BS定價模型和希臘字母介紹

1、正文目錄 HYPERLINK l _TOC_250003 正文 3 HYPERLINK l _TOC_250002 期權(quán)定價 3BS 模型分析 4 HYPERLINK l _TOC_250001 期權(quán)希臘字母 9 HYPERLINK l _TOC_250000 5. 總結(jié) 15圖表目錄圖表 1、不同行權(quán)價下看漲期權(quán)價格（S=100） 5圖表 2、不同波動率下看漲期權(quán)價格（平值） 5圖表 3、不同剩余天數(shù)下看漲期權(quán)價格（平值） 5圖表 4、不同資金利率下看漲期權(quán)價格（平值） 5圖表 5、看漲期權(quán)與波動率之間的關(guān)系 6圖表 6、看跌期權(quán)與波動率之間的關(guān)系 6圖表 7、波動率與不同看漲期權(quán)價格關(guān)系

2、6圖表 8、波動率與不同看跌期權(quán)價格關(guān)系 6圖表 9、看漲期權(quán)與剩余時間之間的關(guān)系 7圖表 10、看跌期權(quán)與剩余時間之間的關(guān)系 7圖表 11、剩余時間與不同看漲期權(quán)價格關(guān)系 7圖表 12、剩余時間與不同看跌期權(quán)價格關(guān)系 8圖表 13、看漲期權(quán)與波動率之間的關(guān)系 8圖表 14、看跌期權(quán)與波動率之間的關(guān)系 8圖表 15、無風(fēng)險利率與不同看漲期權(quán)價格關(guān)系 8圖表 16、無風(fēng)險利率與不同看跌期權(quán)價格關(guān)系 9圖表 17、不同行權(quán)價下看漲期權(quán) Delta（S=100） 10圖表 18、不同波動率下看漲期權(quán) Delta（平值） 10圖表 19、不同剩余時間下看漲期權(quán) Delta（平值） 11圖表 20、不同

3、利率下看漲期權(quán)Delta（平值） 11圖表 21、看漲期權(quán) Delta 與波動率之間的關(guān)系 11圖表 22、看漲期權(quán) Delta 與剩余時間之間的關(guān)系 11圖表 23、不同行權(quán)價下看漲期權(quán) gamma（S=100） 12圖表 24、不同波動率下看漲期權(quán) gamma（平值） 12圖表 25、不同剩余時間下看漲期權(quán) gamma（平值） 12圖表 26、不同利率下看漲期權(quán)gamma（平值） 12圖表 27、看漲期權(quán) Gamma 與波動率之間的關(guān)系 13圖表 28、看漲期權(quán) Gamma 與剩余時間之間的關(guān)系 13圖表 29、不同行權(quán)價下看漲期權(quán) Theta（S=100） 13圖表 30、不同波動率下看

4、漲期權(quán) Theta（平值） 13圖表 31、不同剩余時間下看漲期權(quán) Theta（平值） 14圖表 32、不同利率下看漲期權(quán)Theta（平值） 14圖表 33、看漲期權(quán) Theta 與波動率之間的關(guān)系 14圖表 34、看漲期權(quán) Theta 與剩余時間之間的關(guān)系 14圖表 35、看漲期權(quán) Vega 與行權(quán)價之間關(guān)系 15圖表 36、看漲期權(quán) Vega 與波動率之間關(guān)系 15圖表 37、看漲期權(quán) Vega 與剩余時間之間關(guān)系 15圖表 38、看漲期權(quán) Vega 與無風(fēng)險利率之間關(guān)系 15 HYPERLINK http:/WWW.QIHUO168.COM.CN/ HTTP:/WWW.QIHUO168.

