計(jì)算機(jī)控制技術(shù)-13離散系統(tǒng)的能控(觀測)性及穩(wěn)定性

1、第三節(jié) 線性離散定常系統(tǒng)的能控(觀測)性及穩(wěn)定性能控性定義及判別準(zhǔn)則能觀測性定義及判別準(zhǔn)則連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性和能觀測性Z域穩(wěn)定性分析李亞普諾夫穩(wěn)定性分析2022/8/1911、能達(dá)性、能控性定義能控性：任意初始狀態(tài)到零狀態(tài)的轉(zhuǎn)移能力若存在控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(ln)能將任意初始狀態(tài)x(0)=x0在第l步上到達(dá)零態(tài)x(l)0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)：一、離散時(shí)間系統(tǒng)的能達(dá)性、能控性能達(dá)性：零初始狀態(tài)到任意非零狀態(tài)的轉(zhuǎn)移能力若存在控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(ln)能將初始狀態(tài)x(0)=x0 =0在第l步上到達(dá)任意終端狀態(tài)，則稱系統(tǒng)

2、是狀態(tài)完全能達(dá)的。2022/8/192定理：對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)：定義判別陣如下：2、能控、能控性判別準(zhǔn)則一（判別陣的秩判據(jù)法）如果G非奇異陣，則式(1)是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件；如果G是奇異陣，則式(1)是系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控的充分條件。則系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)的充分必要條件是：（1）2022/8/193線性定常離散系統(tǒng)解為所以對(duì)任意x(n)，要使U存在，則Qc滿秩。證明：對(duì)能達(dá)性，有 所以2022/8/194對(duì)能控性，有所以此時(shí)，如果G是非奇異的，則 也是非奇異的， 是x(0)的全映射，所以，對(duì)任意x(0)，U存在的條件是Qc滿秩；此時(shí)，如果G是奇異的，則 也是奇異的， 不是x(0)的

3、全映射，盡管x(0)可以在 中任意取值，而 的n個(gè)分量不獨(dú)立， 只在 的一個(gè)子空間變化，所以對(duì)任意x(0)，U存在，不必要求Qc滿秩。此式一個(gè)極端的情況是：2022/8/195結(jié)論2：如果一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，由于不論A是否為非奇異陣， 必可逆，即是非奇異的。所以，連續(xù)系統(tǒng)離散后得到的系統(tǒng)，其能控性和能達(dá)性等價(jià)。結(jié)論1：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可達(dá)性和可控性等價(jià)，而離散時(shí)間系統(tǒng)則不完全相同。離散時(shí)間系統(tǒng)，如果矩陣G非奇異，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。如果G奇異，則不可達(dá)的系統(tǒng)，也可能可控。所以：可達(dá)系統(tǒng)一定可控，可控系統(tǒng)不一定可達(dá)。此時(shí)，對(duì)任意的x(0)，均有 ，不管Qc是

4、否滿秩，均能找到U0。所以，當(dāng)G是奇異時(shí)， Qc滿秩是判斷能控性的充分條件，而不是必要條件2022/8/196說明：1）只討論使任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài)，或零態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)的控制序列是否存在，不涉及具體轉(zhuǎn)移幾步。2）對(duì)于n階SI定常系統(tǒng)，若在第n步上不能將初始狀態(tài)（零態(tài)）轉(zhuǎn)移到零態(tài)（任意終端狀態(tài)），則在n+1及以后的任何一步都不能轉(zhuǎn)移。例：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性和能控性。2022/8/197故系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控。解：首先構(gòu)造能控判別陣：所以能控性判別陣為：求能控性判別陣的秩：2022/8/198例：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。解：G為奇異陣，且有：則系統(tǒng)

5、不完全能達(dá)，由于G奇異，系統(tǒng)狀態(tài)有可能可控。如果?。簞tx一步回零：所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。2022/8/199定理：對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能控且能觀測的充分必要條件是：以下的Z傳遞函數(shù)或Z傳遞矩陣的分子分母間沒有零、極點(diǎn)對(duì)消。4、能達(dá)、能控性判別準(zhǔn)則三（Z域分析法）同線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)：1）對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型：特征值互異時(shí)，H中不包含元素全為0的行；重特征根時(shí)，一定不可控。2）約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：H中與每個(gè)約當(dāng)小塊首行所對(duì)應(yīng)的行，其元素不全為零。2個(gè)推論（SI系統(tǒng)必不可控；MI系統(tǒng)，同一特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊最后一行所對(duì)應(yīng)H中的行，行線性無關(guān)則可控）3、能達(dá)、能控性判別準(zhǔn)則二（標(biāo)準(zhǔn)型

