大學(xué)物理習(xí)題集(上-含解答)

1、大學(xué)物理習(xí)題集（上冊(cè)，含解答）第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)11 一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為x(t) = 6t2 - 2t3試求：（1）第2s內(nèi)的位移和平均速度；（2）1s末及2s末的瞬時(shí)速度，第2s內(nèi)的路程；（3）1s末的瞬時(shí)加速度和第2s內(nèi)的平均加速度解答（1）質(zhì)點(diǎn)在第1s末的位置為：x(1) = 612 - 213 = 4(m)在第2s末的位置為：x(2) = 622 - 223 = 8(m)在第2s內(nèi)的位移大小為：x = x(2) x(1) = 4(m)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t = 1s，所以平均速度大小為：=x/t = 4(ms-1)（2）質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度大小為：v(t) = dx/dt = 12t -

2、 6t2，因此v(1) = 121 - 612 = 6(ms-1)，v(2) = 122 - 622 = 0質(zhì)點(diǎn)在第2s內(nèi)的路程等于其位移的大小，即s = x = 4m（3）質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)加速度大小為：a(t) = dv/dt = 12 - 12t，因此1s末的瞬時(shí)加速度為：a(1) = 12 - 121 = 0，第2s內(nèi)的平均加速度為：= v(2) - v(1)/t = 0 6/1 = -6(ms-2)注意 第幾秒內(nèi)的平均速度和平均加速度的時(shí)間間隔都是1秒12 一質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在t = 10s內(nèi)走過(guò)路程s = 30m，而其速度增為n = 5倍試證加速度為，并由上述數(shù)據(jù)求出量值證明依題意得

3、vt = nvo，根據(jù)速度公式vt = vo + at，得a = (n 1)vo/t， (1)根據(jù)速度與位移的關(guān)系式vt2 = vo2 + 2as，得a = (n2 1)vo2/2s，(2)（1）平方之后除以（2）式證得：計(jì)算得加速度為：= 0.4(ms-2)13 一人乘摩托車(chē)跳越一個(gè)大礦坑，他以與水平成22.5的夾角的初速度65ms-1從西邊起跳，準(zhǔn)確地落在坑的東邊已知東邊比西邊低70m，忽略空氣阻力，且取g = 10ms-2問(wèn)：70m22.5圖1.3（1）礦坑有多寬？他飛越的時(shí)間多長(zhǎng)？（2）他在東邊落地時(shí)的速度？速度與水平面的夾角？解答方法一：分步法（1）夾角用表示，人和車(chē)（人）在豎直方向

4、首先做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為vy0 = v0sin = 24.87(ms-1)取向上的方向?yàn)檎鶕?jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式vt - v0 = at，這里的v0就是vy0，a = -g；當(dāng)人達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，vt = 0，所以上升到最高點(diǎn)的時(shí)間為t1 = vy0/g = 2.49(s)再根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度和位移的關(guān)系式：vt2 - v02 = 2as，可得上升的最大高度為：h1 = vy02/2g = 30.94(m)人從最高點(diǎn)開(kāi)始再做自由落體運(yùn)動(dòng)，下落的高度為;h2 = h1 + h = 100.94(m)根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)公式s = gt2/2，得下落的時(shí)間為:= 4.49(s)因此

5、人飛越的時(shí)間為：t = t1 + t2 = 6.98(s)人飛越的水平速度為;vx0 = v0cos = 60.05(ms-1)，所以礦坑的寬度為：x = vx0t = 419.19(m)（2）根據(jù)自由落體速度公式可得人落地的豎直速度大小為：vy = gt = 69.8(ms-1)，落地速度為：v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(ms-1)，與水平方向的夾角為： = arctan(vy/vx) = 49.30，方向斜向下方法二：一步法取向上為正，人在豎直方向的位移為y = vy0t - gt2/2，移項(xiàng)得時(shí)間的一元二次方程，解得：這里y = -70m，根號(hào)項(xiàng)就是人落地時(shí)在豎直

6、方向的速度大小，由于時(shí)間應(yīng)該取正值，所以公式取正根，計(jì)算時(shí)間為：t = 6.98(s)由此可以求解其他問(wèn)題14 一個(gè)正在沿直線行駛的汽船，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，由于阻力得到一個(gè)與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k為常數(shù)（1）試證在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，船在t時(shí)刻的速度大小為；（2）試證在時(shí)間t內(nèi)，船行駛的距離為證明（1）分離變量得， 故 ，可得： （2）公式可化為，由于v = dx/dt，所以：積分 因此 證畢討論當(dāng)力是速度的函數(shù)時(shí)，即f = f(v)，根據(jù)牛頓第二定律得f = ma由于a = d2x/dt2， 而 dx/dt = v， a = dv/dt，分離變量得方程

7、：，解方程即可求解在本題中，k已經(jīng)包括了質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量如果阻力與速度反向、大小與船速的n次方成正比，則dv/dt = -kvn（1）如果n = 1，則得，積分得lnv = -kt + C當(dāng)t = 0時(shí)，v = v0，所以C = lnv0，因此lnv/v0 = -kt，得速度為 ：v = v0e-kt而dv = v0e-ktdt，積分得：當(dāng)t = 0時(shí)，x = 0，所以C = v0/k，因此（2）如果n1，則得，積分得當(dāng)t = 0時(shí)，v = v0，所以，因此如果n = 2，就是本題的結(jié)果如果n2，可得，讀者不妨自證15 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為0.10m的圓周運(yùn)動(dòng)，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2

8、 + 4t3求：（1）t = 2s時(shí)，它的法向加速度和切向加速度；（2）當(dāng)切向加速度恰為總加速度大小的一半時(shí)，為何值？（3）在哪一時(shí)刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答（1）角速度為 = d/dt = 12t2 = 48(rads-1)，法向加速度為 an = r2 = 230.4(ms-2)；角加速度為 = d/dt = 24t = 48(rads-2)，切向加速度為 at = r = 4.8(ms-2)（2）總加速度為a = (at2 + an2)1/2，當(dāng)at = a/2時(shí)，有4at2 = at2 + an2，即由此得，即 ，解得 所以 =3.154(rad)（3）當(dāng)at = a

