貝葉斯公式應用于推廣

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) PINGDINGSHAN UNIVERSITY畢業(yè)論文題 目: 貝葉斯公式若干應用 院 系: 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專業(yè)年級: 13級應用統(tǒng)計學 姓 名: 田明太 學 號: 指導教師: 杜偉娟 2017年04月18日摘 要貝葉斯公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計這本書中很重要的一部分，在概率論的運算中也有著不可替代的位置。本文對貝葉斯公式進行了詳細深入的探究，并且列舉了一些生活中的實例來說明貝葉斯的運用以及他所適用的生活模型，為了以后我們更好深入的理解貝葉斯公式，我們必須先要了解全概率

2、公式以及它在實際生活中的簡單運用。簡單的貝葉斯公式其實并不能十分滿足我們生活中的需求，所以我們要把貝葉斯公式進行深入的了解，并運用實際的例子來證明貝葉斯公式推廣后的公式在生產(chǎn)生活中所適合的模型相比以前的貝葉斯公式更加廣闊。關鍵詞 貝葉斯公式；全概率公式； AbstractThe bayes formula is one important formulas in theory of probability, has a important role in the calculation of probability theory. Carefully analyzed in this pape

3、r, the bayes formula, and illustrates his usage and the applicable scheme, in order to better understand the bayes formula we need to introduce the whole probability formula. In order to solve practical problems, we will be the bayes formula for promotion, promotion after the formula in practical ap

4、plication is illustrated by an example of the applicable model wider than the original formula.Key words ：The bayes formula; Full probability formula;前 言貝葉斯公式在概率論與數(shù)理統(tǒng)計一書中占有很中要的位置，它集中用于計算不同事件的發(fā)生概率,它本質(zhì)上是乘法公式和加法公式的總體運用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是探索隨即狀況統(tǒng)計規(guī)律的一門現(xiàn)代數(shù)學學科并于十幾世紀初現(xiàn)。自出現(xiàn)這一門學科以來，已經(jīng)開始深入到各個科學領域當中并占有著舉足輕重的位置。從十七世紀到現(xiàn)在很

5、多國家對此公式有了很多方面的研究。長時間以來，由于許多這方面工作人員的積極工作，使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計在理論方面有了長足的進展，在實際生活中的應用也更加的寬泛，且促成了大小不一的許多分支，并在當代統(tǒng)計學中有著不可替代的位置。貝葉斯公式是在1763年由貝葉斯（Bayes）這位偉大的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)的，它的實質(zhì)是在事件A已經(jīng)出現(xiàn)的情況下，尋求使A出現(xiàn)的原因的概率.這個公式在我們的生活中有很多的應用在論文中我將會一一介紹。貝葉斯公式可以幫助于人們了解一個結果即事件A出現(xiàn)的最大的可能性。運用貝葉斯公式我們可以更加簡單明了的計算生活中遇到的一些數(shù)學問題，它在數(shù)學計算中有著非常寬泛的應用。其本質(zhì)就是在將各種前提引

6、進的情況下，首先把所給出的樣本空間分割成若干份，并且可以簡單明了的計算出所需結果的概率，然后加以分析并得出結果。在當今的社會中，伴隨著發(fā)展的高速前行，市場需求的突飛猛進，領導者不能只著眼于以前的生產(chǎn)信息，而是應該把過往的生產(chǎn)信息和現(xiàn)在的一同考慮并加以分析，才能做出個比較全面的決策。而貝葉斯公式的主要用途就是用于處理先驗概率與后驗概率，是進行決策的重要工具。貝葉斯公式可以用來解決醫(yī)學、市場預測、信號估計、等一系列不確定的問題。本文首先分析了貝葉斯公式的概念，再用貝葉斯公式來解決實際中的一些問題。概率論與醫(yī)學的滲透與結合，已經(jīng)成為現(xiàn)代醫(yī)學領域的顯著特征。利用數(shù)學方法并充分利用好貝葉斯公式及其推廣的

7、形式，定量的對醫(yī)學問題進行相關分析，使其結論更加具有可信度，更有利于促進對病人的對癥施治。利用好貝葉斯公式可以用來解決醫(yī)學、經(jīng)濟決策、信息技術等一些列問題中，公式及其推廣形式的正確運用也有助于進一步研究多個隨機實驗中目標事件及其條件下誘發(fā)事件的概率，更有助于把握隨機事件之間相互影響關系，為生產(chǎn)實踐提供更有價值的決策信息。靈活使用貝葉斯公式會給我們的解題帶來很大方便，而這些推廣形式將進一步拓展貝葉斯公式的適用范圍，成為我們解決更復雜問題的有效工具。第一章 貝葉斯公式的簡單概述1.1貝葉斯理論的發(fā)展簡述大約在三百年前，人們便開始嚴肅的考慮若不存在確定性時應該怎么進行推理，James Bernoul