5、COM.CN市場有風(fēng)險，投資需謹(jǐn)慎正文中金所在去年 12 月正式推出股指期權(quán)，今年 3 月份利率場外期權(quán)正式試點，商品期貨方面更是在去年上市多個期權(quán)品種，國內(nèi)期權(quán)在最近幾年得到了快速發(fā)展。隨著國內(nèi)金融市場改革不斷深化，作為衍生品家族成員中最重要、也是最復(fù)雜的期權(quán)，有望在國內(nèi)金融舞臺上占據(jù)越來越重要的位置，對應(yīng)的需求也與日俱增，無論是資產(chǎn)持有者套期保值，還是投機(jī)者套利投資。期權(quán)定價有很多中模型，比如二叉樹定價模型、Black 以及 BS定價模型，每種定價模型都有其各自的特點和假設(shè)。BS 作為經(jīng)典的定價模型，我們將以 BS 為對象，分析權(quán)利金與標(biāo)的資產(chǎn)價格、行權(quán)價、波動率等方面的關(guān)系，然后將介紹關(guān)

6、于期權(quán)風(fēng)險管理的幾個希臘字字母，并介紹實際風(fēng)險對沖中是如何運用的。期權(quán)定價BS 模型在構(gòu)建之前是假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動，然后通過伊藤引理推導(dǎo)無套利市場下的期權(quán)價格?，F(xiàn)在市面上關(guān)于期權(quán)定價的經(jīng)典教材已經(jīng)很多、很全了，我們就不在正文里重復(fù)贅述。模型變量：N 表示正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)，S 為標(biāo)的股票的起初價格，K 為期權(quán)的執(zhí)行價格，SIGMA 標(biāo)的資產(chǎn)波動率，r 為無風(fēng)險理論，T 是期權(quán)剩余到期時間。C 紙 d1 e d2)L+ + 2 o o2L+ 2 o o2d1 紙; d2 紙關(guān)于市場的基本假設(shè)：1、市場不存在摩擦，即金融市場沒有交易成本，沒有相應(yīng)保證金；2、市場參與者沒有

7、違約風(fēng)險；3、市場是充分競爭的，每一位投資者都是價格的接受者而非制定者；4、市場參與者對投資是風(fēng)險厭惡型的；5、市場不存在套利機(jī)會，即使出現(xiàn)也會在無風(fēng)險套利機(jī)制下抹平。關(guān)于模型的基本假設(shè)：1、無風(fēng)險收益率 r 是已知的并且在一定范圍內(nèi)是不隨時間變化的常數(shù)；2、標(biāo)的資產(chǎn)價格是連續(xù)的服從幾何布朗運動，且收益服從正太分布；3、標(biāo)的資產(chǎn)在到期之前不存在其他收益；4、期權(quán)為歐式期權(quán)，也就是只能在合約到期日才能執(zhí)行。關(guān)于 BS 模型中希臘字母介紹：Delta 定義為期權(quán)價格變化對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的比率。Gamma 定義為 Delta 變化對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的比率。 Theta 定義為期權(quán)價格變化對于剩余時

8、間變化的比率。Vega 定義為期權(quán)價格變化對于波動率變化的比率。Rho 定義為期權(quán)價格變化對于無風(fēng)險變化的比率。BS 模型定量分析相比普通衍生品比如遠(yuǎn)期或者期貨，期權(quán)最大的特點就是非對稱性并且可以進(jìn)行波動率的操作，考慮到在期權(quán)合約的設(shè)計上，有較多的行權(quán)價格以及不同時間合約，導(dǎo)致期權(quán)的組合相比較普通衍生品而言更加紛繁多變。在利率場外期權(quán)試點開展的背景下，場外期權(quán)不但可以滿足機(jī)構(gòu)持有具體現(xiàn)券對沖需求，還可以進(jìn)一步完善夸市場套利，從而進(jìn)一步提高衍生品價格發(fā)現(xiàn)的功能。因此不論是對沖還是套利，研究期權(quán)的重要性都不言而喻，下文將通過一個虛擬標(biāo)的資產(chǎn)來分析期權(quán)價格的相關(guān)特征。根據(jù) BS 模型的定價公式不難發(fā)