9、n時(shí)，可得r = r2， 即： 24t = (12t2)2，解得 ： t = (1/6)1/3 = 0.55(s)16 一飛機(jī)在鉛直面內(nèi)飛行，某時(shí)刻飛機(jī)的速度為v = 300ms-1，方向與水平線夾角為30而斜向下，此后飛機(jī)的加速度為a = 20ms-2，方向與水平前進(jìn)方向夾角為30而斜向上，問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間后，飛機(jī)又yxOv0aaxayv0 xv0y回到原來(lái)的高度？在此期間飛機(jī)在水平方向飛行的距離為多少？解答建立水平和垂直坐標(biāo)系，飛機(jī)的初速度的大小為v0 x = v0cos， v0y = v0sin加速度的大小為ax = acos， ay = asin 運(yùn)動(dòng)方程為， 即 ， 令y = 0，解得飛機(jī)

10、回到原來(lái)高度時(shí)的時(shí)間為：t = 0（舍去）；(s)將t代入x的方程求得x = 9000m 注意選擇不同的坐標(biāo)系，如x方向沿著a的方向或者沿著v0的方向，也能求出相同的結(jié)果RA圖1.717 一個(gè)半徑為R = 1.0m的輕圓盤(pán)，可以繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)一根輕繩繞在盤(pán)子的邊緣，其自由端拴一物體A在重力作用下，物體A從靜止開(kāi)始勻加速地下降，在t = 2.0s內(nèi)下降的距離h = 0.4m求物體開(kāi)始下降后3s末，圓盤(pán)邊緣上任一點(diǎn)的切向加速度與法向加速度解答圓盤(pán)邊緣的切向加速度大小等于物體A下落加速度由于，所以at = 2h/t2 = 0.2(ms-2)物體下降3s末的速度為v = att = 0.6(ms-

11、1)，這也是邊緣的線速度，因此法向加速度為= 0.36(ms-2)18 一升降機(jī)以加速度1.22ms-2上升，當(dāng)上升速度為2.44ms-1時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天花板上松落，天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m計(jì)算：（1）螺帽從天花板落到底面所需的時(shí)間；（2）螺帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子的下降距離解答在螺帽從天花板落到底面時(shí)，升降機(jī)上升的高度為；螺帽做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，位移為由題意得h = h1 - h2，所以，解得時(shí)間為= 0.705(s)算得h2 = -0.716m，即螺帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子的下降距離為0.716m注意以升降機(jī)為參考系，釘子下落時(shí)相對(duì)加速度為a + g，而初速度為零，可列方程h

12、 = (a + g)t2/2，由此可計(jì)算釘子落下的時(shí)間，進(jìn)而計(jì)算下降距離19 有一架飛機(jī)從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處已知?dú)饬飨鄬?duì)于地面的速度為u，AB之間的距離為l，飛機(jī)相對(duì)于空氣的速率v保持不變（1）如果u = 0（空氣靜止），試證來(lái)回飛行的時(shí)間為；（2）如果氣流的速度向東，證明來(lái)回飛行的總時(shí)間為；（3）如果氣流的速度向北，證明來(lái)回飛行的總時(shí)間為ABABvv + uv - uABvuuvv證明（1）飛機(jī)飛行來(lái)回的速率為v，路程為2l，所以飛行時(shí)間為t0 = 2l/v（2）飛機(jī)向東飛行順風(fēng)的速率為v + u，向西飛行逆風(fēng)的速率為v - u，所以飛行時(shí)間為 （3）飛機(jī)相對(duì)地的速度等于

13、相對(duì)風(fēng)的速度加風(fēng)相對(duì)地的速度為了使飛機(jī)沿著AB之間的直線飛行，就要使其相對(duì)地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小為，所以飛行時(shí)間為 證畢110 如圖所示，一汽車(chē)在雨中沿直線行駛，其速度為v1，下落雨的速度方向與鉛直方向的夾角為，偏向于汽車(chē)前進(jìn)方向，速度為v2今在車(chē)后放一長(zhǎng)方形物體，問(wèn)車(chē)速v1為多大時(shí)此物體剛好不會(huì)被雨水淋濕？解答雨對(duì)地的速度等于雨對(duì)車(chē)的速度加車(chē)對(duì)地的速度，由此可作矢量三角形根據(jù)題意得tan = l/hv1hlv2圖1.10方法一：利用直角三角形根據(jù)直角三角形得v1 = v2sin + v3sin，其中v3 = v/cos，而v = v2cos，因此v1 =

14、v2sin + v2cossin/cos，即 證畢方法二：利用正弦定理根據(jù)正弦定理可得，所以：v1hlv2v3v ，即 方法三：利用位移關(guān)系將雨滴的速度分解為豎直和水平兩個(gè)分量，在t時(shí)間內(nèi)，雨滴的位移為l = (v1 v2sin)t，h = v2cost兩式消去時(shí)間t即得所求 證畢第二章 運(yùn)動(dòng)定律與力學(xué)中的守恒定律(一) 牛頓運(yùn)動(dòng)定律21 一個(gè)重量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運(yùn)動(dòng)，的方向與斜面底邊的水平約AB平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道解答質(zhì)點(diǎn)在斜上運(yùn)動(dòng)的加速度為a = gsin，方向與初速度方向垂直其運(yùn)動(dòng)方程為ABv0P圖2.1x = v0t，將t = x/v0，代

15、入后一方程得質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為，這是拋物線方程22 桌上有一質(zhì)量M = 1kg的平板，板上放一質(zhì)量m = 2kg的另一物體，設(shè)物體與板、板與桌面之間的滑動(dòng)摩擦因素均為k = 0.25，靜摩擦因素為s = 0.30求：（1）今以水平力拉板，使兩者一起以a = 1ms-2的加速度運(yùn)動(dòng)，試計(jì)算物體與板、與桌面間的相NmfmNMfMa互作用力；（2）要將板從物體下面抽出，至少需要多大的力？解答（1）物體與板之間有正壓力和摩擦力的作用板對(duì)物體的支持大小等于物體的重力：Nm = mg = 19.6(N)，這也是板受物體的壓力的大小，但壓力方向相反物體受板摩擦力做加速運(yùn)動(dòng)，摩擦力的大小為：fm = ma =

16、2(N)，這也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反板受桌子的支持力大小等于其重力：NM = (m + M)g = 29.4(N)，這也是桌子受板的壓力的大小，但方向相反板在桌子上滑動(dòng)，所受摩擦力的大小為：fM = kNM = 7.35(N)這也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反（2）設(shè)物體在最大靜摩擦力作用下和板一起做加速度為a的運(yùn)動(dòng)，物體的運(yùn)動(dòng)方程為NmfNMf fFa f =smg = ma，可得 a =sg板的運(yùn)動(dòng)方程為 F f k(m + M)g = Ma，即 F = f + Ma + k(m + M)g = (s + k)(m + M)g，算得 F = 16.17(N)因此要將

