2022年二項式定理知識點總結(jié)教案資料

1、精品文檔二項式定理 一、二項式定理：abnC n 0anC n 1an1bC n kank bkkkC n n bn（nN）等號右邊的多項式叫做abn的二項綻開式,其中各項的系數(shù)C0,1,23n叫做二項式系數(shù)；n對二項式定理的懂得：（1）二項綻開式有n1 項（2）字母 a 按降冪排列,從第一項開頭,次數(shù)由 第一項開頭,次數(shù)由 0 逐項加 1 到 nn 逐項減 1 到 0；字母 b 按升冪排列,從（3）二項式定理表示一個恒等式,對于任意的實數(shù) a, b,等式都成立,通過對 a, b 取不同的 特 殊 值 , 可 為 某 些 問 題 的 解 決 帶 來 方 便 ； 在 定 理 中 假 設(shè) a 1,

2、b x, 就n 0 n 1 k n k n n1 x C n x C n x C n x C n x（n N）n（4）要留意二項式定理的雙向功能：一方面可將二項式 a b 綻開,得到一個多項式；n另一方面,也可將綻開式合并成二項式 a bk n k k二、二項綻開式的通項：T k 1 C n a b二項綻開式的通項 T k 1 C n ka n kb k k 0 ,1, 2 3, n 是二項綻開式的第 k 1 項,它表達(dá)了二項綻開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心,它在求綻開式的某些特定項（如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）及其系數(shù)等方面有廣泛應(yīng)用對通項T

3、 k1Ckankbkk0 ,1,2 ,3n的懂得：n（1）字母 b 的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同（2） a 與 b 的次數(shù)之和為nb ,n,k,T k1這 5 個元素,知道4 個元素便可求第5 個元素a ,（3）在通項公式中共含有精品文檔精品文檔例 1C13 C29 Cn3n 31Cn等于（1）nnnA4nB；34nC；4n1D.4n33例 2（1）求12 7的綻開式的第四項的系數(shù)；（2）求x19的綻開式中3 x 的系數(shù)及二項式系數(shù)x三、二項綻開式系數(shù)的性質(zhì)：對稱性：在二項綻開式中,與首末兩端“ 等距離” 的兩項的二項式系數(shù)相等,即C0Cn,C1Cn1,C2Cn2,CkCnk,nnnnnnnn增減

4、性與最大值：在二項式綻開式中,二項式系數(shù)先增后減,且在中間取得最大值；假如二項式的冪指數(shù)是偶數(shù),中間一項的二項式系數(shù)最大,即n 偶數(shù)：Ckmaxn；C2 nn假如二項式的冪指數(shù)是奇數(shù),中間兩項的二項式系數(shù)相等并最大,即CkmaxCn1n1n2Cn2n二項綻開式的各系數(shù)的和等于n 2 ,令a1,b1即C0C1Cn 11n2n；nnn1,b1即 奇 數(shù) 項 的 二 項 式 系 數(shù) 和 與 偶 數(shù) 項 的 二 項 式 系 數(shù) 和 相 等 , 令aC0C2C1C32n1nnnn例題： 寫出xy11的綻開式中：（1）二項式系數(shù)最大的項；（2）項的系數(shù)肯定值最大的項；（3）項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項；

5、（4）二項式系數(shù)的和；（5）各項系數(shù)的和 精品文檔精品文檔四、多項式的綻開式及綻開式中的特定項（1）求多項式a 1a 2ann的綻開式,可以把其中幾項結(jié)合轉(zhuǎn)化為二項式,再利用二項式定理綻開；例題： 求多項式x2123的綻開式x2（2）求二項式之間四就運算所組成的式子綻開式中的特定項,可以先寫出各個二項式的通項再分析；例題： 求 1x21x5的綻開式中3 x 的系數(shù)例題：（1）假如在x21xn的綻開式中,前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,求綻開式中的4有理項；精品文檔精品文檔（2）求x123的綻開式的常數(shù)項；x【思維點撥】求綻開式中某一特定的項的問題時,常用通項公式,用待定系數(shù)法確定k五、綻開式的系數(shù)和求

6、綻開式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值,賦值的挑選就依據(jù)所求的綻開式系數(shù)和特點來定例題： 已知12 77a 0a xa x2La 5a x7,求：|a 0|a 1|L|a7|. （1）a 1a 2La；（2）a 1a 3a ；（3）精品文檔精品文檔六、二項式定理的應(yīng)用：1、二項式定理仍應(yīng)用與以下幾方面：（1）進(jìn)行近似運算（2）證明某些整除性問題或求余數(shù)（3）證明有關(guān)的等式和不等式；如證明：2n2nn3 ,nN取2n11n的綻開式中的四項即可；2、各種問題的常用處理方法（1）近似運算的處理方法當(dāng) n 不是很大, | x | 比較小時可以用綻開式的前幾項求1xn的近似值；（）例題： 1.056的運算結(jié)果精

