2021-2022學(xué)年遼寧省撫順市第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021-2022學(xué)年遼寧省撫順市第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知向量，若，則（ ）A. 8B. 8C. 2D. 2【答案】C【解析】【分析】由向量數(shù)量積直接求解.【詳解】由題意得，解得故選：C2. 要得到函數(shù)圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A. 向左平移個(gè)單位長度B. 向左平移個(gè)單位長度C. 向右平移個(gè)單位長度D. 向右平移個(gè)單位長度【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖像平移的規(guī)律，算出答案即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的圖象平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則，所以，解得，所以向右平移個(gè)單位長度.故選：C.3

2、. 已知某圓錐的高為3，底面半徑為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，利用扇形的面積公式直接列式計(jì)算即可得出答案.【詳解】解：由題意得，該圓錐的側(cè)面積為故選：A.4. 記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（ ）A. B. 3C. D. 2【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求解.【詳解】解：由題意得，由正弦定理得，得故選：B5. 已知輪船在燈塔的北偏東45方向上，輪船在燈塔的南偏西15方向上，且輪船，與燈塔之間的距離分別是千米和千米，則輪船，之間的距離是（ ）A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米【答案】D【解析】

3、【分析】根據(jù)題意作出示意圖，分析角度后，再利用余弦定理解題即可.【詳解】如圖，由題意可知千米，千米，由余弦定理可得，則千米故選：D.6. 在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則從點(diǎn)沿著四棱錐的表面到點(diǎn)的最短路徑的長度為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】對點(diǎn)到點(diǎn)的路徑進(jìn)行分類討論，將相應(yīng)平面延展為同一平面，結(jié)合余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】分以下幾種情況討論：（1）當(dāng)點(diǎn)沿著平面、到點(diǎn)，將平面、延展為同一平面，如下圖所示：易知、均為等邊三角形，延展后，所以，四邊形為菱形，所以，且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，此時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)沿著平面、到點(diǎn)，將平面、延展至

4、同一平面，如下圖所示：連接，則，且，因?yàn)?，由余弦定理可得；?）當(dāng)點(diǎn)沿著平面、到點(diǎn)，連接，如下圖所示：則，由余弦定理可得；（4）當(dāng)點(diǎn)沿著平面、到點(diǎn)，將這三個(gè)側(cè)面延展為同一平面，如下圖所示：易知、三點(diǎn)共線，且，由余弦定理可得.綜上所述，從點(diǎn)沿著四棱錐的表面到點(diǎn)的最短路徑的長度為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；（2）對于幾何體內(nèi)部折線段長的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合勾股定理求解.7. 衡量鉆石價(jià)值的4C

5、標(biāo)準(zhǔn)之一是切工理想切工是一種高雅且杰出的切工，它使鉆石幾乎反射了所有進(jìn)入鉆石的光線現(xiàn)有一理想切工的鉆石，其橫截面如圖所示，其中為等腰直角三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如圖，延長CD和BE交于點(diǎn)F，證明四邊形ABFC為正方形，再利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】解：如圖，延長CD和BE交于點(diǎn)F，由題得,所以四邊形ABFC為矩形，又,所以四邊形ABFC為正方形，又，所以分別是中點(diǎn)，所以故選：C8. 記的內(nèi)角，的對邊分別為，若的面積為2，則當(dāng)?shù)闹荛L取到最小值時(shí)，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由余弦定理、面積

6、公式及函數(shù)的單調(diào)性可求解.【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以由余弦定理，得，得，則因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)最小時(shí)，的周長最小又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），所以故當(dāng)?shù)闹荛L取到最小值時(shí)，故選：A二、選擇題：本題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分9. 下列結(jié)論正確的有（ ）A. 三棱柱有6個(gè)頂點(diǎn)B. 四棱臺有8條棱C. 五棱錐有6個(gè)面D. 正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)簡單幾何體的定義和結(jié)構(gòu)特征可得答案.【詳解】三棱柱有6個(gè)頂點(diǎn)，四棱臺有12條棱，五棱錐有6個(gè)面，正棱錐的側(cè)面是全等的

7、等腰三角形.故選：ACD.10. 已知復(fù)數(shù)，滿足，則（ ）A. B. C. D. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出、，再一一計(jì)算可得；【詳解】解：由題意得，所以，所以，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第一象限.故選：ACD11. 已知函數(shù)，則下列命題正確的是（ ）A. 的圖象關(guān)于直線對稱B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C. 在上單調(diào)遞減D. 對任意的m，在上不單調(diào)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換公式化簡可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)分別求解對稱軸、對稱點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間再逐個(gè)判斷即可【詳解】對A，令，解得，所以的圖象關(guān)于直線對稱，則A正確

8、；對B，令，解得，當(dāng)時(shí)，則B錯(cuò)誤；對C，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，則C錯(cuò)誤；對D，因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以，所以對任意的m，在上不單調(diào)，則D正確故選：AD12. 記的內(nèi)角，的對邊分別為，且，下列結(jié)論正確的有（ ）A. B. C. 是直角三角形D. 若，則的面積為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用三角函數(shù)恒等變換公式對化簡可求出角，對于B，由已知條件結(jié)合正弦定理可求出角，對于C，由選項(xiàng)AB可判斷三角形的形狀，對于D，由結(jié)合選項(xiàng)AB可求出三角形的面積【詳解】因?yàn)?，所?又，所以，則或，所以A錯(cuò)誤，因?yàn)椋?，所以，則，而C為三角形內(nèi)角，故，所以B正確，若，則，故一定是直角三角形，所以C