17、板從物體下面抽出，至少需要16.17N的力23 如圖所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，兩物體與水平面的的摩擦因素勻?yàn)?.2求質(zhì)量為m2的物體的加速度及繩子對(duì)它的拉力（繩子和滑輪質(zhì)量均不計(jì)）解答利用幾何關(guān)系得兩物體的加速度之間的關(guān)系為a2 = 2a1，而力的關(guān)系為T(mén)1 = 2T2m2FT1a1m1T2a2f1f2圖2.3對(duì)兩物體列運(yùn)動(dòng)方程得T2 - m2g = m2a2，F(xiàn) T1 m1g = m1a1可以解得m2的加速度為= 4.78(ms-2)，繩對(duì)它的拉力為= 1.35(N) 24 兩根彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)分別為k1和k2求證：（1）它們串聯(lián)起來(lái)時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)k與

18、k1和k2滿(mǎn)足關(guān)系關(guān)系式；k1k2F(a)k1k2F圖2.4(b)（2）它們并聯(lián)起來(lái)時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)k = k1 + k2解答當(dāng)力F將彈簧共拉長(zhǎng)x時(shí)，有F = kx，其中k為總倔強(qiáng)系數(shù)兩個(gè)彈簧分別拉長(zhǎng)x1和x2，產(chǎn)生的彈力分別為F1 = k1x1，F(xiàn)2 = k2x2（1）由于彈簧串聯(lián)，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2，因此 ，即：（2）由于彈簧并聯(lián)，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2， 即：k = k1 + k225 如圖所示，質(zhì)量為m的擺懸于架上，架固定于小車(chē)上，在下述各種情況中，求擺線的方向（即圖2.5擺線與豎直線的夾

19、角）及線中的張力T（1）小車(chē)沿水平線作勻速運(yùn)動(dòng)；（2）小車(chē)以加速度沿水平方向運(yùn)動(dòng)；（3）小車(chē)自由地從傾斜平面上滑下，斜面與水平面成角；（4）用與斜面平行的加速度把小車(chē)沿斜面往上推（設(shè)b1 = b）；（5）以同樣大小的加速度（b2 = b），將小車(chē)從斜面上推下來(lái)解答（1）小車(chē)沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺在水平方向沒(méi)有受到力Tmgma（2）的作用，擺線偏角為零，線中張力為T(mén) = mg（2）小車(chē)在水平方向做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和拉力的合力就是合外力由于tan = ma/mg， 所以 = arctan(a/g)；繩子張力等于擺所受的拉力 ：Tmgma（3）（3）小車(chē)沿斜面自由滑下時(shí)，擺仍然受到重力和拉力

20、，合力沿斜面向下，所以 = ；T = mgcos（4）根據(jù)題意作力的矢量圖，將豎直虛線延長(zhǎng)，與水平輔助線相交，可得一直角三角形，角的對(duì)邊是mbcos，鄰邊是mg + mbsin，由此可得：Tmgmb（4），Tmgmb（5）因此角度為；而張力為（5）與上一問(wèn)相比，加速度的方向反向，只要將上一結(jié)果中的b改為-b就行了lmBCO圖2.626 如圖所示：質(zhì)量為m =0.10kg的小球，拴在長(zhǎng)度l =0.5m的輕繩子的一端，構(gòu)成一個(gè)擺擺動(dòng)時(shí)，與豎直線的最大夾角為60求：（1）小球通過(guò)豎直位置時(shí)的速度為多少？此時(shí)繩的張力多大？（2）在 0，所以sin 0，因此： = -/3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為：x = 0

21、.12cos(t /3)（2）當(dāng)t = T/4時(shí)物體的位置為;x = 0.12cos(/2 /3) = 0.12cos/6 = 0.104(m)速度為；v = -Asin(/2 /3) = -0.12sin/6 = -0.188(ms-1)加速度為：a = dv/dt = -2Acos(t + )= -2Acos(t - /3)= -0.122cos/6 = -1.03(ms-2)（3）方法一：求時(shí)間差當(dāng)x = -0.06m時(shí)，可得cos(t1 - /3) = -0.5，因此t1 - /3 = 2/3由于物體向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，即v 0，因此t1 - /3 = 2/3，得t1 = 1s當(dāng)物體從x

22、 = -0.06m處第一次回到平衡位置時(shí)，x = 0，v 0，因此cos(t2 - /3) = 0，可得 t2 - /3 = -/2或3/2等由于t2 0，所以t2 - /3 = 3/2，可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)所需要的時(shí)間為：t = t2 - t1 = 0.83(s)方法二：反向運(yùn)動(dòng)物體從x = -0.06m，向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)第一次回到平衡位置所需的時(shí)間就是它從x = 0.06m，即從起點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)第一次回到平衡位置所需的時(shí)間在平衡位置時(shí)，x = 0，v 0，因此cos(t - /3) = 0，可得 t - /3 = /2，解得 t = 5/6 = 0.83(s)注

23、意根據(jù)振動(dòng)方程x = Acos(t + )，當(dāng)t = 0時(shí)，可得 = arccos(x0/A)，（- 0時(shí)，sin 0，因此 = -arccos(x0/A)；當(dāng)v 0，因此 = arccos(x0/A)/3可見(jiàn)：當(dāng)速度大于零時(shí)，初位相取負(fù)值；當(dāng)速度小于零時(shí)，初位相取正值如果速度等于零，當(dāng)初位置x0 = A時(shí)， = 0；當(dāng)初位置x0 = -A時(shí)， = 42 已知一簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示，試由圖求：（1）a，b，c，d，e各點(diǎn)的位相，及到達(dá)這些狀態(tài)的時(shí)刻t各是多OtxabcdeA/2A圖4.2少？已知周期為T(mén)；（2）振動(dòng)表達(dá)式；（3）畫(huà)出旋轉(zhuǎn)矢量圖解答方法一：由位相求時(shí)間（1）設(shè)曲線方程為x