6、法，此時(shí)要求G非奇異）2022/8/1910如果根據(jù)有限個(gè)采樣周期內(nèi)測量的y(0)，y(1)，y(l)，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x0 ，則稱x0為能觀測狀態(tài)。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的。2、能觀測性判別準(zhǔn)則一（能觀測性判別陣法）定理：對(duì)于線性離散定常系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能觀測的充要條件是其能觀測性判別矩陣：滿秩即：二、離散時(shí)間系統(tǒng)的能觀測性對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)：1、能觀測性定義2022/8/1911例：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)方程如下，試判斷其能觀測性解：系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀測2022/8/1912定理：對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能控且能觀測的充分必要條

7、件是：以下的Z傳遞函數(shù)或Z傳遞矩陣的分子分母間沒有零、極點(diǎn)對(duì)消。4、能觀測性判別準(zhǔn)則三（Z域分析法）同線性連續(xù)定常系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)：1）對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型：特征值互異時(shí)，C中不包含元素全為0的列；重特征根時(shí)，一定不可觀測。2）約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：C中與每個(gè)約當(dāng)小塊首列所對(duì)應(yīng)的列，其元素不全為零。2個(gè)推論（SO系統(tǒng)必不可觀；MO系統(tǒng)，同一特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊首列所對(duì)應(yīng)C中的列，列線性無關(guān)，則可觀測）3、能觀測性判別準(zhǔn)則二（標(biāo)準(zhǔn)型法）2022/8/1913三、連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性和能觀測性內(nèi)容：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，離散化后其狀態(tài)能控性和能觀測性是否發(fā)生變化。例：已知連續(xù)系統(tǒng)：是狀態(tài)完全能控且能觀測的。請(qǐng)寫出

8、其離散化方程，并確定使相應(yīng)的離散化系統(tǒng)能控且能觀測的采樣周期T的范圍。解：先求連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：2022/8/1914所以：要使系統(tǒng)狀態(tài)能控，則能控判別陣的行列式非零，即：要使系統(tǒng)狀態(tài)能觀測，則能觀測判別陣的行列式非零，即：聯(lián)立上2式可知，要使離散化后系統(tǒng)能控且能觀測，T必須滿足：2022/8/1915結(jié)論1：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是不能控和不能觀測的，則其離散化后的系統(tǒng)也必是不能控和不能觀測的。結(jié)論2：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是能控和能觀測的，則其離散化后的系統(tǒng)不一定是能控和能觀測的。結(jié)論3：離散化后的系統(tǒng)能否保持能控和能觀測性，取決于采樣周期T的選擇。結(jié)論：線性連續(xù)定常系統(tǒng)離散化后

9、，系統(tǒng)的能控和能觀測性變差了。2022/8/1916離散系統(tǒng)Z域穩(wěn)定的充要條件是：z傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于單位圓內(nèi)。即：等價(jià)于系統(tǒng)的s平面中所有極點(diǎn)位于s的左半平面。五、線性離散系統(tǒng)的李氏穩(wěn)定性分析與線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相似，線性離散時(shí)間系統(tǒng)也具有以下穩(wěn)定性定理。四、z域穩(wěn)定性分析2022/8/1917定理：線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)Xe=0處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)于任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q，都存在對(duì)稱正定矩陣P，使得：且系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是：推導(dǎo)：2022/8/1918 當(dāng)取 時(shí)：定理說明2：如果 沿任意一解序列不恒等于零，Q也可取為半正定的。定理說明1：仿線性連續(xù)系統(tǒng)，先給出正定對(duì)稱矩陣Q，從以下方程中解出實(shí)對(duì)稱陣P，然后驗(yàn)證P是否正定，是則系統(tǒng)是李氏漸近穩(wěn)定的。2022/8/1919試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 為漸近穩(wěn)定的k值范圍。根據(jù) 得：解：?。豪阂阎€性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：其中：2022/8/1920解得：根據(jù)賽爾維斯特法則：如果P正定，則 ，即： k2，所以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值范圍為k22022/8/1921本節(jié)小結(jié)：1、離散時(shí)間系統(tǒng)的能