9、現(xiàn)，影響期權(quán)價格的因素?zé)o外乎五個輸入變量，分別是標(biāo)的資產(chǎn)價格、行權(quán)價、波動率、到期時間以及無風(fēng)險利率，由于資產(chǎn)價格和行權(quán)價格的比值又可以通過虛值、平直以及實值來表示，可以理解為期權(quán)狀態(tài)，為此五個變量其實可以進(jìn)一步化簡為四個輸入變量。下文將以看漲期權(quán)為例，通過改變一個輸入變量的值來探索期權(quán)價格的變化形態(tài)。相關(guān)虛擬資產(chǎn)參數(shù)假設(shè)如下：標(biāo)的資產(chǎn)價格當(dāng)前為 100 元，行權(quán)價格為 100 元，無風(fēng)險收益率為 3，距離行權(quán)日還剩 30 個交易日（假設(shè)一年共 252 個交易日）。（注：下文涉及的實值、平直以及虛值看漲期權(quán)行權(quán)價分別為 90 元、100 元、110 元）圖表 1、不同行權(quán)價下看漲期權(quán)價格（S=

10、100）圖表 2、不同波動率下看漲期權(quán)價格（平值）資料來源：東海研究所整理資料來源：東海研究所整理圖表 3、不同剩余天數(shù)下看漲期權(quán)價格（平值）圖表 4、不同資金利率下看漲期權(quán)價格（平值）資料來源：東海研究所整理資料來源：東海研究所整理期權(quán)價格與波動率之間的關(guān)系下圖為資產(chǎn)價格為 100 元、無風(fēng)險收益率為 3、剩余交易日為 30 天看漲、跌期權(quán)在波動率變不斷變化下價格的走勢圖。以看漲期權(quán)為例，有以下特征：一、整體而言期權(quán)價格會隨著波動率的上升而上升；二、當(dāng)波動率在突破某個閾值之后，期權(quán)價格二階變化速率會提高（越是深度虛值的期權(quán)對應(yīng)的閾值越高）；三、虛值期權(quán)對波動率的敏感程度要大于實值期權(quán)對波動率

11、的敏感程度（具體變化可以參考下表），在波動率較低水平的波動對實值期權(quán)影響微乎其微；四、平值期權(quán)價格和波動率之間呈現(xiàn)線性關(guān)系（Ln(S/K)=0）?？吹跈?quán)與看漲期權(quán)特性類似，不再贅述。因此從實際出發(fā)，如果投資者的期權(quán)持倉是想通過波動率的變化來獲得收益，比如在做多、空波動策略時可以考慮配置虛值期權(quán)；如果投資者想通過期權(quán)來進(jìn)行偏長期的配置，為了避免短期波動率大幅波動帶來期權(quán)持倉的影響，可以考慮配置實值期權(quán)。圖表 5、看漲期權(quán)與波動率之間的關(guān)系圖表 6、看跌期權(quán)與波動率之間的關(guān)系資料來源：東海研究所整理資料來源：東海研究所整理圖表 7、波動率與不同看漲期權(quán)價格關(guān)系波動率實值平值虛值實值平值虛值151

12、0.002.060.07-2010.142.740.281.433.3296.52510.403.430.612.525.0122.23010.754.111.043.420.070.73511.174.801.543.916.647.84011.635.482.094.214.335.44574.312.527.85012.666.853.284.311.122.65513.217.533.904.310.019.06013.778.214.5資料來源：東海研究所整理圖表 8、波動率與不同看跌期權(quán)價格關(guān)系波動率實值平值虛值實值平值虛值150.04

13、2.0610.03-200.182.7410.24376.533.32.1250.443.4310.58143.425.03.300.794.1111.0180.020.04.1351.204.8011.5153.016.64.5401.675.4812.0638.714.34.7452.176.1712.6430.012.54.8502.706.8513.2424.311.14.8553.247.5313.8620.310.04.7603.818.2114.50資料來源：東海研究所整理期權(quán)價格和剩余時間的關(guān)系下圖為資產(chǎn)價格為 100 元、無風(fēng)險收益率為 3、波動率為 30