24、= Acos，其中A表示振幅， = t + 表示相位由于xa = A，所以cosa = 1，因此 a = 0由于xb = A/2，所以cosb = 0.5，因此 b = /3；由于位相隨時(shí)間t增加，b點(diǎn)位相就應(yīng)該大于a點(diǎn)的位相，因此b = /3由于xc = 0，所以cosc = 0，又由于c點(diǎn)位相大于b位相，因此c = /2同理可得其他兩點(diǎn)位相為：d = 2/3，e = c點(diǎn)和a點(diǎn)的相位之差為/2，時(shí)間之差為T(mén)/4，而b點(diǎn)和a點(diǎn)的相位之差為/3，時(shí)間之差應(yīng)該為T(mén)/6因?yàn)閎點(diǎn)的位移值與O時(shí)刻的位移值相同，所以到達(dá)a點(diǎn)的時(shí)刻為ta = T/6到達(dá)b點(diǎn)的時(shí)刻為tb = 2ta = T/3到達(dá)c點(diǎn)的時(shí)

25、刻為tc = ta + T/4 = 5T/12到達(dá)d點(diǎn)的時(shí)刻為td = tc + T/12 = T/2到達(dá)e點(diǎn)的時(shí)刻為te = ta + T/2 = 2T/3（2）設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為：x = Acos(t + )，當(dāng)t = 0時(shí)，x = A/2時(shí)，所以cos = 0.5，因此 = /3；由于零時(shí)刻的位相小于a點(diǎn)的位相，所以 = -/3，因此振動(dòng)表達(dá)式為另外，在O時(shí)刻的曲線上作一切線，由于速度是位置對(duì)時(shí)間的變化率，所以切線代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取負(fù)值，從而可得運(yùn)動(dòng)方OxaAbcde程（3）如圖旋轉(zhuǎn)矢量圖所示方法二：由時(shí)間求位相將曲線反方向延長(zhǎng)與t軸相交于f點(diǎn)，由

26、于xf = 0，根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程，可得OtxabcdeA/2Af所以：顯然f點(diǎn)的速度大于零，所以取負(fù)值，解得tf = -T/12從f點(diǎn)到達(dá)a點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為T(mén)/4，所以到達(dá)a點(diǎn)的時(shí)刻為：ta = T/4 + tf = T/6，其位相為：由圖可以確定其他點(diǎn)的時(shí)刻，同理可得各點(diǎn)的位相43 有一彈簧，當(dāng)其下端掛一質(zhì)量為M的物體時(shí)，伸長(zhǎng)量為9.810-2m若使物體上下振動(dòng)，且規(guī)定向下為正方向（1）t = 0時(shí)，物體在平衡位置上方8.010-2m處，由靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程；（2）t = 0時(shí)，物體在平衡位置并以0.60ms-1速度向上運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程解答當(dāng)物體平衡時(shí)，有：Mg kx0 = 0，所以彈簧

27、的倔強(qiáng)系數(shù)為：k = Mg/x0，物體振動(dòng)的圓頻率為：= 10(rads-1)設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：x = Acos(t + )（1）當(dāng)t = 0時(shí)，x0 = -8.010-2m，v0 = 0，因此振幅為：= 8.010-2(m)；由于初位移為x0 = -A，所以cos = -1，初位相為： = 運(yùn)動(dòng)方程為：x = 8.010-2cos(10t + )（2）當(dāng)t = 0時(shí)，x0 = 0，v0 = -0.60(ms-1)，因此振幅為：= |v0/| = 6.010-2(m)；由于cos = 0，所以 = /2；運(yùn)動(dòng)方程為：x = 6.010-2cos(10t + /2)44 質(zhì)量為1010-3kg

28、的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作振動(dòng)，式中t以秒(s)計(jì)，x以米(m)計(jì)求：（1）振動(dòng)的圓頻率、周期、振幅、初位相；（2）振動(dòng)的速度、加速度的最大值；（3）最大回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢(shì)能；（4）畫(huà)出這振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并在圖上指明t為1，2，10s等各時(shí)刻的矢量位置解答（1）比較簡(jiǎn)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程：x = Acos(t + )，可知圓頻率為： =8，周期T = 2/ = 1/4 = 0.25(s)，振幅A = 0.1(m)，初位相 = 2/3Oxt=1,2,10sA（2）速度的最大值為：vm = A = 0.8 = 2.51(ms-1)；加速度的最大值為：am = 2A = 6.

29、42 = 63.2(ms-2)（3）彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為：k = m2，最大回復(fù)力為:f = kA = m2A = 0.632(N)；振動(dòng)能量為:E = kA2/2 = m2A2/2 = 3.1610-2(J)，平均動(dòng)能和平均勢(shì)能為:= kA2/4 = m2A2/4 = 1.5810-2(J)（4）如圖所示，當(dāng)t為1，2，10s等時(shí)刻時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量的位置是相同的45 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)平行于同一直線并排作同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)在振動(dòng)過(guò)程中，每當(dāng)它們經(jīng)過(guò)振幅一半的地方時(shí)相遇，而運(yùn)動(dòng)方向相反求它們的位相差，并作旋轉(zhuǎn)矢量圖表示解答設(shè)它們的振動(dòng)方程為OxA:x = Acos(t + )，當(dāng)x = A/2時(shí)，可得位相

30、為:t + = /3由于它們?cè)谙嘤鰰r(shí)反相，可取1 = (t + )1 = -/3，2 = (t + )2 = /3，它們的相差為: = 2 1 = 2/3，或者: = 2 = 4/3矢量圖如圖所示46 一氫原子在分子中的振動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)已知?dú)湓淤|(zhì)量m = 1.6810-27kg，振動(dòng)頻率v = 1.01014Hz，振幅A = 1.010-11m試計(jì)算：（1）此氫原子的最大速度；（2）與此振動(dòng)相聯(lián)系的能量解答（1）氫原子的圓頻率為: = 2v = 6.281014(rads-1)，最大速度為:vm = A = 6.28103(ms-1)（2）氫原子的能量為:= 3.3210-20(J)47

31、如圖所示，在一平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為1.0kg的重物，若使圖4.7平板在豎直方向上作上下簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為0.50s，振幅為2.010-2m，求：（1）平板到最低點(diǎn)時(shí)，重物對(duì)平板的作用力；（2）若頻率不變，則平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，重物跳離平板？（3）若振幅不變，則平板以多大的頻率振動(dòng)時(shí)，重物跳離平板？解答（1）重物的圓頻率為： = 2/T = 4，其最大加速度為：am = 2A，合力為：F = mam，方向向上重物受到板的向上支持力N和向下的重力G，所以F = N G重物對(duì)平板的作用力方向向下，大小等于板的支持力：N = G + F = m(g +am) = m(g +2A) = 1