8、li 則是第一個構造該問題的人，他當時就意識到在可應用和機會游戲的演繹邏輯與每日生活中的歸納邏輯之間的不同之處。對他來說，這個未回答的問題的關鍵在于前者的機理如何能幫助處理后者的推斷問題。英國學者托馬斯貝葉斯(Thomas Bayes，17021761)在生前所作的一篇論文論有關機遇問題的求解中為Bernoulli的問題提供了回答，在文章中他便提出了著名的貝葉斯公式和一種歸納推理的方法，但是在當時，他的理論成果并沒有受到足夠的重視，一直到他去世后他的遺著(An essay towards solving a problem in the doctrine of chances)論有關機遇問題的

9、求解才被理查德普萊斯(Richard Price)于1763年才被整理發(fā)表，其理論價值才被世人認知。后來在他理論的基礎上逐漸形成了貝葉斯學派。時至今日，貝葉斯學派已經(jīng)與經(jīng)典學派一起成為統(tǒng)計學的兩大主體學派。貝葉斯學派的基本觀點則是：任一未知參數(shù)都可以看作隨機變量，可用一個概率分布去描述，而這個分布稱則為先驗分布。然而這卻是經(jīng)典學派和貝葉斯學派爭論的焦點所在。貝葉斯學派認為，可以把任一未知參數(shù)看作隨機變量，并且可以通過利用主觀的判斷和直覺，提供先驗信息。而經(jīng)典學派只承認利用樣本信息，不承認利用主觀的判斷和直覺，即不承認利用先驗信息。關于未知參數(shù)是否能被看作隨機變量在經(jīng)典學派和貝葉斯學派爭論了很長

10、時間，現(xiàn)如今經(jīng)典學派已經(jīng)不反對這一觀點，現(xiàn)在爭論的焦點是：如何利用不同先驗信息合理的確定先驗分布。總體來說，貝葉斯學派的發(fā)展經(jīng)歷了以下幾個階段：1736年Thomas Bayes提出了著名的貝葉斯定理，1763年其遺著論有關機遇問題的求解被他的朋友理查德普萊斯(Richard Price)于1763年才被整理發(fā)表，貝葉斯理論的價值才被世人所認識，貝葉斯理論開始奠基。隨后，Laplace等人作了進一步的工作，目前以他名字命名的定理的現(xiàn)代形式實際上是歸功于Laplace。Laplace本人不僅重新發(fā)現(xiàn)了貝葉斯定理，而且還闡述的遠比貝葉斯更加清晰明了，還用它來解決天體力學，醫(yī)學統(tǒng)計，甚至法律等方面的

11、問題。他全心全意的贊成用于推斷問題的貝葉斯公式。不過遺憾的是，Laplace取得的成功和他對概率論的發(fā)展做出的巨大貢獻卻并不被當時有勢力的歐洲數(shù)學家所認可。之后雖還有一些零星的研究，但由于理論的不太完善和在應用中出現(xiàn)了一些問題，貝葉斯學派的一些理論長期不被人們所接受。進入到上世紀50年代，貝葉斯理論便得到了長足的發(fā)展，60、70年代以來，其發(fā)展達到了鼎盛時期。許多專家學者投身于貝葉斯理論的研究和應用推廣中來，并力圖從不同的角度對貝葉斯理論進行進一步的探討和研究。從此便形成了具有多分支的理論系統(tǒng)。目前被承認的現(xiàn)代貝葉斯統(tǒng)計工具應當歸功于Jeffry、Wald、Savage、Raiffa & Sc

12、hlaifer、Lindly及DeFinetti。他們都曾做過大量有意義的工作，為建立統(tǒng)一的理論體系以及方法論奠定了基礎。貝葉斯理論系統(tǒng)中的其中一個重要分支是貝葉斯動態(tài)模型理論，它是英國統(tǒng)計學家Harrison教授與Steven教授在帝國化學公司（英國最大的化工產(chǎn)品生產(chǎn)企業(yè)）工作的時候，為了預測突發(fā)事件而提出發(fā)展起來的一種有名的預測方法。1976年，Harrison教授與Steven教授一起在英國皇家學會上宣讀了論文貝葉斯預測，引起了人們的重視，從此在英美等國，這個方法的理論研究和應用迅速地開展了起來。1989年，West和Harrison合著了一本貝葉斯預測和動態(tài)模型，這本書全面地論述了這個

13、方法。貝葉斯動態(tài)模型及其預測理論具有很廣泛的應用性，例如在通信、控制、人工智能、經(jīng)濟管理、氣象預報等領域。國內(nèi)對貝葉斯理論的研究起步比較晚，初始發(fā)展較非常緩慢。張孝令教授曾在上世紀80年代向Harrison教授學習了此方法，回國后和劉福升教授在這個領域作了一些開拓性的研究工作，取得了豐碩的成果，對其在國內(nèi)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響。對于貝葉斯動態(tài)模型及其預測理論的研究主要是針對一個動態(tài)線性模型(簡稱貝葉斯DLM)研究單變量DLM、多變量DLM以及矩陣變量DLM的預測理論知識及對貝葉斯決策理論進行探討。貝葉斯理論系統(tǒng)中的另一個十分重要分支是貝葉斯決策理論。統(tǒng)計決策理論是著名統(tǒng)計學家AWald(190