14、，看漲、跌期權(quán)在剩余時間變不斷變化下價格的走勢圖。以看漲期權(quán)為例，有以下特征：一、在其他條件不變的情況下無論是看漲還是看跌期權(quán)價格都會隨著剩余時間的下降而下降；二、在突破某個閾值的時候，期權(quán)價格下降的速度會提高（可以參考下表數(shù)據(jù)）三、不同狀態(tài)的期權(quán)對剩余時間的敏感程度不一樣，以虛值期權(quán)為例，其敏感程度會在臨近到期日前比實值期更為顯著，以下表為例，虛值期權(quán)在剩余期限 30 日至 20 日之間，期權(quán)價格從 1.04 跌到了了 0.57，跌幅達(dá) 45，而對應(yīng)的實值期權(quán)跌幅僅 3.4。所以在臨近交割前要很衡量標(biāo)的資產(chǎn)價格、波動于時間價值的損益，當(dāng)未來標(biāo)的資產(chǎn)沒有大幅上漲或下跌的預(yù)期下要謹(jǐn)慎購買虛值期權(quán)

15、，從而避免時間價值上的損失。圖表 9、看漲期權(quán)與剩余時間之間的關(guān)系圖表 10、看跌期權(quán)與剩余時間之間的關(guān)系資料來源：東海研究所整理資料來源：東海研究所整理圖表 11、剩余時間與不同看漲期權(quán)價格關(guān)系剩余時間實值平值虛值實值平值虛值11013.357.794.17-10013.077.443.84-2.1-4.5-7.99012.787.073.49-2.2-5.0-9.08012.486.673.13-2.4-5.6-10.3706-2.5-6.3-12.06011.835.792.36-2.7-7.3-14.45011.485.301.94-2.9-8.6-17.740

16、11.124.741.50-3.1-10.4-22.63010.754.111.04-3.3-13.3-30.62010.383.360.57-3.4-18.2-45.1資料來源：東海研究所整理圖表 12、剩余時間與不同看跌期權(quán)價格關(guān)系剩余時間實值平值虛值實值平值虛值200.413.3610.55-300.794.1111.0193.322.34.4401.174.7411.4648.815.34.1501.545.3011.8831.811.73.7601.905.7912.29702.256.2512.6718.07.93.1802.576.6713.0414.66.8

17、2.9902.897.0713.391003.197.4413.71103.487.7914.0資料來源：東海研究所整理期權(quán)價格和無風(fēng)險利率的關(guān)系下圖為資產(chǎn)價格為 100 元、剩余時間為 30 天、波動率為 30，看漲、跌期權(quán)在無風(fēng)險利率不斷變化下價格的走勢圖。相比上述兩個變量，無風(fēng)險利率波動對期權(quán)價格變化影響最小。無論虛值、平值還是實值狀態(tài)的期權(quán)，無風(fēng)險收益率的影響都幾乎可以忽略不計。以極端情況為例，當(dāng)前無風(fēng)險收益率從 1上升到 10，對應(yīng)的看漲期權(quán)價格波動僅 1左右，而且通常情況下無風(fēng)險資產(chǎn)對應(yīng)的國債收益率每天波動大概也就幾十個

18、基點，作為每天上下波動可以達(dá)到百分之幾百的衍生品而言，無風(fēng)險利率的影響可以忽略。后文在分析希臘字母的時候也省略無風(fēng)險利率的分析。圖表 13、看漲期權(quán)與波動率之間的關(guān)系圖表 14、看跌期權(quán)與波動率之間的關(guān)系資料來源：東海研究所整理資料來源：東海研究所整理圖表 15、無風(fēng)險利率與不同看漲期權(quán)價格關(guān)系無風(fēng)險利率實值平值虛值實值平值虛值110.774.121.05-210.764.121.05-0.1-0.1-0.1310.754.111.04-0.1-0.1-0.1410.734.111.04-0.1-0.1-0.1510.724.101.04-0.1-0.1-0.1610.714.101.04-0

19、.1-0.1-0.1710.694.091.04-0.1-0.1-0.1810.684.091.04-0.1-0.1-0.1910.674.081.04-0.1-0.1-0.11010.664.081.04-0.1-0.1-0.1資料來源：東海研究所整理圖表 16、無風(fēng)險利率與不同看跌期權(quán)價格關(guān)系無風(fēng)險利率實值平值虛值實值平值虛值110.774.121.05-210.764.121.05-0.1-0.1-0.1310.754.111.04-0.1-0.1-0.1410.734.111.04-0.1-0.1-0.1510.724.101.04-0.1-0.1-0.1610.714.101.04-