32、2.96(N)（2）當(dāng)物體的最大加速度向下時(shí)，板的支持為：N = m(g - 2A)當(dāng)重物跳離平板時(shí)，N = 0，頻率不變時(shí)，振幅為：A = g/2 = 3.210-2(m)（3）振幅不變時(shí)，頻率為：= 3.52(Hz)48 兩輕彈簧與小球串連在一直線上，將兩彈簧拉長(zhǎng)后系在固定點(diǎn)A和B之間，整個(gè)系統(tǒng)放在光滑水平面上設(shè)兩彈簧的原長(zhǎng)分別為l1和l2，倔強(qiáng)系統(tǒng)分別為k1和k2，A和B間距為L(zhǎng)，小球的質(zhì)量為mk1k2mAB圖4.8（1）試確定小球的平衡位置；（2）使小球沿彈簧長(zhǎng)度方向作一微小位移后放手，小球?qū)⒆髡駝?dòng)，這一振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)？振動(dòng)周期為多少？解答（1）這里不計(jì)小球的大小，不妨設(shè)L l1

33、+ l2，當(dāng)小球平衡時(shí)，兩彈簧分別拉長(zhǎng)x1和x2，因此得方程：L = l1 + x1 + l2 + x2；小球受左右兩邊的彈簧的彈力分別向左和向右，大小相等，即k1x1 = k2x2將x2 = x1k1/k2代入第一個(gè)公式解得：小球離A點(diǎn)的距離為：（2）以平衡位置為原點(diǎn)，取向右的方向?yàn)閤軸正方向，當(dāng)小球向右移動(dòng)一個(gè)微小距離x時(shí)，左邊彈簧拉長(zhǎng)為x1 + x，彈力大小為：f1 = k1(x1 + x)，方向向左；右邊彈簧拉長(zhǎng)為x1 - x，彈力大小為：f2 = k2(x2 - x)，方向向右根據(jù)牛頓第二定律得：k2(x2 - x) - k1(x1 + x) = ma，利用平衡條件得：，即小球做簡(jiǎn)諧

34、振動(dòng)小球振動(dòng)的圓頻率為：，其周期為：kMmv圖4.949 如圖所示，質(zhì)量為10g的子彈以速度v = 103ms-1水平射入木塊，并陷入木塊中，使彈簧壓縮而作簡(jiǎn)諧振動(dòng)設(shè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k = 8103Nm-1，木塊的質(zhì)量為4.99kg，不計(jì)桌面摩擦，試求：（1）振動(dòng)的振幅；（2）振動(dòng)方程解答（1）子彈射入木塊時(shí)，由于時(shí)間很短，木塊還來(lái)不及運(yùn)動(dòng)，彈簧沒(méi)有被壓縮，它們的動(dòng)量守恒，即：mv = (m + M)v0解得子彈射入后的速度為：v0 = mv/(m + M) = 2(ms-1)，這也是它們振動(dòng)的初速度子彈和木塊壓縮彈簧的過(guò)程機(jī)械能守恒，可得：(m + M) v02/2 = kA2/2，所以振幅為

35、：= 510-2(m)（2）振動(dòng)的圓頻率為：= 40(rads-1)取木塊靜止的位置為原點(diǎn)、向右的方向?yàn)槲灰苮的正方向，振動(dòng)方程可設(shè)為：x = Acos(t + )當(dāng)t = 0時(shí)，x = 0，可得： = /2；由于速度為正，所以取負(fù)的初位相，因此振動(dòng)方程為：x = 510-2cos(40t - /2)410 如圖所示，在倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧下，掛一質(zhì)量為M的托盤(pán)質(zhì)量為m的物體由距盤(pán)底高h(yuǎn)處自由下落與盤(pán)發(fā)生完全非彈性碰撞，而使其作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，設(shè)兩物體碰后瞬時(shí)為t = 0時(shí)刻，求振動(dòng)方程解答物體落下后、碰撞前的速度為：，kMmhxx1x2O圖4.10物體與托盤(pán)做完全非彈簧碰撞后，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得它

36、們的共同速度為，這也是它們振動(dòng)的初速度設(shè)振動(dòng)方程為：x = Acos(t + )，其中圓頻率為：物體沒(méi)有落下之前，托盤(pán)平衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng)為x1，則：x1 = Mg/k物體與托盤(pán)磁盤(pán)之后，在新的平衡位置，彈簧伸長(zhǎng)為x2，則：x2 = (M + m)g/k取新的平衡位置為原點(diǎn)，取向下的方向?yàn)檎?，則它們振動(dòng)的初位移為x0 = x1 - x2 = -mg/k因此振幅為：；初位相為：411 裝置如圖所示，輕彈簧一端固定，另一端與物體m間用細(xì)繩MkT1T2RmmgXO圖4.11相連，細(xì)繩跨于桌邊定滑輪M上，m懸于細(xì)繩下端已知彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k = 50Nm-1，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J = 0.02kgm2，半徑R

37、= 0.2m，物體質(zhì)量為m = 1.5kg，取g = 10ms-2（1）試求這一系統(tǒng)靜止時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量和繩的張力；（2）將物體m用手托起0.15m，再突然放手，任物體m下落而整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)入振動(dòng)狀態(tài)設(shè)繩子長(zhǎng)度一定，繩子與滑輪間不打滑，滑輪軸承無(wú)摩擦，試證物體m是做簡(jiǎn)諧振動(dòng)；（3）確定物體m的振動(dòng)周期；（4）取物體m的平衡位置為原點(diǎn)，OX軸豎直向下，設(shè)振物體m相對(duì)于平衡位置的位移為x，寫(xiě)出振動(dòng)方程解答（1）在平衡時(shí)，繩子的張力等于物體的重力T = G = mg = 15(N)這也是對(duì)彈簧的拉力，所以彈簧的伸長(zhǎng)為：x0 = mg/k = 0.3(m)（2）以物體平衡位置為原點(diǎn)，取向下的方向?yàn)檎?，?dāng)物體

38、下落x時(shí)，彈簧拉長(zhǎng)為x0 + x，因此水平繩子的張力為：T1 = k(x0 + x)設(shè)豎直繩子的張力為T(mén)2，對(duì)定滑輪可列轉(zhuǎn)動(dòng)方程：T2R T1R = J，其中是角加速度，與線加速度的關(guān)系是： = a/R對(duì)于物體也可列方程：mg - T2 = ma轉(zhuǎn)動(dòng)方程化為：T2 k(x0 + x) = aJ/R2，與物體平動(dòng)方程相加并利用平衡條件得：a(m + J/R2) = kx，可得微分方程：，故物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)（3）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率為：= 5(rads-1)周期為：T2 = 2/ = 1.26(s)（4）設(shè)物體振動(dòng)方程為：x = Acos(t + )，其中振幅為：A = 0.15(m)當(dāng)t = 0時(shí)，x

