最小二乘法數(shù)據(jù)擬合

1、(5) /4最小二乘法數(shù)據(jù)擬合設(shè)給定數(shù)據(jù)(x,f),(i=1,2,m)ii在集合二Span，g中找一個函數(shù)01nS*(x)=a*(x),(n0是a,b上給定的權(quán)函數(shù)。上述求逼近函數(shù)S*(x)的方法就稱為曲線擬合的最小二乘法。滿足關(guān)系式(3)的函數(shù)S*(x)稱為上述最小二乘問題的最小二乘解。并且有結(jié)論：1)對于給定的函數(shù)表(x,f)，(i=1,2,m)，在函數(shù)類二Span,p，g中存ii01n在唯一的函數(shù)S*(x)=Xa*(x)，使得關(guān)系式(3)成立。kkk=02)最小二乘解的系數(shù)a0,a；,a；可以通過解法方程Y(申，申)a=(f，申)，(j=0,1,2，；)(4)kjkk=0作為曲線擬合的一

2、種常用的情況，如果討論的是代數(shù)多項式擬合，即取p,p，=1,x,x2,x;01n工x工x；aifNxiiii乙x2iiii乙x；+1ii0a1y乙xfiii工x；ii工x；+1ii工x2；iia；yx；fiii那么相應(yīng)的法方程(4)就是 /4其中，=（x），并且將簡寫成“工”。iii=1此時，S*（x）=a*Xk，稱它為數(shù)據(jù)擬合多項式，上述擬合稱為多項式擬合。kk=0例：已知某高度傳感器測得的數(shù)據(jù)如下表：表1序號i1234567時間xi（秒）1234678高度yi（米）2367532試用最小二乘法求多項式曲線與此數(shù)據(jù)組擬合。（一）算法：四次等，次數(shù)越高計算越復(fù)雜），解：取二次方多項式去擬合（當

3、然也可以取三次、y=f(x)=a+ax+ax2012由式（5）可建立法方程組（其中?。▁）=1）71i=1工xii=1工x2ii=17xii=17x2ii=17x3ii=1馬yi=1工xya0a1a2iii=1工x2yiii=1i7x2ii=17x3ii=17x4ii=1(6)由表1的數(shù)據(jù)可以計算出i1234567求和時間xi（秒）123467831高度yi（米）236753228x2yiii=1計算結(jié)果列在表2中i=17x4ii=1x，x2，x3iiii=1i=1y，xyiiii=1i=1X214916364964179X3i1827642163435121171X4i11681256129

4、6240140968147x.y.ii261828302116121x2y.ii21254112180147128635將表2中算得的結(jié)果代入法方程(6)，可得4a+10a+30a=-198001210a+30a+100a=-492601230a+100a+354a=-14762012解方程組可得：a二一5470va二344.81a二二82故所求擬合曲線為：y二f(x)=1.3185+3.4321x-0.3864x2(二)用MATLAB編程求解：多項式函數(shù)使用polyfit(x,y,n)，n為次數(shù)擬合曲線x=1,2,3,4,6,7,8;y=2,3,6,7,5,3,2;解：MATLAB程序如下：x=1,2,3,4,6,7,8;y=2,3,6,7,5,3,2;p=polyfit(x,y,2)x1=0:0.01:10;