專升本高數(shù)第一輪第三章一元函數(shù)積分學(xué)

1、專升本高數(shù)第一輪第三章一元函數(shù)積分學(xué)本章主要內(nèi)容3.1 不定積分3.2 不定積分的計算3.3 定積分3.4 定積分的計算3.5 廣義積分3.1.1 不定積分的概念3.1.2 不定積分的根本公式和 運(yùn)算法那么3.1 不定積分微分法:積分法:互逆運(yùn)算 不定積分的概念定義1 假設(shè)在某一區(qū)間上，F(xiàn)(x)=f(x) ，那么在這個區(qū)間上，函數(shù) F(x) 叫做函數(shù) f(x) 的一個原函數(shù)。一、不定積分的定義定理1 假設(shè)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，那么f(x)在該區(qū)間上的原函數(shù)一定存在。定理2 假設(shè)函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那么它就有無數(shù)多個原函數(shù).定理3 函數(shù)f(x)的任意兩個原函數(shù)的差是一個常數(shù)。關(guān)于原函數(shù)，

2、先研究三個問題：a.函數(shù)f(x)應(yīng)具備什么條件，才能保證其原函數(shù)一定存在？ b.假設(shè)函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那么原函數(shù)一共有多少個？ c.函數(shù)f(x)的任意兩個原函數(shù)之間有什么關(guān)系？定理1：假設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，那么f(x)的所有原函數(shù)都可以表示成F(x)+CC為任意常數(shù)。定義2 假設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，那么f(x)的所有原函數(shù)F(x)C稱為f(x)的不定積分，記為x 稱為積分變量f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx 稱為被積表達(dá)式其中 稱為積分號，C 稱為積分常數(shù)例1 求以下不定積分(1)(2)解：(2)(3)(3)(1)例2 用微分法驗證等式：證明：因為是cos(2x

3、+3)的一個原函數(shù)，所以即例3 求經(jīng)過點(diǎn)(1,3)，且其切線的斜率為2x的曲線方程。解：由曲線切線斜率為2x且不定積分定義可知得曲線簇 y=x2+C,將x=1,y=3代入，得 C=2所以 y=x2+23.1.2 不定積分的根本公式和運(yùn)算法那么一、不定積分的根本公式 由不定積分的定義可知，不定積分就是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。因此，有一個導(dǎo)數(shù)或微分公式，就對應(yīng)地有一個不定積分公式。序號12345根本積分表67891011例4求以下不定積分(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)例5 驗證解：當(dāng)x0時，當(dāng)x0時，所以 關(guān)于不定積分，還有如下等式成立：2.1.或或.不為零的常數(shù)因子，可移動到積分號前。.兩個

4、函數(shù)的代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和k0二、不定積分的運(yùn)算法那么可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況例6 求解：原式=直接積分法：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和積分根本公式直接計算出不定積分的方法。例7 求解：原式例8 求解：原式=例9 求解：原式=說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)展恒等變形，才能使用根本積分公式。3.2 不定積分的計算 利用根本積分公式及不定積分的性質(zhì)直接計算不定積分，有時很困難，因此，需要引進(jìn)一些方法和技巧。下面介紹不定積分的兩大積分方法:換元積分法與分部積分法3.2.1 換元積分法 一、第一類換元積分法湊微分法 有一些不定積分，將積分變量進(jìn)展一定的變換后，積分表達(dá)式由于引進(jìn)中間變

5、量而變?yōu)樾碌男问?，而新的積分表達(dá)式和新的積分變量可直接由根本積分公式求出不定積分來。例如想到根本積分公式假設(shè)令u2x，把2x看成一個整體新的積分變量，這個積分可利用根本積分公式算出來定理1 設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u) ，u(x)可導(dǎo) 那么有第一類換元積分法第一類換元公式湊微分法那么有換元公式注意 使用此公式的關(guān)鍵在于將第一類換元法又稱為湊微分法。例10 求解：原式=例14 求解：說明：正余弦三角函數(shù)積分的偶次冪時，一般應(yīng)先降冪。湊微分常見類型二、第二類換元積分法 第一類換元積分法是利用湊微分的方法，把一個較復(fù)雜的積分化成便于利用根本積分公式的形式。但是，有時不易找出湊微分式，卻可以設(shè)法作一個

6、代換 x(t)，而積分目的：去根號或化為根本積分公式可用根本積分公式求解。定理2 設(shè)f(x)連續(xù)，x(t)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)，且其導(dǎo)數(shù)(t)0，x(t)的反函數(shù)t=-1(x)存在且可導(dǎo)，并且那么根式代換例19 求解：考慮到被積函數(shù)中的根號是困難所在，故令當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時，可采用令x=tn（其中n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例20 求解：令例21 求解:令那么 原式三角代換小 結(jié)注意：三角代換的目的是化掉根式。三角代換常有以下規(guī)律可令可令可令小結(jié)兩類積分換元法：一湊微分二三角代換、根式代換、倒數(shù)代換三角代換常有以下規(guī)律可令可令可令考慮積分解決思路利用分部積分法問題的提出3.2

7、.2 分部積分法分部積分公式下面利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法那么，得出求積分的根本方法分部積分法。對此不等式兩邊求不定積分即分部積分過程：應(yīng)用分部積分法時，可按下述步驟計算： (湊微：定出) (分部：利用分部積分公式) 積分例25 求積分解:令假設(shè)令顯然， 選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)展。假設(shè)u和dv選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果，所以應(yīng)用分部積分法時，恰中選取u和dv是一個關(guān)鍵。選取u和dv一般要考慮下面兩點(diǎn)：(1)v要容易求得；(2)要比容易積出例26 求積分解假設(shè)被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)為u。例27 求積分解:令假設(shè)被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)反三角函數(shù)為u。被積函