39、 = -0.15m，v0 = 0，可得：cos = -1，因此 = 或-，所以振動(dòng)方程為：x = 0.15cos(5t + )，或 x = 0.15cos(5t - )412 一勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)質(zhì)量為m，半徑為R，繞通過(guò)環(huán)上一點(diǎn)而與環(huán)平面垂直的水平光滑軸在鉛垂面CRmgO內(nèi)作小幅度擺動(dòng)，求擺動(dòng)的周期解答通過(guò)質(zhì)心垂直環(huán)面有一個(gè)軸，環(huán)繞此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：Ic = mR2根據(jù)平行軸定理，環(huán)繞過(guò)O點(diǎn)的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I = Ic + mR2 = 2mR2當(dāng)環(huán)偏離平衡位置時(shí)，重力的力矩為：M = mgRsin，方向與角度增加的方向相反根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理得：I = -M，即 ，由于環(huán)做小幅度擺動(dòng)，所以sin，可得微

40、分方程：擺動(dòng)的圓頻率為：，周期為：413 重量為P的物體用兩根彈簧豎直懸掛，如圖所示，各彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)標(biāo)明在圖上試求在圖k1k2kk(a)(b)圖4.13示兩種情況下，系統(tǒng)沿豎直方向振動(dòng)的固有頻率解答（1）前面已經(jīng)證明：當(dāng)兩根彈簧串聯(lián)時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)為k = k1k2/(k1 + k2)，因此固有頻率為（2）前面還證明：當(dāng)兩根彈簧并聯(lián)時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)等于兩個(gè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)之和，因此固有頻率為414 質(zhì)量為0.25kg的物體，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，倔強(qiáng)系數(shù)k = 25Nm-1，如果開(kāi)始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能0.6J，和動(dòng)能0.2J，求：（1）振幅；（2）位移多大時(shí)，動(dòng)能恰等于勢(shì)能？（3）經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)的

41、速度解答物體的總能量為：E = Ek + Ep = 0.8(J)（1）根據(jù)能量公式E = kA2/2，得振幅為：= 0.253(m)（2）當(dāng)動(dòng)能等于勢(shì)能時(shí)，即Ek = Ep，由于E = Ek + Ep，可得：E = 2Ep，即 ，解得：= 0.179(m)（3）再根據(jù)能量公式E = mvm2/2，得物體經(jīng)過(guò)平衡位置的速度為：= 2.53(ms-1)415 兩個(gè)頻率和振幅都相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的x-t曲線如圖所示，求：（1）兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差；t/sx/cm501234-5x1x2圖4.15（2）兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)的振動(dòng)方程解答（1）兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為：A = 5(cm)，周期為：T = 4(

42、s)，圓頻率為： =2/T = /2，它們的振動(dòng)方程分別為：x1 = Acost = 5cost/2，x2 = Asint = 5sint/2 = 5cos(/2 - t/2)即 x2 = 5cos(t/2 - /2)位相差為： = 2 - 1 = -/2（2）由于x = x1 + x2 = 5cost/2 + 5sint/2 = 5(cost/2cos/4 + 5sint/2sin/4)/sin/4合振動(dòng)方程為：(cm)416 已知兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)如下：，（1）求它們的合成振動(dòng)的振幅和初位相；（2）另有一同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)x3 = 0.07cos(10t +)，問(wèn)為何值時(shí)，x1 + x3的振幅

43、為最大？為何值時(shí)，x2 + x3的振幅為最小？（3）用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法表示（1）和（2）兩種情況下的結(jié)果x以米計(jì)，t以秒計(jì)解答（1）根據(jù)公式，合振動(dòng)的振幅為：= 8.9210-2(m)初位相為：= 68.22（2）要使x1 + x3的振幅最大，則：cos( 1) = 1，因此 1 = 0，所以： = 1 = 0.6要使x2 + x3的振幅最小，則 cos( 2) = -1，因此 2 = ，所以 = + 2 = 1.2OxA2A3x3x22（3）如圖所示OxA3A1x11x3OxAA2A1x1x2x21417 質(zhì)量為0.4kg的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與互相垂直的兩個(gè)振動(dòng)：，式中x和y以米(m)計(jì)，t以秒(s)

44、計(jì)（1）求運(yùn)動(dòng)的軌道方程；（2）畫(huà)出合成振動(dòng)的軌跡；（3）求質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的力解答（1）根據(jù)公式：，其中位相差為： = 2 1 = -/2，所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程為：（2）合振動(dòng)的軌跡是橢圓（3）兩個(gè)振動(dòng)的圓頻率是相同的 = /3，質(zhì)點(diǎn)在x方向所受的力為Oxa=0.08yb=0.06FxFyF，即 Fx = 0.035cos(t/3 + /6)(N)在y方向所受的力為，即 Fy = 0.026cos(t/3 - /3)(N)用矢量表示就是，其大小為，與x軸的夾角為 = arctan(Fy/Fx)418 將頻率為384Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉振動(dòng)和一待測(cè)頻率的音叉振動(dòng)合成，測(cè)得拍頻為3.0Hz，在待測(cè)

45、01212音叉的一端加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測(cè)音叉的固有頻率解答標(biāo)準(zhǔn)音叉的頻率為v0 = 384(Hz)，拍頻為v = 3.0(Hz)，待測(cè)音叉的固有頻率可能是v1 = v0 - v = 381(Hz)，也可能是v2 = v0 + v = 387(Hz) 在待測(cè)音叉上加一小塊物體時(shí)，相當(dāng)于彈簧振子增加了質(zhì)量，由于2 = k/m，可知其頻率將減小如果待測(cè)音叉的固有頻率v1，加一小塊物體后，其頻率v1將更低，與標(biāo)準(zhǔn)音叉的拍頻將增加；實(shí)際上拍頻是減小的，所以待測(cè)音叉的固有頻率v2，即387Hz419 示波器的電子束受到兩個(gè)互相垂直的電場(chǎng)作用電子在兩個(gè)方向上的位移分別為x = Acost和y

