高一數(shù)學(xué)算法初步知識(shí)點(diǎn)與題型總結(jié)

1、第十一章 算法初步與框圖一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)算法初步算法與程序框圖算法語(yǔ)句算法案例算法概念框圖的邏輯結(jié)構(gòu)輸入語(yǔ)句賦值語(yǔ)句循環(huán)語(yǔ)句條件語(yǔ)句輸出語(yǔ)句順序結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)第一節(jié) 算法與程序框圖知識(shí)回顧1算法的概念：算法通常是指按一定規(guī)則解決某一類(lèi)問(wèn)題的明確和有限的步驟2.程序框圖又稱(chēng)流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說(shuō)明來(lái)表示算法的圖形.3.程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)是順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)4.算法的描述方式有：自然語(yǔ)言、程序框圖、程序語(yǔ)言5.算法的基本特征：明確性：算法的每一步執(zhí)行什么是明確的；順序性：算法的“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù)；有限性：算法必須在有限步

2、內(nèi)完成任務(wù)，不能無(wú)限制的持續(xù)進(jìn)行；通用性：算法應(yīng)能解決某一類(lèi)問(wèn)題.典例精析例1.如圖所示是一個(gè)算法的程序框圖，則該程序框圖所表示的功能是 解析：首先要理解各程序框的含義,輸入a,b,c三個(gè)數(shù)之后,接著判斷a,b的大小,若b小，則把b賦給a,否則執(zhí)行下一步，即判斷a與c的大小，若c小，則把c賦給a, 否則執(zhí)行下一步，這樣輸出的a是a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值.所以該程序框圖所表示的功能是求a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值.評(píng)注: 求a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值的算法設(shè)計(jì)也可以用下面程序框圖來(lái)表示.例2.下列程序框圖表示的算法功能是（ ）（1）計(jì)算小于100的奇數(shù)的連乘積（2）計(jì)算從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的連乘積

3、（3）計(jì)算從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的連乘積，當(dāng)乘積大于100時(shí)，計(jì)算奇數(shù)的個(gè)數(shù)（4）計(jì)算成立時(shí)的最小值解析：為了正確地理解程序框圖表示的算法，可以將執(zhí)行過(guò)程分解，分析每一步執(zhí)行的結(jié)果.可以看出程序框圖中含有當(dāng)型的循環(huán)結(jié)構(gòu),故分析每一次循環(huán)的情況,列表如下:第一次:；第二次:；第三次:,此時(shí)不成立,輸出結(jié)果是7,程序框圖表示的算法功能是求使成立時(shí)的最小值.選D.評(píng)注:通過(guò)列表,我們能清楚了解程序的每一步中的各個(gè)變量是怎樣變化的,這正是程序運(yùn)行的本質(zhì)所在.本題若要求編寫(xiě)求使成立時(shí)的最小值的程序框圖或程序時(shí),很容易弄錯(cuò)輸出的結(jié)果，應(yīng)注意.例3.在音樂(lè)唱片超市里，每張唱片售價(jià)為25元，顧客如果購(gòu)買(mǎi)5張以上（

4、含5張）唱片，則按九折收費(fèi)，如果購(gòu)買(mǎi)10張以上（含10張）唱片，則按八折收費(fèi)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)算法步驟并畫(huà)出程序框圖，要求輸入張數(shù)x，輸出實(shí)際收費(fèi)y(元).分析:先寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式，有，再利用條件結(jié)構(gòu)畫(huà)程序框圖解：算法步驟如下:第一步，輸入購(gòu)買(mǎi)的張數(shù),第二步，判斷是否小于5，若是，計(jì)算；否則，判斷是否小于10，若是，計(jì)算；否則，計(jì)算.第三步，輸出. 程序框圖如下:評(píng)注:凡必須先根據(jù)條件做出判斷，然后再?zèng)Q定進(jìn)行哪一個(gè)步驟的問(wèn)題，在畫(huà)程序框圖時(shí)，必須引入判斷框，采用條件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)算法.如果變量分三級(jí)(或以上)時(shí),就需要用到條件結(jié)構(gòu)的嵌套,不能忽視結(jié)果中“是”、“否”的書(shū)寫(xiě)，否則不知道執(zhí)行哪一條路徑.一般

5、地,分段的分段函數(shù),需要引入個(gè)判斷框.條件結(jié)構(gòu)有以下兩種基本類(lèi)型.否是輸出X否例4.畫(huà)出求的值的程序框圖.分析:這是一個(gè)有規(guī)律的數(shù)列求和問(wèn)題,每次都進(jìn)行了相同的運(yùn)算,故應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行算法設(shè)計(jì).解:程序框圖如下:(1)當(dāng)型循環(huán)(2)直到型循環(huán)評(píng)注: (1) 解題關(guān)鍵是選擇好計(jì)數(shù)變量和累加變量的初始值,并寫(xiě)出用表示的數(shù)列的通項(xiàng)公式是 ；(2)循環(huán)結(jié)構(gòu)主要用在一些有規(guī)律的重復(fù)計(jì)算的算法中,如累加求和,累乘求積等問(wèn)題.在循環(huán)結(jié)構(gòu)中,要注意根據(jù)條件,設(shè)計(jì)合理的計(jì)數(shù)變量、累加(積)變量以及它們的初始值等,特別要注意循環(huán)結(jié)構(gòu)中條件的表述要恰當(dāng)、精確，以免出現(xiàn)多一次或少一次循環(huán).（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)分為兩類(lèi)：一類(lèi)