9、正確，若，則，故面積為，所以D正確，故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 如圖，在長方體中，M，N分別是EH和FG的中點(diǎn)，則在三條直線AD，CD，BF中，與直線MN是異面直線的共有_條【答案】2【解析】【分析】由MN/CD，判斷出MN與CD;由異面直線的判定定理判斷出直線AD，BF均與MN異面【詳解】因?yàn)镸N/CD，MN與CD共面;由異面直線的判定定理可得：直線AD，BF均與MN異面故答案為：214. 已知，則_，_【答案】 . 3 . 2【解析】【分析】根據(jù)已知化簡計(jì)算可得，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，即，所以故答案為：3，-2.15. 如圖，在一場足球比賽

10、中，甲同學(xué)從點(diǎn)處開始做勻速直線運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)踢著足球在點(diǎn)處正以自己速度的向做勻速直線運(yùn)動，已知，.若忽略甲同學(xué)轉(zhuǎn)身所需的時(shí)間，則甲同學(xué)最快攔截乙同學(xué)的點(diǎn)是線段上離處_m的點(diǎn).【答案】5【解析】【分析】甲同學(xué)最快攔截乙同學(xué)的地點(diǎn)是點(diǎn)，則，進(jìn)而在中結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】解：如圖，設(shè)甲同學(xué)最快攔截乙同學(xué)的地點(diǎn)是點(diǎn)，則，所以，在中，整理可得，解得或（舍去）.、故甲同學(xué)最快攔截乙同學(xué)的點(diǎn)是線段上離處5m的點(diǎn).故答案為：.16. 如圖，三棱錐的底面的斜二測直觀圖為，已知底面，則三棱錐外接球的體積_【答案】#【解析】【分析】先由斜二測畫法得，再結(jié)合底面求出外接球半徑，即可求解.【詳解】由

11、題意得，且所以由斜二測畫法得，在原圖中，所以三棱錐外接球的半徑，則故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟17. 已知復(fù)數(shù)（1）若，求的值；（2）若為純虛數(shù)求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由，可知為實(shí)數(shù)，所以，得或當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，符合題意，故【小問2詳解】由題意得，解得，即18. 已知單位向量，的夾角為，且向量，（1）用，表示出一個(gè)與共線的非零向量；（2）求與夾角的余弦值【答案】（1）（答案不唯一） （2）【解析】【分析】(1)將 看做基底，根據(jù)向量共線的規(guī)則，設(shè) 即可；(2

12、)用數(shù)量積求夾角即可.【小問1詳解】由題意得，所以與共線的非零向量可以是 ，不妨設(shè) ，則該向量為；【小問2詳解】因?yàn)椋?，故；綜上，與共線的非零向量為， 與 夾角的余弦值為 .19. 如圖，在三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)（1）證明：，四點(diǎn)共面（2）證明：，三線共點(diǎn)【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析【解析】【分析】(1)通過線線平行證明線線共線，從而達(dá)到四點(diǎn)共面；(2) 先延長，相交于點(diǎn)，再通過點(diǎn)線面的關(guān)系可證明結(jié)論.【小問1詳解】如圖，連接，是的中位線，且，四邊形是平行四邊形，四點(diǎn)共面【小問2詳解】如圖，延長，相交于點(diǎn)，平面，平面，平面，平面平面平面，三線共點(diǎn)20. 已知函數(shù)部分圖像如圖

13、所示（1）求的解析式；（2）若在上的值域?yàn)?，求的取值范圍【答案】?） （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題給條件依次求得參數(shù)即可求得的解析式；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)果化簡條件，再利用在上的值域?yàn)?，列出關(guān)于的不等式，即可求得的取值范圍【小問1詳解】由圖可知的最小正周期記為T，則，得因?yàn)?，所以由，得，即，又因?yàn)?，所以，所以【小?詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)，則，即又， 所以，解得，即的取值范圍是21. 如圖，在圓錐中，為底面圓上的三個(gè)點(diǎn)，且，（1）證明：平面（2）求四棱錐的體積【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）設(shè)線段上靠近的三等分點(diǎn)為，連接，再結(jié)合條件證明四邊形為平行四邊形，分析求解即可；（2）作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，再求出梯形的面積，由圓錐性質(zhì)得到平面的距離為，再利用公式求解即可.【小問1詳解】如圖，設(shè)線段上靠近的三等分點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，所以，且，因?yàn)?，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面【小?詳解】作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，所以梯形的面積為，因?yàn)?，所以到平面的距離為，所以四棱錐的體積為22. 如圖，記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A的角平分線交BC于點(diǎn)D，O為的重心，過O作，交AD于點(diǎn)P，過P作于點(diǎn)E.（1）求的取值范圍；（2）若四邊形BDPE與的面積之比為，求的取值范圍.【