46、 = Acos(t +)求在 = 0， = 30，及 = 90這三種情況下，電子在熒光屏上的軌跡方程解答根據(jù)公式Oxy，其中 = 2 1 = -/2，而1 = 0，2 = （1）當(dāng) = = 0時(shí)，可得，Oxy質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程為y = x，軌跡是一條直線（2）當(dāng) = = 30時(shí)，可得質(zhì)點(diǎn)的軌道方程，即 ，軌跡是傾斜的橢圓xyO（3）當(dāng) = = 90時(shí)，可得，即 x2 + y2 = A2，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為圓420 三個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)為，求：（1）合振動(dòng)的圓頻率、振幅、初相及振動(dòng)表達(dá)式；（2）合振動(dòng)由初始位置運(yùn)動(dòng)到所需最短時(shí)間（A為合振動(dòng)振幅）解答 合振動(dòng)的圓頻率為： = 314 = 1

47、00(rads-1)設(shè)A0 = 0.08，根據(jù)公式得：Ax = A1cos1 + A2cos2 + A3cos3 = 0，Ay = A1sin1 + A2sin2 + A3sin3 = 2A0 = 0.16(m)，振幅為：= 0.16(m)，初位相為： = arctan(Ay/Ax) = /2合振動(dòng)的方程為：x = 0.16cos(100t + /2)（2）當(dāng)時(shí)，可得：，解得：100t + /2 = /4或7/4由于t 0，所以只能取第二個(gè)解，可得所需最短時(shí)間為t = 0.0125s第五章 機(jī)械波51 已知一波的波動(dòng)方程為y = 510-2sin(10t 0.6x) (m)（1）求波長(zhǎng)、頻率、

48、波速及傳播方向；（2）說(shuō)明x = 0時(shí)波動(dòng)方程的意義，并作圖表示t/sy/cm500.10.20.3解答（1）與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)方程比較得：2/ = 0.6，因此波長(zhǎng)為： = 10.47(m)；圓頻率為： = 10，頻率為：v =/2 = 5(Hz)；波速為：u = /T = v = 52.36(ms-1)且傳播方向?yàn)閤軸正方向（2）當(dāng)x = 0時(shí)波動(dòng)方程就成為該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：y = 510-2sin10t = 510-2cos(10t /2)，振動(dòng)曲線如圖52 一平面簡(jiǎn)諧波在媒質(zhì)中以速度為u = 0.2ms-1沿x軸正向傳播，已知波線上A點(diǎn)（xA = 0.05m）的振動(dòng)方程為(m)試求：（1）簡(jiǎn)

49、諧波的波動(dòng)方程；（2）x = -0.05m處質(zhì)點(diǎn)P處的振動(dòng)方程解答（1）簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為：；即 = 0.03cos4(t 5x) + /2（2）在x = -0.05m處質(zhì)點(diǎn)P點(diǎn)的振動(dòng)方程為：y = 0.03cos4t + + /2 = 0.03cos(4t - /2)53 已知平面波波源的振動(dòng)表達(dá)式為(m)求距波源5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程和該質(zhì)點(diǎn)與波源的位相差設(shè)波速為2ms-1解答振動(dòng)方程為： ，位相差為 = 5/4(rad)54 有一沿x軸正向傳播的平面波，其波速為u = 1ms-1，波長(zhǎng) = 0.04m，振幅A = 0.03m若以坐標(biāo)原點(diǎn)恰在平衡位置而向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)作為開(kāi)始時(shí)刻，試求：（1）

50、此平面波的波動(dòng)方程；（2）與波源相距x = 0.01m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，該點(diǎn)初相是多少？解答（1）設(shè)原點(diǎn)的振動(dòng)方程為：y0 = Acos(t + )，其中A = 0.03m由于u = /T，所以質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為：T = /u = 0.04(s)，圓頻率為： = 2/T = 50當(dāng)t = 0時(shí)，y0 = 0，因此cos = 0；由于質(zhì)點(diǎn)速度小于零，所以 = /2原點(diǎn)的振動(dòng)方程為：y0 = 0.03cos(50t + /2)，平面波的波動(dòng)方程為：= 0.03cos50(t x) + /2)（2）與波源相距x = 0.01m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：y = 0.03cos50t該點(diǎn)初相 = 055 一列簡(jiǎn)

51、諧波沿x軸正向傳播，在t1 = 0s，t2 = 0.25s時(shí)刻的波形如圖所示試求：（1）P點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；x/my/m0.2Ot1=00.45t2=0.25P圖5.5（2）波動(dòng)方程；（3）畫(huà)出O點(diǎn)的振動(dòng)曲線解答（1）設(shè)P點(diǎn)的振動(dòng)方程為yP = Acos(t + )，其中A = 0.2m在t = 0.25s內(nèi)，波向右傳播了x = 0.45/3 = 0.15(m)，所以波速為u = x/t = 0.6(ms-1)波長(zhǎng)為： = 4x = 0.6(m)，周期為：T = /u = 1(s)，圓頻率為： = 2/T = 2當(dāng)t = 0時(shí)，yP = 0，因此cos = 0；由于波沿x軸正向傳播，所以P點(diǎn)在此

52、時(shí)向上運(yùn)動(dòng)，速度大于零，所以 = -/2P點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：t/sy/m0.2O0.51yP = 0.2cos(2t - /2)（2）P點(diǎn)的位置是xP = 0.3m，所以波動(dòng)方程為（3）在x = 0處的振動(dòng)方程為y0 = 0.2cos(2t + /2)，曲線如圖所示56 如圖所示為一列沿x負(fù)向傳播的平面諧波在t = T/4時(shí)的波形圖，振幅A、波長(zhǎng)以及周期T均已知xyAObau圖5.6（1）寫(xiě)出該波的波動(dòng)方程；（2）畫(huà)出x = /2處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線；（3）圖中波線上a和b兩點(diǎn)的位相差a b為多少？解答（1）設(shè)此波的波動(dòng)方程為：，當(dāng)t = T/4時(shí)的波形方程為：在x = 0處y = 0，因此得si

53、n = 0，解得 = 0或而在x = /2處y = -A，所以 = 0因此波動(dòng)方程為：（2）在x = /2處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：，tyAO曲線如圖所示 （3）xa = /4處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為；xb = 處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為波線上a和b兩點(diǎn)的位相差a b = -3/257 已知波的波動(dòng)方程為y = Acos(4t 2x)（SI）（1）寫(xiě)出t = 4.2s時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)表示式，并計(jì)算此時(shí)離原點(diǎn)xyAOut=0t=4.2s0.51最近的波峰的位置，該波峰何時(shí)通過(guò)原點(diǎn)？（2）畫(huà)出t = 4.2s時(shí)的波形曲線解答波的波動(dòng)方程可化為：y = Acos2(2t x)，與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可知：周期為T(mén) =