6、是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示；另一類(lèi)是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示. 變式訓(xùn)練畫(huà)出求的值的程序框圖.解：程序框圖如下:例5.某工廠2005年的生產(chǎn)總值為200萬(wàn)元，技術(shù)改進(jìn)后預(yù)計(jì)以后后每年的年生產(chǎn)總值都比上一年增長(zhǎng)5%.設(shè)計(jì)一個(gè)程序框圖，輸出預(yù)期年生產(chǎn)總值超過(guò)300萬(wàn)元的最早年份及2005年到此年份之前(不包此年份)的年生產(chǎn)總值的和.分析:本例可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn). (1) 確定“循環(huán)體”:設(shè)a為某年的年生產(chǎn)總值,n為年份,S為年產(chǎn)值的總和,則循環(huán)體為(2)初始化變量:n的初始值為2005,a的初始值為200,S的初始值為0.(3)設(shè)定循環(huán)控制條件:解: 程序框圖如下:評(píng)注:本問(wèn)題的關(guān)健是設(shè)計(jì)好

7、循環(huán)體,注意與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.本題若將放在之后,則輸出時(shí)須重新賦值，否則的值為超過(guò)300萬(wàn)的年份的下一年.本題也可用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)表示.變式訓(xùn)練：設(shè)計(jì)一個(gè)程序框圖，求使的最小的值，并輸出此時(shí)的值.解：程序框圖如下：基礎(chǔ)自測(cè)一、選擇題1下列說(shuō)法正確的是（ ）A算法就是某個(gè)問(wèn)題的解題過(guò)程；B算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果；C解決某一個(gè)具體問(wèn)題算法不同結(jié)果不同；D算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以很大，否則無(wú)法實(shí)施1解析：選項(xiàng)A ，算法不能等同于解法；選項(xiàng)B，例如：判斷一個(gè)正整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，結(jié)果為“是質(zhì)數(shù)”和“不是質(zhì)數(shù)”兩種；選項(xiàng)C，解決某一個(gè)具體問(wèn)題算法不同結(jié)果應(yīng)該相同，否則算法構(gòu)造的有問(wèn)題；選項(xiàng)D，算法可以

8、為很多次，但不可以無(wú)限次2、如圖所示的程序框圖中，則第3個(gè)輸出的數(shù)是( ) A1 B. C.2 D. 2.解析：前3個(gè)分別輸出的數(shù)是1，2.故選C.開(kāi)始結(jié)束是否輸出3如圖給出的是求的值的一個(gè)程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是 （ ）A.i10? B.i20? D.i10？選4.閱讀右邊的程序框圖，若輸入的是100，則輸出的變量和的值依次是（ ）A2550，2500B2550，2550C2500，2500D2500，25504.解析：依據(jù)框圖可得，.選A. 52006年1月份開(kāi)始實(shí)施的個(gè)人所得稅法規(guī)定：全月總收入不超過(guò)元的免征個(gè)人工資、薪金所得稅，超過(guò)元部分需征稅設(shè)全月總收入金額為元，前三級(jí)稅

9、率如下左表所示：級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅金額稅率1不超過(guò)元部分5%2超過(guò)至元部分10%3超過(guò)至元部分15%開(kāi)始結(jié)束輸入x輸出0輸出輸出0 x1600?1600 x2100?2100，等于=，小于=，小于等于=，不等于.常用函數(shù)：絕對(duì)值A(chǔ)BS，平方根SQR，取整INT.4.算法案例（1）輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)都是求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法.（1）輾轉(zhuǎn)相除法就是對(duì)于給定的兩個(gè)正整數(shù)，用大數(shù)除以小數(shù)，若余數(shù)不為0，則將小數(shù)和余數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，反復(fù)執(zhí)行此步驟，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)較小的數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).（2）更相減損術(shù)就是對(duì)于給定的兩個(gè)正整數(shù)，若它們