20、0.1-0.1-0.1710.694.091.04-0.1-0.1-0.1810.684.091.04-0.1-0.1-0.1910.674.081.04-0.1-0.1-0.11010.664.081.04-0.1-0.1-0.1資料來源：東海研究所整理期權(quán)希臘字母在期權(quán)的風(fēng)險管理中主要涉及以下幾種風(fēng)險：分別是 delta 風(fēng)險、 gamma 風(fēng)險、theta 風(fēng)險以及 rho 風(fēng)險，對應(yīng)的分別有五個拉丁字母表示，所以一般稱之為 Greeks。下面我們將通過買入看漲期權(quán)為例子來剖析上述幾種風(fēng)險與期權(quán)狀態(tài)、波動率、剩余時間以及利率的關(guān)系。Delta 代表期權(quán)價格變化與標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化的比值，

21、在期權(quán)希臘字中的重要性要顯著大于其他幾個字母，一方面作為對沖套保方需要根據(jù)期權(quán)delta 來確定需要的標(biāo)的頭寸，另一方面作為投機(jī)套利者則通過 delta確定期權(quán)的真實杠桿率。從公式上來看，delta 代表標(biāo)的資產(chǎn)價格為 S 是，期權(quán)價格曲線上的斜率。比如當(dāng) delta=0.5 時，也就是說標(biāo)的資產(chǎn)價格上升 1 個單位，期權(quán)價格可能要上升 0.5 個單位。舉一個例子，如果賣出 10 單位看漲期權(quán)，且此時 delta 為 0.5，那么則要買入 5 單位標(biāo)的資產(chǎn)來對沖期權(quán)價格波動。從曲線圖上也可以看出，隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格的上升，delta 也隨之增大，因此在動態(tài)對沖的過程中需要買入或賣出的標(biāo)的資產(chǎn)數(shù)量

22、也隨之增大。Dela紙 &C 紙d )call& 1Delta 與波動率之間的關(guān)系如下：1、平直期權(quán)的 delta 與波動率呈現(xiàn)線性關(guān)系，隨著標(biāo)的價格的上升而上升并最終趨近于某個值；2、深度實值期權(quán)會隨著波動率的上升而下降，而且深度實值期權(quán) delta 在波動率較低的區(qū)間內(nèi)敏感度是非常低的；3、深度虛值期權(quán)會隨著波動率的上升而上升，而且深度虛值期權(quán) delta 在波動率較低的區(qū)間內(nèi)敏感度是非常低的。Delta 與剩余時間的關(guān)系如下：1、平直期權(quán)的 delta 與剩余時間呈現(xiàn)正向關(guān)系，delta 在剩余時間較長的區(qū)間內(nèi)整體波動較小，當(dāng)?shù)狡谌罩鸩脚R近的時候平直期權(quán) delta 呈現(xiàn)加速下降的趨勢。

23、2、實值期權(quán)的 delta 與剩余時間呈現(xiàn)發(fā)現(xiàn)關(guān)系，在剩余時間較長的區(qū)間內(nèi)整體變化不大，當(dāng)臨近交割的時候 delta 會異常敏感且數(shù)值會在短時間內(nèi)急劇上升，而且越是接近平值期權(quán)的實值期權(quán)，其 delta 在最后剩余時間的就波動越大。3、虛值期權(quán)的 delta 與實值期權(quán)相反，不再重復(fù)。圖表 17、不同行權(quán)價下看漲期權(quán) Delta（S=100）圖表 18、不同波動率下看漲期權(quán) Delta（平值）資料來源：東海研究所整理資料來源：WIND、東海研究所整理圖表 19、不同剩余時間下看漲期權(quán) Delta（平值）圖表 20、不同利率下看漲期權(quán) Delta（平值）資料來源：東海研究所整理資料來源：東海研究

