數(shù)列的通項(xiàng)與求和

1、要點(diǎn)疑點(diǎn)考點(diǎn) 課 前 熱 身 能力思維方法 誤 解 分 析數(shù)列的求和1課 前 熱 身1.已知an的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+1，則|a1|+|a2|+|a10|=( ) (A)67 (B)65 (C)61 (D)56 2.一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 AC23.計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制進(jìn)行處理的，二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如(1101)2表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是123+122+021+120=13，那么將二進(jìn)制數(shù)(11111)2位轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是

2、( ) (A) 217-2 (B) 216-2 (C) 216-1 (D)215-1 16C返回3要點(diǎn)疑點(diǎn)考點(diǎn)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，重點(diǎn)應(yīng)掌握以下幾種方法： 1.倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法. 2.錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法. 3.分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，或把數(shù)列的項(xiàng)“集”在一塊重新組合，或把整個(gè)數(shù)列分成兩部分，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一求和方法稱為分組轉(zhuǎn)化法. 4.裂項(xiàng)

3、相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法. 45.公式法求和：若數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的多項(xiàng)式，或者是等差等比數(shù)列時(shí)，此時(shí)求和可采用公式法求和，常用的公式有：返回注：有時(shí)，一個(gè)數(shù)列求和的問(wèn)題可能用到的不只一種方法，應(yīng)靈活使用。5例1.求下列各數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn： (1) 14，25，36，n(n+3)(2) 公式法6分組求和法例2（1）數(shù)列 的前n項(xiàng)之和為Sn，求Sn的值（2）求和Sn=1-3+5-7+9-11+（-1）n-1(2n-1)練習(xí)：若數(shù)列an中，an=-2n-(-

4、1) n，求Sn . 【解題回顧】若構(gòu)成數(shù)列的項(xiàng)中含有(-1)n，則在求和Sn時(shí)，一般要考慮n是奇數(shù)還是偶數(shù). 7返回倒序相加法例5設(shè)解題回顧：當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)是滿足首尾等距離的兩項(xiàng)之各為一個(gè)常數(shù)時(shí)，就采用倒序相加法。8例4.求數(shù)列a，2a2，3a3，nan，(a為常數(shù))的前n項(xiàng)的和. 【解題回顧】若一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，則求此數(shù)列的前n項(xiàng)和多采用錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法9裂項(xiàng)相消法（2）求和10【解題回顧】我們可以推廣到一般情況：設(shè)an是公差為d的等差數(shù)列，則有特別地，以下等式都是式的具體應(yīng)用：；11【解題回顧】當(dāng)本題解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2

5、)n，下面要想到選乘法求Sn；同樣如得出Sn+1-Sn=f(n)，可用迭加法求Sn. 例6.已知數(shù)列an中的a1=1/2，前n項(xiàng)和為Sn若Sn=n2an，求Sn的表達(dá)式. 疊加、疊乘法12誤解分析2求數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，一定要數(shù)清項(xiàng)數(shù)，選好方法，否則易錯(cuò)1.求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，漏掉n=1時(shí)的驗(yàn)證是致命錯(cuò)誤. 返回13數(shù)列 應(yīng)用題1數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型（1）復(fù)利公式按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x期，則本利和y =a(1+r)x .（2）產(chǎn)值模型原來(lái)產(chǎn)值的基數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y = N (1 + p)x .（3）單利公式利用按單利計(jì)算，本金為a元

6、，每期利率為r，存期為x，則本利和y = a + arx .（4）遞推與猜證型遞推型有an+1 = f (an)與Sn+1 = f (Sn)或Sn = f (an)類，猜證型主要是寫(xiě)出前若干項(xiàng)，猜測(cè)結(jié)論， 14等差型數(shù)列應(yīng)用題講義P40例5 據(jù)估計(jì)，由于伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)的影響，伊拉克將產(chǎn)生100萬(wàn)難民，聯(lián)合國(guó)難民署計(jì)劃從4月1日起為伊難民運(yùn)送食品。第1天運(yùn)送1000噸，第2天運(yùn)送1100噸，以后每天都比前一天多運(yùn)送100噸，直到達(dá)到運(yùn)送食品的最大量，然后再每天減少100噸，總共運(yùn)送21300噸，連續(xù)運(yùn)送15天，求在第幾天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量？15等比數(shù)列應(yīng)用題講義P52例行(01年全國(guó)理)從社會(huì)效益

7、和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè). 根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加。()設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元. 寫(xiě)出an，bn的表達(dá)式()至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?16等差+等比數(shù)列應(yīng)用題綠色通道第二單單元測(cè)試題20假若某市2007年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房。預(yù)計(jì)今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%。另外，每年新建房中，中低價(jià)房的面積均

8、比上一年增加50萬(wàn)平方米，那么，到一年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以2007年為累計(jì)第一年）等于4750萬(wàn)平方米？17等比數(shù)列前N項(xiàng)和的應(yīng)用：分期付款例4某人年初向銀行貸款10萬(wàn)元用于購(gòu)房.（）如果他向建設(shè)銀行貸款，年利率為5%，且這筆款分10次等額歸還（不計(jì)復(fù)利），每年一次，并從借后次年年初開(kāi)始?xì)w還，問(wèn)每年應(yīng)付多少元？（）如果他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息），仍分10次等額歸還，每年一次，每年應(yīng)還多少元？18遞推數(shù)列應(yīng)用題類型講義P26頁(yè)例4某林區(qū)調(diào)整植樹(shù)計(jì)劃，第一年植樹(shù)增長(zhǎng)率為200%，以后每年的植樹(shù)增長(zhǎng)率都是前一年植樹(shù)增長(zhǎng)率的一半。（1）假設(shè)成活率為100%，經(jīng)過(guò)4年后，林區(qū)的樹(shù)林量是原有樹(shù)木量的多少倍？（2）如果每年都有5%的樹(shù)木死亡，那么經(jīng)過(guò)多少年后，林區(qū)的木量開(kāi)始減少？19解