高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第一章集合概念與其基本運(yùn)算

1、一輪復(fù)習(xí)講義集合的概念及其基本運(yùn)算憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn)確定性 互異性 無序性 屬于 不屬于 列舉法 描述法 圖示法 區(qū)間法 有限集 空集 無限集憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn)憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn)集合的基本概念集合間的基本關(guān)系 4集合的基本運(yùn)算 集合中的新定義問題60,1,2,301忽略空集致誤 集合概念及其基本理論稱為集合論，它的創(chuàng)始人是德國數(shù)學(xué)家康托爾.它是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ).一方面,許多重要的數(shù)學(xué)分支,如數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計(jì)、拓?fù)鋵W(xué)等,都建立在集合理論的基礎(chǔ)上;另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想,在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用. （Cantor

2、1845-1918）數(shù)學(xué)趣苑在一個(gè)村子中，有一位自認(rèn)為手藝高超的理發(fā)師,他對(duì)外宣稱：“我不給村子里任何一個(gè)給自己刮臉的人刮臉，但卻給村子里所有不給自己刮臉的人刮臉，”有一天，他發(fā)生了疑問：他是否應(yīng)該給自己刮臉？就是羅素1902年提出的，并于1918年將其通俗化的理發(fā)師悖論. 它的出現(xiàn)表示集合論本身存在著問題，進(jìn)而表明整個(gè)數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)上存在著問題，所以它引發(fā)了數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第三次危機(jī)初看起來，它與集合論沒有任何關(guān)系，如果你想進(jìn)一步了解它，請(qǐng)看分析：（1）對(duì)理發(fā)師悖論的理解：現(xiàn)我們將村子里的人分成兩類，（實(shí)際上就是兩個(gè)集合）：集合A=村子中不給自己刮臉的人 ；集合B=村子中給自己刮臉的人，很顯然A與

3、B是互為補(bǔ)集數(shù)學(xué)趣苑理發(fā)師的疑問在于他不知道自己該屬于哪一個(gè)集合1）若他屬于A，則由他所宣稱的第二句話可推出，他要給自己刮臉，進(jìn)而推出他屬于B，這顯然是不可能的；同樣道理可得到：2）若他屬于B，則他屬于A，這也不可能所以他陷入了邏輯上的困境（2）理發(fā)師悖論與集合論的關(guān)系：我們知道集合的元素具有“確定性”，即一個(gè)對(duì)象或者是集合A的元素或者不是集合A的元素，而兩者必居且只居其一而此悖論恰恰說明理發(fā)師這個(gè)對(duì)象在確定性上出了毛病數(shù)學(xué)趣苑4重要結(jié)論(4)六個(gè)關(guān)系式的等價(jià)性 (A, BU)憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn)(5) 易混的解集x| y=f(x)定義域值域點(diǎn)集方程的解集不等式的解集y| y=f(x)(

4、x,y)| y=f(x)x| f(x)=0 x| f(x)0憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn)例1.已知:=x|y=x2-2x+1,B=y|y=x2-2x+1, C=x|x2-2x+1=0, D=x|(x-1)20, E=(x, y)|y=x2-2x+1, 則下面結(jié)論正確的有 ( )A=EA=B ABCDARB= y| y0C=1D=E代表拋物線y=x2-2x+1上的點(diǎn)表示的集合題型一 集合的概念解析題型一 集合的概念練一練4例2.設(shè)A=x|x4, x-2, B=x|axa +3,(1)若AB=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若AB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;-24題型二 集合的運(yùn)算所以實(shí)數(shù)a的取值范圍所以實(shí)數(shù)

5、a的取值范圍例2.設(shè)A=x|x4, x-2, B=x|axa +3,(3)若AB=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(4)若 ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)AB=B,BA.-24-24所以實(shí)數(shù)a的取值范圍所以實(shí)數(shù)a的取值范圍例3.題型三 集合間的基本關(guān)系所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 【1】 A x|2x5, Bx|m1x2m1,BA,則m的取值范圍是_.練一練25Am+12m- 1Bm|m2m|2m3=m|m3. 【3】已知P =x|x2 mx 6m2=0 , Q=x|mx1=0，且 則由實(shí)數(shù) a 組成的集合是_.由 , 得解：(2)當(dāng)m0 時(shí), (1) 當(dāng)m=0時(shí),此時(shí)有 即 是方程 x2 mx 6m2 = 0

6、 的根,練一練 【例4】對(duì)任意兩個(gè)正整數(shù)m、n,定義某種運(yùn)算: 則集合P= (a, b)|ab=8，a , bN* 中元素的個(gè)數(shù)為 . 9【解】 當(dāng)a, b奇偶性相同時(shí), ab=a+b=1+7=2+6=3+5 =4+4. 當(dāng) a, b奇偶性不同時(shí)， ab=ab=18, 由于(a, b)有序，故共有元素42+1=9個(gè).題型四 集合中的信息遷移題 補(bǔ)集思想:對(duì)于一些比較復(fù)雜、比較抽象，條件和結(jié)論不明確，難以從正面入手的數(shù)學(xué)問題，在解題時(shí)要調(diào)整思路，從問題的反面入手，探求已知與未知的關(guān)系，能起到化難為易，化隱為顯的作用，從而解決問題這種“正難則反”策略運(yùn)用的是補(bǔ)集思想，即已知全集U求子集A，若直接求A困難,可先求 ,再由 求A.補(bǔ)集思想例5.已知下列三個(gè)方程個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.求a的取值范圍.證明: 假設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)數(shù)根,則有 所以,至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根時(shí), a的取值范圍為至少有一題型五 用補(bǔ)集思想解決問題題型