10、都是偶數(shù)，則將它們反復(fù)除以2(假設(shè)進(jìn)行了k次)，直到它們至少有一個(gè)不是偶數(shù)后，將大數(shù)減小數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成一對(duì)新數(shù)，繼續(xù)上面的減法，反復(fù)執(zhí)行此步驟，直到差和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的數(shù)再乘以原來(lái)約簡(jiǎn)的即為所求兩數(shù)的最大公約數(shù).（2）秦九韶算法秦九韶算法是求多項(xiàng)式值的優(yōu)秀算法.設(shè)，改寫(xiě)為如下形式：設(shè)這樣求n次多項(xiàng)式的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值.當(dāng)多項(xiàng)式中有些項(xiàng)不存在時(shí)，可將這幾項(xiàng)看做，補(bǔ)齊后再利用秦九韶算法進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式，只需做n次乘法和n次加法運(yùn)算即可.（3）進(jìn)位制K進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為k，k進(jìn)制數(shù)是由之間的數(shù)字構(gòu)成的.將十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)的方法是除k取余法.典例精析例

11、1寫(xiě)出用循環(huán)語(yǔ)句描述求的值的算法程序.解：算法程序如下：（1）當(dāng)型循環(huán)（2）直到型循環(huán) 評(píng)注: 在編寫(xiě)算法的程序時(shí)，可先畫(huà)出程序框圖，抓住程序框圖表示算法這個(gè)核心.注意分別用當(dāng)型循環(huán)和直到型循環(huán)語(yǔ)句編寫(xiě)的程序中，循環(huán)條件的區(qū)別與聯(lián)系. 例2、某市對(duì)排污水進(jìn)行綜合治理，征收污水處理費(fèi)，系統(tǒng)對(duì)各廠一個(gè)月內(nèi)排出的污水量噸收取的污水處理費(fèi)元，運(yùn)行程序如下所示：請(qǐng)寫(xiě)出y與m的函數(shù)關(guān)系，并求排放污水150噸的污水處理費(fèi)用.解： 這個(gè)程序反映的是一個(gè)分段函數(shù)因?yàn)樗裕试搹S應(yīng)繳納污水處理費(fèi)1400元.評(píng)注: 解決分段函數(shù)要用條件語(yǔ)句來(lái)處理.本題可畫(huà)出程序框圖幫助理解.例3求三個(gè)數(shù)72,120,168的最大公

12、約數(shù).解法1:用輾轉(zhuǎn)相除法先求120,168的最大公約數(shù),因?yàn)樗?20,168的最大公約數(shù)是24.再求72,24的最大公約數(shù),因?yàn)?所以72,24的最大公約數(shù)為24,即72,120,168的最大公約數(shù)為24.解法2:用更相減損術(shù)先求120,168的最大公約數(shù),168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24所以120,168的最大公約數(shù)為24.再求72,24的最大公約數(shù),72-24=48，48-24=2472,24的最大公約數(shù)為24,即72,120,168的最大公約數(shù)為24.評(píng)注: 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)均是求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法,要理解和掌握它們的操作步

13、驟.變式:試寫(xiě)出求正整數(shù)的最小公倍數(shù)的算法程序.解:或例4.用秦九韶算法求多項(xiàng)式在時(shí)的值.分析：先改寫(xiě)多項(xiàng)式，再由內(nèi)向外計(jì)算.評(píng)注: 用秦九韶算法求多項(xiàng)式值,關(guān)健是正確將多項(xiàng)式改寫(xiě),然后由內(nèi)向外計(jì)算求得.本題也可簡(jiǎn)寫(xiě)為下式：例5.完成下列進(jìn)制的轉(zhuǎn)化解: (2)用8反復(fù)去除101,直到商為0止,所得的余數(shù)(從末位讀起)就是十進(jìn)制數(shù)101的8進(jìn)制表示所以評(píng)注:將進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為進(jìn)制的數(shù)的方法是先將進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)，再將這個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為進(jìn)制的數(shù).變式訓(xùn)練：下面是把二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的一個(gè)程序框圖,判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是( )解: ,故判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件.選C.基礎(chǔ)自測(cè)一、選擇題1下列給出的賦值

14、語(yǔ)句中正確的是（ ）A B C D 1. 解析:賦值語(yǔ)句的功能.選 B 2 當(dāng)時(shí)，下面的程序輸出的結(jié)果是 ( )A B C D 2解析： . 選 C 3運(yùn)行下列程序：當(dāng)輸入56，42時(shí)，輸出的結(jié)果是56 42 84 143.解析:該程序的功能是用輾轉(zhuǎn)相除法求正整數(shù)的最大公約數(shù)，故選D4下邊程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為( ) A B C D 4.解析:.選 D 二、填空題5 三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是_ 5 解析:.填6.閱讀下列程序:當(dāng)程序輸入值為123時(shí),問(wèn)運(yùn)行的結(jié)果是_.6.解析:算術(shù)運(yùn)算符和MOD分別用取商和余數(shù).該程序的功能是把一個(gè)三位數(shù)各位上的數(shù)字顛倒過(guò)來(lái).所以運(yùn)行的結(jié)果是321.7已知n次多項(xiàng)式，如果在一種算法中，計(jì)算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，計(jì)算的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算的值共需要 次運(yùn)算.下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：（k0，