高中數學排列和組合

1、關于高中數學排列與組合第一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月從已知的3個不同元素中每次取出2個元素 ,并成一組問題2從已知的3 個不同元素中每次取出2個元素 ,按照一定的順序排成一列.問題1排列組合有順序無順序第二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 一般地，從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合 排列與組合的概念有什么共同點與不同點？ 概念講解組合定義:第三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月組合定義: 一般地，從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合排列定義: 一般地，從n

2、個不同元素中取出m (mn) 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列.共同點: 都要“從n個不同元素中任取m個元素” 不同點: 排列與元素的順序有關， 而組合則與元素的順序無關.概念講解第四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月思考一:ab與ba是相同的排列還是相同的組合?為什么?思考二:兩個相同的排列有什么特點?兩個相同的組合呢?）元素相同；）元素排列順序相同.元素相同概念理解 構造排列分成兩步完成，先取后排；而構造組合就是其中一個步驟.思考三:組合與排列有聯(lián)系嗎?第五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月判斷下列問題是組合問題還是排列問題

3、? (1)設集合A=a,b,c,d,e，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票? 有多少種不同的火車票價？組合問題排列問題(3)10名同學分成人數相同的數學和英語兩個學習小組,共有多少種分法?組合問題(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候,共需握手多少次?組合問題(5)從4個風景點中選出2個游覽,有多少種不同的方法?組合問題(6)從4個風景點中選出2個,并確定這2個風景點的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問題組合問題組合是選擇的結果，排列是選擇后再排序的結果.第六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1.從 a , b

4、 , c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合分別是:ab , ac , bc 2.已知4個元素a , b , c , d ,寫出每次取出兩個元素的所有組合.ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3個)(6個)概念理解第七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號 表示.如:從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數是:如:已知4個元素a 、b 、 c 、 d ,寫出每次取出兩個元素的所有組合個數是：概念講解組合數:注意

5、： 是一個數，應該把它與“組合”區(qū)別開來 第八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1.寫出從a,b,c,d 四個元素中任取三個元素的所有組合。abc ， abd ， acd ， bcd .bcddcbacd練一練第九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月組合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數？你發(fā)現了什么?第十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月如何計算:第十一張，PPT共

6、三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月組合數公式 排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系根據分步計數原理，得到：因此： 一般地，求從 個不同元素中取出 個元素的排列數，可以分為以下2步： 第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數 第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數 這里 ，且 ，這個公式叫做組合數公式 概念講解第十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月組合數公式: 從 n 個不同元中取出m個元素的排列數 概念講解第十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例1計算： 例2.甲、乙、丙、丁4支足球隊舉行單循環(huán)賽，(1)列出所有各場比賽的雙方；（2)列出所有冠亞軍的可能情況.（2

7、）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例題分析(4)求第十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例3第十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例1：一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽。按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人。問： （1）這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場方案？（2）如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？第十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例3.(1)凸五邊形有多少條對角線？(

8、2)凸n（ n3）邊形有多少條對角線？例2.(1)平面內有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？ (2)平面內有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？第十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例4：在100件產品中有98件合格品，2件次品。產品檢驗時,從100件產品中任意抽出3件。(1)一共有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少種？說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解。第十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月變式

9、練習按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當選；（2）甲、乙、丙三人不能當選；（3）甲必須當選，乙、丙不能當選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當選；第十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例5、某醫(yī)院有內科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現要派5人參加支邊醫(yī)療隊，至少要有1名內科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生參加，有多少種選法？例6：（1）平面內有9個點，其中4個點在一條直線上，此外沒有3個點在一條直線上，過這9個點可確定多少條直線？可以作多少個三角形？（2）空間12個點，其中5個點共面，此外無任何4個

10、點共面，這12個點可確定多少個不同的平面？第二十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例7、有翻譯人員11名，其中5名僅通英語、4名僅通法語，還有2名英、法語皆通?，F欲從中選出8名，其中4名譯英語，另外4名譯法語，一共可列多少張不同的名單？例8、8雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（1）4只鞋子恰有兩雙；（2） 4只鞋子沒有成雙的；（3） 4只鞋子只有一雙。第二十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月課堂練習：2、從6位同學中選出4位參加一個座談會，要求張、王兩人中至多有一個人參加，則有不同的選法種數為 。3、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)

11、生中選5人組成一個醫(yī)療隊，如果其中至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則不同的選法種數為（ ）4、從7人中選出3人分別擔任學習委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數共有（ ）1、把6個學生分到一個工廠的三個車間實習，每個車間2人，若甲必須分到一車間，乙和丙不能分到二車間，則不同的分法有 種 。99CD第二十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月5、在如圖7x4的方格紙上（每小方格均為正方形） （1）其中有多少個矩形？ （2）其中有多少個正方形？課堂練習：第二十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月排列組合組合的概念組合數的概念組合是選擇的結果，排列是選擇后再排

12、序的結果聯(lián)系小結第二十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月一個口袋內裝有大小相同的7個白球和1個黑球 從口袋內取出3個球，共有多少種取法？ 從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？ 從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？ 解：（1） 性質2第二十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 我們可以這樣解釋：從口袋內的8個球中所取出的3個球，可以分為兩類：一類含有1個黑球，一類不含有黑球因此根據分類計數原理，上述等式成立 我們發(fā)現：為什么呢第二十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月性質2第二十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 注:1 公式特

13、征：下標相同而上標差1的兩個組合數之和，等于下標比原下標多1而上標與原組合數上標較大的相同的一個組合數 2 此性質的作用：恒等變形，簡化運算在今后學習“二項式定理”時，我們會看到它的主要應用第二十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例計算：第二十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 求證:第三十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月一、等分組與不等分組問題例3、6本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法；（1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；（2）分成三份，每份兩本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；

14、（5）分給甲、乙、丙3人，每人至少一本；（6）分給5個人，每人至少一本；（7）6本相同的書，分給甲乙丙三人，每人至少一本。第三十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月練習：(1)今有10件不同獎品,從中選6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少種分法?(2) 今有10件不同獎品,從中選6件分給甲乙丙三人,每人二件有多少種分法?解: (1)(2)第三十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例4、某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（ ）（A） 種（B） 種 （C）

15、種 （D） 種二、不相鄰問題插空法第三十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、混合問題，先“組”后“排”例5 對某種產品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時全部發(fā)現,則這樣的測試方法有種可能？解：由題意知前5次測試恰有4次測到次品，且第5次測試是次品。故有： 種可能。第三十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月練習：1、某學習小組有5個男生3個女生，從中選3名男生和1名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有1人參加，則有不同參賽方法_種.解：采用先組后排方法:2、3 名醫(yī)生和 6 名護士被分配到 3 所學校為學生體檢,

16、每校分配 1 名醫(yī)生和 2 名護士,不同的分配方法共有多少種?解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）解法二：依次確定到第一、第二、第三所學校去的醫(yī)生和護士.第三十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月四、分類組合,隔板處理例6、 從6個學校中選出30名學生參加數學競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?分析:問題相當于把個30相同球放入6個不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類問可用“隔板法”處理.解:采用“隔板法” 得:第三十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月練習： 1、將8個學生干部的培訓指標分配給5個不同的班級，每班至少分到1個名額，共有多少種不同的分配方法？2、從一樓到二樓的樓梯有17級，上樓時可以一步走一級，也可以一步走兩級，若要求11步走完，則有多少種不同的走法？第三十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月課堂練習：2、從6位同學中選出4位參加一個座談會，要求張