54、0.5s，波長(zhǎng) = 1m波速為u = /T = 2ms-1（1）當(dāng)t = 4.2s時(shí)的波形方程為y = Acos(2x 16.8)= Acos(2x 0.8)令y = A，則cos(2x 0.8) = 1，因此 2x 0.8 = 2k，(k = 0, 1, 2,)，各波峰的位置為x = k + 0.4，(k = 0, 1, 2,)當(dāng)k = 0時(shí)的波峰離原點(diǎn)最近，最近為：x = 0.4(m)通過(guò)原點(diǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：t = x/u = (0 x)/u = -0.2(s)，即：該波峰0.2s之前通過(guò)了原點(diǎn)（2）t = 0時(shí)刻的波形曲線如實(shí)線所示經(jīng)過(guò)t = 4s時(shí)，也就是經(jīng)過(guò)8個(gè)周期，波形曲線是重合的

55、；再經(jīng)t = 0.2s，波形向右移動(dòng)x = ut = 0.4m，因此t = 4.2s時(shí)的波形曲線如虛線所示注意各波峰的位置也可以由cos(2x 16.8) = 1解得，結(jié)果為x = k + 8.4，(k = 0, 1, 2,)，取同一整數(shù)k值，波峰的位置不同當(dāng)k = -8時(shí)的波峰離原點(diǎn)最近，最近為x = 0.4m58 一簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，波長(zhǎng) = 4m，周期T = 4s，t/sy/m1O-10.5圖5.8已知x = 0處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示（1）寫(xiě)出時(shí)x = 0處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）寫(xiě)出波的表達(dá)式；（3）畫(huà)出t = 1s時(shí)刻的波形曲線解答波速為u = /T = 1(ms-1)（1）設(shè)

56、x = 0處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為y = Acos(t + )，其中A = 1m， = 2/T = /2當(dāng)t = 0時(shí)，y = 0.5，因此cos = 0.5， = /3在0時(shí)刻的曲線上作一切線，可知該時(shí)刻的速度小于零，因此 = /3振動(dòng)方程為：y = cos(t/2 + /3)（2）波的表達(dá)式為：x/my/m1O-10.5u2/3（3）t = 1s時(shí)刻的波形方程為，波形曲線如圖所示59 在波的傳播路程上有A和B兩點(diǎn)，都做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，B點(diǎn)的位相比A點(diǎn)落后/6，已知A和B之間的距離為2.0cm，振動(dòng)周期為2.0s求波速u(mài)和波長(zhǎng)解答 設(shè)波動(dòng)方程為：，那么A和B兩點(diǎn)的振動(dòng)方程分別為：，兩點(diǎn)之間的位相差為：

57、，由于xB xA = 0.02m，所以波長(zhǎng)為： = 0.24(m)波速為：u = /T = 0.12(ms-1)510 一平面波在介質(zhì)中以速度u = 20ms-1沿x軸負(fù)方向傳播已知在傳播路徑上的某點(diǎn)A的振動(dòng)方程為y = 3cos4tx5mABCD8m9m圖5.10（1）如以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程；（2）如以距A點(diǎn)5m處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程；（3）寫(xiě)出傳播方向上B，C，D點(diǎn)的振動(dòng)方程解答（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動(dòng)方程為（2）以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動(dòng)方程為（3）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則xB = -5m、xC = -13m、xD = 9m，各點(diǎn)的振動(dòng)方程為，注意以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求出各

58、點(diǎn)坐標(biāo)，也能求出各點(diǎn)的振動(dòng)方程511 一彈性波在媒質(zhì)中傳播的速度u = 1103ms-1，振幅A = 1.010-4m，頻率= 103Hz若該媒質(zhì)的密度為800kgm-3，求：（1）該波的平均能流密度；（2）1分鐘內(nèi)垂直通過(guò)面積S = 410-4m2的總能量解答（1）質(zhì)點(diǎn)的圓頻率為： = 2v = 6.283103(rads-1)，波的平均能量密度為：= 158(Jm-3)，平均能流密度為：= 1.58105(Wm-2)（2）1分鐘內(nèi)垂直通過(guò)面積S = 410-4m2的總能量為：E = ItS = 3.79103(J)512 一平面簡(jiǎn)諧聲波在空氣中傳播，波速u(mài) = 340ms-1，頻率為500

59、Hz到達(dá)人耳時(shí)，振幅A = 110-4cm，試求人耳接收到聲波的平均能量密度和聲強(qiáng)？此時(shí)聲強(qiáng)相當(dāng)于多少分貝？已知空氣密度 = 1.29kgm-3解答質(zhì)點(diǎn)的圓頻率為： = 2v = 3.142103(rads-1)，聲波的平均能量密度為：= 6.3710-6(Jm-3)，平均能流密度為：= 2.1610-3(Wm-2)，標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)為：I0 = 110-12(Wm-2)，此聲強(qiáng)的分貝數(shù)為：= 93.4(dB)513 設(shè)空氣中聲速為330ms-1一列火車(chē)以30ms-1的速度行駛，機(jī)車(chē)上汽笛的頻率為600Hz一靜止的觀察者在機(jī)車(chē)的正前方和機(jī)車(chē)駛過(guò)其身后所聽(tīng)到的頻率分別是多少？如果觀察者以速度10ms-1

60、與這列火車(chē)相向運(yùn)動(dòng)，在上述兩個(gè)位置，他聽(tīng)到的聲音頻率分別是多少？解答取聲速的方向?yàn)檎?，多譜勒頻率公式可統(tǒng)一表示為，其中vS表示聲源的頻率，u表示聲速，uB表示觀察者的速度，uS表示聲源的速度，vB表示觀察者接收的頻率（1）當(dāng)觀察者靜止時(shí)，uB = 0，火車(chē)駛來(lái)時(shí)其速度方向與聲速方向相同，uS = 30ms-1，觀察者聽(tīng)到的頻率為= 660(Hz)火車(chē)駛?cè)r(shí)其速度方向與聲速方向相反，uS = -30ms-1，觀察者聽(tīng)到的頻率為= 550(Hz)（2）當(dāng)觀察者與火車(chē)靠近時(shí)，觀察者的速度方向與聲速相反，uB = -10ms-1；火車(chē)速度方向與聲速方向相同，uS = 30ms-1，觀察者聽(tīng)到的頻率為=