24、所整理圖表 21、看漲期權(quán) Delta 與波動率之間的關(guān)系圖表 22、看漲期權(quán) Delta 與剩余時間之間的關(guān)系資料來源：東海研究所整理資料來源：東海研究所整理nd1)o Gamma 是期權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格的二階導(dǎo)數(shù)，也就是 delta 與標(biāo)的資產(chǎn)價格的一階導(dǎo)數(shù)，它的數(shù)學(xué)含義代表期權(quán)價格曲線上的曲率，是關(guān)于 delta 的與標(biāo)的資產(chǎn)的敏感性。在此前的 delta 部分，我們介紹了對沖需要根據(jù)其數(shù)值變動來動態(tài)調(diào)整頭寸，但具體變動擇婿要參考期權(quán)價格曲線的凸性，也就是 gamma。不難發(fā)現(xiàn)，gamma 越大（曲率越大），delta 修正得也就越頻繁，潛在對沖風(fēng)險也就會逐步上升。&2C Gannac

25、all 紙 &2 紙&d1) 紙 &Gamma 與波動率之間的關(guān)系：平值看漲期權(quán)的 gamma 對波動率非常敏感，而且波動率越小且表現(xiàn)出的 gamma 風(fēng)險也就越大，相比較而言實值和虛值的 gamma 風(fēng)險卻相對較低，而且越是深度實值（虛值）期權(quán)隨著波動率上升，且 gamma 越低并且趨近于某一數(shù)值。Gamma 與剩余時間的關(guān)系：離到期日越久，對應(yīng) gamma 的風(fēng)險越低，對應(yīng)的期權(quán)價格曲線的曲率越低；當(dāng)臨近交割日的時候，gamma 曲線會迅速上升，相比較其他期權(quán)而言，平值期權(quán)的上升幅度會明顯高于其他虛值、實值期權(quán)。Gamma 對沖，之前的部分我們解釋了 delta 對沖，也就是用標(biāo)的資產(chǎn)來對

26、沖期權(quán) delta 風(fēng)險，那么所謂的 gamma 對沖就是用另外一只期權(quán)來對沖。比如當(dāng)前期權(quán) A 的 gamma 為 0.14 且為多頭，另一只期權(quán) B 的 gamma 為 0.07，那么則需要賣出兩只 B 期權(quán)來來對沖，使得最終組合 gamma 為 0。 但在實際操縱過程中如果只簡單進(jìn)行 gamma 對沖并沒有太多實際操作意義，一般采用 Delta-Gamma 中性對沖，也就是通過兩只期權(quán)來使得最終組合的 delta 和 gamma 為零。圖表 23、不同行權(quán)價下看漲期權(quán) gamma（S=100）圖表 24、不同波動率下看漲期權(quán) gamma（平值）資料來源：WIND、東海研究所整理資料來源：

27、WIND、東海研究所整理圖表 25、不同剩余時間下看漲期權(quán) gamma（平值）圖表 26、不同利率下看漲期權(quán) gamma（平值）資料來源：WIND、東海研究所整理資料來源：WIND、東海研究所整理圖表 27、看漲期權(quán) Gamma 與波動率之間的關(guān)系圖表 28、看漲期權(quán) Gamma 與剩余時間之間的關(guān)系資料來源：東海研究所整理資料來源：東海研究所整理ond1)2 Theta 代表期權(quán)價格隨著時間的剩余時間逐步減少，而導(dǎo)致期權(quán)價格逐步降低。不論是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，平值期權(quán)的 theta 都大于實值和虛值的 theta，也就是臨近交割的時候平值期權(quán)價格時間價值消耗的速度要大約其他期權(quán)。期權(quán)價格處于深度實值或者虛值的狀態(tài)，其時間價值大概是以某個固定的速度消失（參見下圖），相比較而言深度實值期權(quán)消耗速度要略大約深度虛值期權(quán)。heacall紙&C 紙 &+ ed2)圖表 29、不同行權(quán)價下看漲期權(quán) Theta（S=100）圖表 30、不同波動率下看漲期權(quán) Theta（平值）資料來源：東海研究所整理資料來源：東海研究所整理圖表 31、不同剩余時間下看漲期權(quán)