓圓心，求點的軌跡方程【解答】解：（1）因為點是拋物線的頂點，故點的坐標為，根據題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為：，設，故，因為，則，因為、是上的兩個動點，則有，故，整理可得，解得，由，消去可得，則有，所以，解得，故直線的方程為，所以直線經過一個定點（2）線段的中點坐標為，又直線的斜

4、率為，所以線段的垂直平分線的方程為，同理，線段的垂直平分線的方程為，由解得，設點，則有，消去，得到，所以點的軌跡方程為題型二 拋物線的幾何性質9已知拋物線的焦點為，在上有一點，則的中點到軸的距離為A4B5CD6【解答】解：設拋物線的準線為，過點作于點，準線與軸的交點為，由拋物線的定義可知，故的中點到的準線的距離為，故的中點到軸的距離為4故選：10設拋物線的焦點為，準線為，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，設，與相交于點若，且的面積為，則點到準線的距離是ABCD【解答】解：如圖所示：拋物線的焦點，準線方程為：，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，可得，又由且，所以，所以，解得，代入拋物線的方程，可得，

5、又由且，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點，所以的面積為，解得，所以點到準線的距離是，故選：11已知直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限，點在第四象限），與軸交于點，若線段的中點的橫坐標為3，則的取值范圍是A，B，C，D，【解答】解：設，直線方程為聯立，消去，得，所以所以，因為、中點橫坐標為3，所以，故，又，所以的取值范圍，故選：12已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，線段的延長線交拋物線的準線于點若，則A2B3C6D8【解答】解：設、在準線上的射影分別為、，過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，線段的延長線交拋物線的準線于點，由，可得：，因為，可得，故選：13以拋物線的頂點為圓心的圓

6、交于，兩點，交的準線于，兩點，已知，則A2B4C6D8【解答】解：設拋物線為，如圖，丨丨丨丨丨丨丨丨，解得，故選：14已知拋物線的焦點為，經過的直線交拋物線于，、，過點、作拋物線準線的垂線，垂足分別為、，則以下四個結論正確的是ABCD【解答】解：當直線的斜率不存在時，此時，成立，不成立；，成立；，不成立當的斜率存在時，可設，聯立，得得，故成立；而，故不成立；，故，成立；而，故不成立故選：15已知拋物線，焦點為，過焦點的直線拋物線相交于，兩點，則下列說法一定正確的是A的最小值為2B線段為直徑的圓與直線相切C為定值D若，則【解答】解：拋物線，焦點為，準線方程為，過焦點的弦中通徑最短，所以的最小值為

7、，故不正確，如圖：設線段的中點為，過點，作準線的垂線，垂足分別為，由拋物線的定義可得，所以，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故正確；設直線所在的直線方程為，由，消去可得，所以，所以，故正確；所以，故正確故選：題型三 最值問題16已知拋物線方程為，直線的方程為，在拋物線上有一動點，點到軸的距離為，點到直線的距離為，則的最小值為【解答】解：由題意，點到準線的距離等于點到焦點的距離，從而到軸的距離等于點到焦點的距離減1過焦點作直線的垂線，此時最小，則，則的最小值為故答案為：17設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為【解答】解：根據題意，設，則由，得，當且

8、僅當時取等號，直線的斜率的最大值為故答案為：18已知拋物線的焦點為，直線與該拋物線相交于，兩點，則線段的最小值為A1B2C3D4【解答】解：由，可得，則，即，易知直線過該拋物線的焦點，因為過焦點的弦中通徑最短，所以線段的最小值為，故選：19拋物線的焦點為，的準線與軸交于點，為上的動點則的最小值為A1BCD【解答】解：由題意可得焦點，準線，過點作準線，所以，因為，所以，求的最小值等價于求的最大值，設，所以，所以，當時，最小值為，所以最小值為故選：20已知為曲線上一點，則的最小值為A6BC5D【解答】解：由題意可得，曲線是拋物線的右半部分且是焦點，為曲線上一點，設到準線的距離為，則，要使其最小，則

9、即為到準線的距離，的最小值為故選：21已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于，兩點，為的中點，為上一點，則的最小值為A5B6C7D8【解答】解：由題意，得，故直線的方程為，聯立可得，設，則，故，過作垂直準線于點，根據拋物線的定義可得：，故選：22已知拋物線的焦點為，點、為拋物線上的兩個動點，且，過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最小值為ABC2D1【解答】解：設，由拋物線定義，得，在梯形中，由余弦定理得，配方得，又，得到（當時取等號）則的最小值為1故選：23已知過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，則的最小值為ABCD6【解答】解：作軸于點，軸于設，由拋物線的方程可得，準線的方程為，作于

10、，于，由拋物線的定義可得，所以，當時，所以，所以，所以，當時，所以，綜上，的最小值為，故選：24已知點是拋物線上一點，點為拋物線的焦點，點，則的周長的最小值為A3B1CD【解答】解由題意可得在拋物線的內部，過向拋物線的準線作垂線交準線于交拋物線于，中，三角形的周長為：，由拋物線的性質，可得，由拋物線的方程可得，拋物線的準線方程為，所以，所以三角形的周長的最小值為：故選：25拋物線上的點到直線距離的最小值是A3BCD【解答】解：因為點在拋物線上，設，則點到直線的距離，當時，故選：26已知拋物線的焦點為，過點的直線交于，兩點，則的中點到的準線的距離的最小值為A2B4C5D6【解答】解：如圖，解：分別