2022屆河南省名校聯(lián)盟高三5月大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 18 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁(yè)2022屆河南省名校聯(lián)盟高三5月大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】C【分析】解不等式求出，進(jìn)而求出并集.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)2+4i，則|z|（）A10B5CD【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解，根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】解：由題可知，故.故選：C.3設(shè)滿足約束條件則的最大值為（）A8B6C4D【答案】A【分析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，利用

2、幾何意義求出最大值.【詳解】作出可行域和目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，最大值為8.故選：A4已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則公比q（）AB2CD3【答案】D【分析】根據(jù)前項(xiàng)和定義把化為，則等比數(shù)列的定義得出的方程，解之可得【詳解】由，則，所以，即，解得q3或q1（舍去）故選：D5函數(shù)的圖象大致為（）ABCD【答案】C【分析】由奇偶性判斷A選項(xiàng)，再利用函數(shù)值的正負(fù)排除BD選項(xiàng).【詳解】由題意知的定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，排除A.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，排除B，D.故選：C.6函數(shù)的部分圖象如圖所示，則圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，再由正弦型函數(shù)的

3、對(duì)稱中心求解即可.【詳解】由圖可知，則，所以.由，得，所以.令，得，當(dāng)時(shí)，即圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為.故選：C7曲線在處的切線方程為（）A4xy+80B4x+y+80C3xy+60D3x+y+60【答案】B【分析】將代入曲線方程求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，利用直線方程點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以又?dāng)時(shí)，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為故選：B.8在長(zhǎng)方體中，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）ABCD【答案】A【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接，即可得到，是異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），再利用余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，.在長(zhǎng)方體

4、中，因?yàn)榍?，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，同理可得四邊形平行四邊形，所以，故是異面直線與所成的角（或補(bǔ)角）.設(shè)，則，故，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：A9拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)已知拋物線，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線E上的點(diǎn)B反射后，與拋物線E交于點(diǎn)C，若的面積是10，則()AB1CD2【答案】D【分析】根據(jù)ABx軸知B點(diǎn)縱坐標(biāo)為2p，代入拋物線方程可求B點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用B和F求出直線BC的方程，代入拋物線方程消去y可得根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)

5、公式可求BC長(zhǎng)度，利用點(diǎn)到直線距離公式可求A到直線BC的距離d，根據(jù)即可求出p【詳解】由題知拋物線焦點(diǎn)為，ABx軸，將y=2p代入得x=2p，則B為(2p，2p)，由題可知B、F、C三點(diǎn)共線，BC方程為：，即，代入拋物線方程消去y得，設(shè)方程兩根為，則，則，又到BC：的距離為：，由得故選：D10某校在高三第一次聯(lián)考成績(jī)公布之后，選取兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)作對(duì)比已知這兩個(gè)班的人數(shù)相等，數(shù)學(xué)成績(jī)均近似服從正態(tài)分布，如圖所示其中正態(tài)密度函數(shù)中的是正態(tài)分布的期望值，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，且，則以下結(jié)論正確的是（）A1班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)比2班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)要高B相對(duì)于2班，本次考試中1班不同層次學(xué)生的成績(jī)差距較大C

6、1班110分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的4.55%D2班114分以上的人數(shù)與1班110分以上的人數(shù)相等【答案】D【分析】根據(jù)題中正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可判斷A、B兩項(xiàng)，利用正態(tài)分布三區(qū)間計(jì)算C、D兩項(xiàng)的概率即可.【詳解】解：因?yàn)榈淖畲笾禐椋?班的數(shù)學(xué)成績(jī)，2班數(shù)學(xué)成績(jī)，所以1班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?00，2班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?02，A錯(cuò)誤；因?yàn)?班數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為5，2班數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為6，標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明成績(jī)分布越分散，差距越大，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)椋訡錯(cuò)誤；因?yàn)椋訢正確故選：D.11古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說過：“美的線型和其他一切美的形體都必須有對(duì)稱形式”在中華傳統(tǒng)文化里，建筑、器物、

7、書法、詩(shī)歌、對(duì)聯(lián)、繪畫幾乎無不講究對(duì)稱之美如圖所示的是清代詩(shī)人黃柏權(quán)的茶壺回文詩(shī)，其以連環(huán)詩(shī)的形式展現(xiàn)，20個(gè)字繞著茶壺成一圓環(huán)，無論順著讀還是逆著讀，皆成佳作數(shù)學(xué)與生活也有許多奇妙的聯(lián)系，如2020年02月02日（20200202）被稱為世界完全對(duì)稱日（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期）數(shù)學(xué)上把20200202這樣的對(duì)稱數(shù)叫回文數(shù)，若兩位數(shù)的回文數(shù)共有9個(gè)（11，22，99），則所有四位數(shù)的回文數(shù)中能被3整除的個(gè)數(shù)是（）A27B28C29D30【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)字之和為3的偶數(shù)倍數(shù)，然后分類直接列舉可得.【詳解】要能被3整除，則四個(gè)數(shù)的和是3的偶數(shù)倍數(shù)滿足條件的回文數(shù)分為以下幾類：

8、和為6的回文數(shù)：1221,2112，3003， 3個(gè)和為12的回文數(shù)：3333，2442，4224，1551，5115，6006， 6個(gè)和為18的回文數(shù)：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9個(gè)和為24的回文數(shù)：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7個(gè)和為30的回文數(shù)：7887，8778，6996，9669，4個(gè)和為36的回文數(shù)：9999，1個(gè)故共有3+6+9+7+4+130個(gè)故選：D12大衍數(shù)列來源于乾坤譜中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍

9、生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，其中一列數(shù)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，按此規(guī)律得到的數(shù)列記為，其前n項(xiàng)和為，給出以下結(jié)論：；182是數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，其中正確的序號(hào)是（）ABCD【答案】C【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列的具體值依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)分別為2，8，18，32，50，通過觀察可知，同理可得，所以,因?yàn)?，所以正確，錯(cuò)誤；由，解得，由，解得，又因?yàn)椋苑匠潭紵o正整數(shù)解，所以182不是中的項(xiàng)，故錯(cuò)誤當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，故正確故選：C.二、填空題13已知向量，若，則_【答案】或或【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量

10、垂直的數(shù)量積表示求解即可.【詳解】，解得或.故答案為：或.14二項(xiàng)式展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為_【答案】60【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于3，從而求得展開式中含項(xiàng)的系數(shù)【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得；展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：60【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算問題，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15已知四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB3，則當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其外接球的表面積為_【答案】【分析】根據(jù)題意可知側(cè)面底面ABCD，然后結(jié)合圖形由底面外接圓半徑、球心到底面的距離和球的半徑

11、滿足勾股定理可得.【詳解】依題意可知，當(dāng)側(cè)面底面ABCD時(shí)，四棱錐SABCD的體積最大設(shè)球心為O，半徑為R，正方形ABCD和外接圓的圓心分別為，正方形ABCD外接圓半徑為，則平面ABCD，平面SAB因?yàn)楹驼叫蜛BCD的邊長(zhǎng)均為3，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，所以，由勾股定理得，所以球O的表面積故答案為：16若是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為_.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義算出AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由ABF2是等邊三角形得F1AF2=120，利用余弦定理算出c=a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率

12、.【詳解】因?yàn)锳BF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點(diǎn)，B為雙曲線上一點(diǎn)，則 ，即，由，則，已知，在F1AF2中應(yīng)用余弦定理得：，得c2=7a2，則e27e故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率，常常不能經(jīng)過條件直接得到a，c的值，這時(shí)可將或視為一個(gè)整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 或的方程，從而得到離心率的值.三、解答題17在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，求ABC的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理對(duì)已知式子化簡(jiǎn)可求出角A；（2）利用余弦定理求出，從而可求出三角形的面積【詳解】(1)因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?/p>

13、所以.(2)因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ?，可得，即，解得或（舍去），故ABC的面積為.18相對(duì)于二維碼支付刷臉支付更加便利，以往出門一部手機(jī)解決所有，現(xiàn)在連手機(jī)都不需要了.畢竟手機(jī)支付還需要攜帶手機(jī)，打開“掃一掃”也需要手機(jī)信號(hào)和時(shí)間，從而刷臉支付可能將會(huì)替代手機(jī)支付，成為新的支付方式，現(xiàn)從某大型超市門口隨機(jī)抽取100名顧客進(jìn)行調(diào)查得到如下列聯(lián)表：男性女性總計(jì)刷臉支付2570非刷臉支付10總計(jì)100(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否使用刷臉支付與性別有關(guān)；(2)根據(jù)是否刷臉支付，按照分層抽樣的方法在女性中抽取9名，為進(jìn)一步了解情況再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取4人，求抽到刷臉支

14、付的女性人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中【答案】(1)表格見解析，有的把握認(rèn)為是否使用刷臉支付與性別有關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）先將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，計(jì)算出卡方值，和6.635比較即可判斷；（2）可得的可能取值為，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.【詳解】(1)列聯(lián)表補(bǔ)充為男性女性總計(jì)刷臉支付452570非刷臉支付102030總計(jì)5545100，所以有的把握認(rèn)為是否使用刷臉支付與性別有關(guān).(2)易知9人中刷臉支付的有5人，非刷臉支付的有4人.由題意可知，的可能取值為.，的分布列為01234.19如圖，在三棱柱中，平面ABC，D是BC的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)求直線

15、AC與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在平面內(nèi)作出的平行線即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角公式即可求得正弦值.【詳解】(1)證明：連接，交于O，連接OD.因?yàn)镺是的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D是的中位線，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?(2)因?yàn)槠矫鍭BC，可以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別x，y軸的正方向，平行于為軸，向上為正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.因?yàn)?，所以，故直線AC與平面所成角的正弦值為.20已知橢圓的離心率為為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，記直線

16、的斜率分別為，試問是否是定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)為定值【分析】（1）根據(jù)離心率與橢圓過的點(diǎn)，列出方程組，待定系數(shù)法求解橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，求出兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，計(jì)算，得到定值.【詳解】(1)設(shè)橢圓的焦距為，則，解得故橢圓的方程為.(2)由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線.聯(lián)立整理得，則.因?yàn)?，所以，則故為定值.21已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性(2)若a0，證明：對(duì)任意的x1，都有【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）分類討論的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)原不等式整理化簡(jiǎn)得到，將整體代換，并構(gòu)造函數(shù)

17、求解的取值范圍，通過整體代換，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，結(jié)合的取值范圍，即可證明.【詳解】(1)解：由題意可得當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明：由題得，時(shí)，對(duì)任意的，都有，即，等價(jià)于，即.設(shè)，則由，得；由，得則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立設(shè)，則由，得；由，得則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增因?yàn)?，所以有解，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即，即【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理22在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為.(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的一個(gè)參數(shù)方程；(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)，（為數(shù)）；(2).【分析】（1）利用消參可得曲線的直角坐標(biāo)方程，由直線的參數(shù)方程可得直線的參數(shù)方程；（2）利用直線參數(shù)方程代入中，由參數(shù)的幾何意義求出，解方程即可.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）消參可得：曲線的直角坐標(biāo)