14、21950)在上世紀四十年代建立起來的，他在其文章統(tǒng)計決策函數(shù)中系統(tǒng)、詳細的闡述了統(tǒng)計決策理論，統(tǒng)計決策理論與經(jīng)典統(tǒng)計學之間的差別主要在于是否涉及后果，經(jīng)典統(tǒng)計學著重于推斷，從不考慮用在何處或者效益如何，而統(tǒng)計決策理論引入了損失函數(shù)，用來度量效益大小，度量統(tǒng)計推斷結果的優(yōu)劣程度。貝葉斯統(tǒng)計推斷是統(tǒng)計決策萬法的基礎之一，首先通過采樣，修改先驗的概率分布，以減少事物的不確定性，并在此基礎上制定統(tǒng)計最優(yōu)決策，因此稱這類決策為貝葉斯決策。貝葉斯統(tǒng)計理論與最優(yōu)決策的結合，在商業(yè)和社會科學中得到了很大的發(fā)展，其次是在物理、化學、生物等學科領域也得到了廣泛的應用，如今其概念和方法在社會許多領域得到了廣泛應用

15、，如在工程技術、管理科學、經(jīng)濟決策、系統(tǒng)運籌、醫(yī)療診斷等。貝葉斯決策理論已經(jīng)如“控制論”、“信息論”一樣成為了現(xiàn)代的信息控制和系統(tǒng)科學中的一個重要分支，并且在實際的有關決策中也發(fā)揮了不可替代的作用。統(tǒng)計學家們將統(tǒng)計決策理論和貝葉斯理論相結合形成了比較系統(tǒng)的貝葉斯決策理論。對貝葉斯決策理論研究的方面，Definetti 、Raiffa、Lindly都曾作過大量有意義的工作，取得了巨大的成就，堪稱現(xiàn)代貝葉斯決策分析之父；而在當今，Smith、Berger則是貝葉斯決策理論的領軍人物，其對貝葉斯決策理論的完善與發(fā)展做出了巨大貢獻。這篇論文是在導師的直接指導下，也參閱了大量的文獻后，在前人研究的基礎上

16、，對貝葉斯公式作出的進一步探討和研究。第二章 貝葉斯公式與全概率公式的推廣概述2.1貝葉斯公式的證明設為樣本空間的一個分割，即之間互不相容，且，若有P( A ) 0 ， ,則。證明 由條件概率的定義（條件概率，是指在事件B發(fā)生的條件下，求另外一事件A的概率，我們記為） 對上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式, 結論得證。2.2 貝葉斯公式與全概率公式之間的聯(lián)系 在介紹了貝葉斯公式以后我們還需要介紹一下全概率公式，因為全概率公式與貝葉斯公式是一組互逆的公式，我們先來看下全概率公式的概念。 設為樣本空間的一個分割，即之間是互不相容的，并且，若有，則對任一事件A有 證明：因為 且互不相容，所以由可

17、加性得： 再將代入可得 由證明可知道全概率公式是貝葉斯公式的一種變形，全概率公式與貝葉斯公式是互逆應用的。它與貝葉斯公式一樣在實際生活中也有非常廣泛的應用。下面來探討下貝葉斯公式在以下幾個方面的應用。2.3 貝葉斯公式推廣與證明2.3.1貝葉斯公式的推廣 設當試驗的隨機過程不少于兩個的時候，在影響目標事件的每一個試驗過程中分別建立完備事件組，貝葉斯公式就可以進一步推廣. 2.3.2貝葉斯公式推廣定理設和是先后兩個試驗過程中的劃分，為目標事件.當,時，則有： 證明：（1）：=同理可以證明（2）、（3）.2.4 貝葉斯公式推廣總結整理文獻之后，能把貝葉斯公式歸為兩種形式，事件型和隨機變量型，這是就樣本本身的性質(zhì)而言的。上述推廣結論，是由不同的技巧推廣而來的。從公式的條件出發(fā)，討論拓寬公式應用的面。在經(jīng)典的貝葉斯公式當中要求事件列是“互不相容”的，這方面削弱了這一條件給出廣義的貝葉斯公式，無論相容與否都可以直接計算。從公式的形式出發(fā)，增加公式的靈活度。例如：在經(jīng)典的貝葉斯公式中，樣本是離散的，但是實際計算當中，遇到復雜事件的時候，就不太實用了，這時候可以把全概率公式推廣到隨機變量的情形。當然，隨機變量有可能是離散的，或者是連續(xù)的，