8、數(shù)類型及u和dv的選取法類型：類型：類型：任意選取3.3 定積分(Definite Integrals)定積分是積分學(xué)的一個重要概念，在科學(xué)研究和生產(chǎn)實踐中應(yīng)用十分廣泛，如平面圖形面積、變力所作的功等均可歸結(jié)為定積分問題。abxyo實例1 (求曲邊梯形的面積)一、定積分的概念abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積四個小矩形九個小矩形曲邊梯形如下圖，近似分割曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為求和取極限 解決問題的方法步驟：“分割，近似，求和，取極限2、定積分的定義定義1被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和 (2)定積分的

9、值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即注意:(1)定義中區(qū)間的分法和 的取法是任意的。 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值3、定積分的幾何意義abxyooyabxO y x一般情況下，定積分 表示曲線y=f(x)與x 軸介于a、b之間的各局部面積的代數(shù)和。b y = f(x)a例1 利用定義計算定積分xy01采用“以直代曲的方法解：(1) 分割(2)近似(3)求和(4)取極限小 結(jié).定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限.定積分的思想和方法：求和積零為整取極限精確值定積分化整為零分割直不變代曲變近似對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2(k為常數(shù))補(bǔ)充：不管a,b,c的相對位

10、置如何, 上式總成立。(積分區(qū)間的可加性)性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5推論證明：此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍性質(zhì)6證明：由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在區(qū)間a,b上性質(zhì)7定積分中值定理至少存在一個點(diǎn)，使假設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，那么在積分區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)，使積分中值公式積分中值公式的幾何解釋：3.4 定積分的計算3.4.1 微積分根本定理3.4.3 定積分的分部積分法3.4.2 定積分的換元積分法3.4.4 定積分的應(yīng)用微積分根本定理 為了得到微積分根本定理，先研究積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，并且設(shè)x為a,b上的一點(diǎn)，考察定積分記作積分上限函數(shù)一、積分

11、上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是x的函數(shù)或稱可變上限積分注積分上限函數(shù)的性質(zhì) 定理1 假設(shè) 在a,b上連續(xù)，那么積分上限函數(shù) 在a,b上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是例3 設(shè)解：，求二、微積分根本定理微積分根本定理也可叫做牛頓-萊布尼茨公式，它是用求原函數(shù)的方法計算定積分的數(shù)值。定理 微積分根本公式證明： 假設(shè) F(x) 是連續(xù)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù)，那么令令牛頓萊布尼茨公式微積分根本公式說明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分可用它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間a,b端點(diǎn)上的值來表示。例6 求 原式解：例7 設(shè) , 求 . 解：例8 求 解：3.微積分根本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小

12、結(jié)由牛頓萊布尼茨公式，定積分的求值問題可以轉(zhuǎn)化為不定積分的問題，但有時運(yùn)算過程冗長復(fù)雜。假設(shè)采用定積分換元法，比較簡便，下面討論定積分換元法。 定積分的換元積分法的函數(shù)，而只要把新變量積分限也相應(yīng)的改變。換成新變量把變量(1)用應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:時，(2)求出的一個原函數(shù)不必象計算不定積分那樣再要把原變量限分別代入然后相減就行了。后，變換成的上、下例1 計算解令證明：例5當(dāng)在上連續(xù)，且有為奇函數(shù)，那么為偶函數(shù)，那么思考：幾何意義？幾何解釋：偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù)例4 計算解原式偶函數(shù)單位圓的面積定積分的分部積分公式推導(dǎo)3.4.3 定積分的分部積分法例1 計算解：令那么例2 計算解：定積分的

13、分部積分公式小 結(jié) 在一些實際問題中，常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)為無界函數(shù)的積分，它們已經(jīng)不屬于前面所說的定積分了因此，我們對定積分作如下兩種推廣，從而形成“廣義積分的概念問題提出3.5 廣義積分(improper integral) 問題的提出Introduction)前面遇到的定積分是確定的常數(shù)，且在上連續(xù)。那么如何計算以下兩種類型的積分？是普通的積分，定義4設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,+)內(nèi)連續(xù)，b是a,+)內(nèi)任一實數(shù)，假設(shè)極限 存在，那么稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,+)內(nèi)的廣義積分，記做并稱此時廣義積分收斂，否那么，假設(shè) 不存在，那么稱此時廣義積分發(fā)散.同樣可定義在區(qū)間(

14、-,b上的廣義積分符號 稱為f(x)在區(qū)間(-，+)上的廣義積分，假設(shè)對任意實數(shù)c ，廣義積分 和 都收斂，那么稱廣義積分收斂或存在，否那么稱為發(fā)散例1 計算廣義積分這個廣義積分值的幾何意義是：當(dāng)a- ,b+ 時，雖然圖中陰影局部向左、右無限延伸，但面積卻有極限值。簡單地說，它是位于曲線 的下方，x 軸上方的圖形面積。例2 討論廣義積分 斂散性。3.4.4 定積分的應(yīng)用 一、微元法在應(yīng)用定積分解決實際問題時，關(guān)鍵是將實際問題歸結(jié)為定積分。定積分 的定義導(dǎo)出有四步，先將a,b分成n個小區(qū)間，然后在每個小區(qū)間上作近似替代 ，再求代數(shù)和 ，最后取極限解：兩曲線的交點(diǎn)面積元素選 為積分變量例1 計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積。解：兩曲線的交點(diǎn)選 為積分變量(2,-2)(8,4)例2 計算由曲線和直線所圍成