7、確到0.01 的近似值是D 1.34 A1.23 B1.24 C1.33 （2）整除性問題或求余數(shù)的處理方法 解決這類問題,必需構(gòu)造一個與題目條件有關(guān)的二項式用二項式定理處理整除問題,通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù) k 的和或差的形式,再利用二項式定理綻開,這里的 k 通常為 1,如 k 為其他數(shù),就需對冪的底數(shù) k 再次構(gòu)造 和或差的形式再綻開,只考慮后面（或者是某項）一、二項就可以了要留意余數(shù)的范疇, 對給定的整數(shù)a,bb0 ,有確定的一對整數(shù)q 和 r ,滿意abqr,其中 b 為除數(shù), r 為余數(shù),r0 ,b,利用二項式定理綻開變形后,如剩余部分是負(fù)數(shù),要留意轉(zhuǎn)換成正數(shù)例題： 求2

8、02263除以 7 所得的余數(shù)精品文檔精品文檔例題：如 n 為奇數(shù),就7nC17n1C27n2Cn17被 9 除得的余數(shù)是（）nnnA0 B；2 C；7 2D.8 1n3例題： 當(dāng)nN且 n 1,求證 1n【思維點撥】 這類是二項式定理的應(yīng)用問題,它的取舍依據(jù)題目而定精品文檔精品文檔綜 合 測 試一、挑選題：本大題共 12 個小題,每道題 5 分,共 60 分在每道題給出的四個選項中,只有哪一項符合題目要求的 .1在 x 3 10的綻開式中,x 的系數(shù)為 6（）A27 C 10 6 B27 C 10 4 C9 C 10 6 D9 C 10 42 已知 a b 0 , b 4 a,a b n 的

9、綻開式按 a 的降冪排列, 其中第 n 項與第 n+1 項相等,那么正整數(shù) n 等于（）A4 B9 C10 D 11 1 n3已知（a 3 2 的綻開式的第三項與其次項的系數(shù)的比為 112,就 n 是（）aA10 B11 C12 D 13453 10 被 8 除的余數(shù)是（）A1 B2 C3 D 7 5 1.056 的運算結(jié)果精確到 0.01 的近似值是（）A1.23 B1.24 C1.33 D 1.34 n6二項式 2 x 4 x 1 n N的綻開式中,前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列,就此綻開式有理項的項數(shù)是（）A1 B2 C3 D4 1 17設(shè) 3x 3+x 2 n 綻開式的各項系數(shù)之和為 t,

10、其二項式系數(shù)之和為 h,如 t+h=2 72,就綻開式的 x 2 項的系數(shù)是（）A1 B1 C2 D 32精品文檔精品文檔8在1xx26的綻開式中5 x 的系數(shù)為（）5 ,2A4 B5 C6 D 7 931 x51 xn綻開式中全部奇數(shù)項系數(shù)之和等于1024,就全部項的系數(shù)中最大的值是（A330 B462 C680 D 790 10 x1 4x1 5的綻開式中,4 x 的系數(shù)為（A 40 B10 C40 D 45 11二項式 1+sinxn 的綻開式中,末尾兩項的系數(shù)之和為7,且系數(shù)最大的一項的值為就 x 在0,2 內(nèi)的值為（）A或 B或 5C或 2 D或 56 3 6 6 3 3 3 612

11、在 1+x 5+1+x 6+1+x 7 的綻開式中 ,含 x4 項的系數(shù)是等差數(shù)列 an=3n 5 的（）A第 2 項 B第 11 項 C第 20 項 D第 24 項二、填空題：本大題滿分 16 分,每道題 4 分,各題只要求直接寫出結(jié)果 . 2 1 9 913 x 綻開式中 x 的系數(shù)是 . 2 x14如 2 x 3 4a 0 a 1 x a 4 x 4,就 a 0 a 2 a 4 2a 1 a 3 2 的值為 _. 3 2 n15如 x x 的綻開式中只有第 6 項的系數(shù)最大,就綻開式中的常數(shù)項是 . 16對于二項式 1-x 1999,有以下四個命題：綻開式中 T 1000 = C1999

12、 1000 x 999 ；綻開式中特別數(shù)項的系數(shù)和是 1；精品文檔精品文檔綻開式中系數(shù)最大的項是第 1000 項和第 1001 項；當(dāng) x=2022 時, 1-x 1999 除以 2022 的余數(shù)是 1其中正確命題的序號是 _（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）三、解答題：本大題滿分 74 分. 17（12 分）如6x61n綻開式中其次、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列x（）求 n 的值；（）此綻開式中是否有常數(shù)項,為什么？18 （12 分）已知 1 42x n 的綻開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于37,求展式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)精品文檔精品文檔19（12 分）是否存在等差數(shù)列an,使a 10 C na21 C na3 C2an1 Cnn2n對任意nnn N *都成立？如存在,求出數(shù)列 a n 的通項公式；如不存在,請說明理由20（12 分）某地現(xiàn)有耕地 100000 畝,規(guī)劃 10 年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加 22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高 10%；假如人口年增加率為 1%,那么耕地平均每年至多只能削減多少畝（精確到 1 畝）？精品文檔精品文檔21. （12 分）設(shè) fx=1+x m+1+x nm、nN ,如其綻開式中,關(guān)于x 的一次項系數(shù)為11,試問： m、n 取何值時, fx的綻開式中含x2項的系數(shù)取最小值,并求出這個最小值. 22（14 分）規(guī)定m C xx x1xm1