自動控制原理：第四章 頻域響應(yīng)

1、第四章 頻域響應(yīng)4-1 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)設(shè)線性定常系統(tǒng)(圖4-1)的傳遞函數(shù)為G(s)X(s)Y(s)圖4-1 系統(tǒng)方框圖其輸入信號為 則輸入信號的拉氏變換是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)通?？梢詫懗捎纱说玫捷敵鲂盘柕睦献儞Q對上式進行拉氏反變換得到系統(tǒng)的輸出為對穩(wěn)定系統(tǒng),s1,s2,.sn都具有負實部，當時間t趨于無窮大時，上式的暫態(tài)分量將衰減至零。因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為其中待定系數(shù)b和 可按下式計算G(j)是一個復(fù)數(shù)，用模和幅角可表示為同樣，G(-j)可以表示為則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可化為或式中Y=|G(j)|X為穩(wěn)態(tài)輸出信號的幅值; 為穩(wěn)態(tài)輸出信號的相移。系統(tǒng)的頻率特性反映了在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

2、與輸入正弦信號的關(guān)系。 稱為系統(tǒng)的幅頻特性，反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號作用下，輸出穩(wěn)態(tài)幅值與輸入信號幅值的比值，即系統(tǒng)的放大（或衰減）特性。系統(tǒng)的頻率特性：其中： 稱為系統(tǒng)的相頻特性，反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號的作用下，輸出信號相對輸入信號的相移。 系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。二、實驗法 當系統(tǒng)已經(jīng)建立，尚不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)或傳遞函數(shù)時，在系統(tǒng)的輸入端輸入正弦信號X(t)= Xsint，測出不同頻率時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移，便可得到它的幅頻特性和相頻特性。獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑:一、解析法 當已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時，用s=j代入傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的頻率特性G(j)。 4-2

3、頻率特性的圖形表示 幅相頻率特性曲線 對數(shù)頻率特性曲線 4.2.1 幅相頻率特性曲線 幅相頻率特性曲線：簡稱幅相曲線，又稱極坐標圖，是以角頻率作自變量，把幅頻特性和相頻特性用一條曲線同時表示在復(fù)平面上。 注意： 幅頻特性是角頻率的偶函數(shù)，相頻特性是的奇函數(shù)，因此，角頻率從0變化到無窮大時的幅相曲線與從負無窮大變化到0的幅相曲線關(guān)于實軸對稱，通常，只畫出從0變至?xí)r的幅相曲線，并在曲線上用箭頭表示增大的方向。 只要的值取得足夠多，用解析的方法得到不同值時的幅值和相角，就可以在極坐標平面上畫出較精確的幅相頻率特性曲線。 （一） 放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)) 放大環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為（K為常數(shù)）對應(yīng)的頻率特性是幅

4、頻特性相頻特性0K圖5-2 放大環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)一、典型環(huán)節(jié)幅相曲線（二） 積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為對應(yīng)的頻率特性是幅頻特性相頻特性圖5-3 積分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)（三） 慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為對應(yīng)的頻率特性是幅頻特性相頻特性當 時， ， ；當 時， ， ；當由零至無窮大變化時，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在 平面上是正實軸下方的半個圓周，.010.5 圖5-4 慣性環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)當 時， ， ；證明：則有推廣：當慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時，即 時，其頻率特性是圓心為 ，半徑為 的實軸下方半個圓周。（四） 振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為對應(yīng)的頻率特性是幅頻特性相頻特性當 時， ， ；當 時

5、， ， ；當 時， ， ；圖5-5 振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均與阻尼比有關(guān)。當阻尼比較小時會產(chǎn)生諧振，諧振峰值Mr(Mr0)和諧振頻率r由幅頻特性的極值方程解出。其中 稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率，是振蕩環(huán)節(jié)頻率特性曲線與虛軸交點處的頻率。諧振峰值諧振相移振蕩環(huán)節(jié)的幅值特性曲線當 時，隨著的增加，幅值緩慢增大；當 時，幅值達到最大值 ；當 時，幅值迅速減小， 時的頻率 稱為截止頻率；頻率大于 后，輸出幅值衰減更快。 圖5-6 振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)推廣：當振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時，即 ，其對應(yīng)頻率特性 的起點 為 。（五） 一階微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為對

6、應(yīng)的頻率特性是幅頻特性相頻特性當 時， ， ；當 時， ， ；當 時， ， ；1 圖5-7 一階微分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)（六） 二階微分環(huán)節(jié) 二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為對應(yīng)的頻率特性是幅頻特性相頻特性當 時， ， ；當 時， ， ；當 時， ， ； 圖5-8 二階微分環(huán)節(jié)頻率特性圖（七） 不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié) 不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為對應(yīng)的頻率特性是幅頻特性相頻特性當 時， ， ；當 時， ， ；當 時， ， ；0ImRe圖59 不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的頻率特性0ImRe圖54 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性（八） 滯后環(huán)節(jié) 滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為對應(yīng)的頻率特性是幅頻特性相頻特性 圖5-10 滯后環(huán)節(jié)頻率特性圖二、系統(tǒng)的開環(huán)幅

7、相曲線 線性系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通?？蓪懗扇缦滦问剑航?系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為相頻特性 幅頻特性 起點終點與負虛軸交點解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為相頻特性 幅頻特性 起點終點 若在例41系統(tǒng)中增加一個積分環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)為1型系統(tǒng)其開環(huán)傳函為起點或終點存在無窮大，求漸近線起點起點存在無窮大，求漸近線將頻率特性寫成實部與虛部的形式實頻特性與實軸交點 令與實軸交點 令得解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為相頻特性 幅頻特性 起點終點 若在例41系統(tǒng)中再增加一個積分環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)為2型系統(tǒng)其開環(huán)傳函為起點或終點存在無窮大，求漸近線與實軸交點 令例4-2 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制概略的開環(huán)幅相曲線。解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性起點存在無窮

8、大，求漸近線，起始于負虛軸左側(cè)無窮遠處，起始于負虛軸右側(cè)無窮遠處，起始于負虛軸上側(cè)無窮遠處，求曲線與負實軸的交點，令當曲線與負實軸有交點 由于不等式方程組無解，故只有當幅相曲線從負虛軸左側(cè)無窮遠處起始時，才與負實軸有交點。 ，無解，故只有當幅相曲線從負虛軸左側(cè)無窮遠處起始時，才與負實軸有交點，開環(huán)幅相曲線如圖4-15所示。， 對于開環(huán)傳遞函數(shù)只含有左半平面的零點和極點的系統(tǒng)，其幅相曲線的起點和終點具有如下規(guī)律：起點： 系統(tǒng)不含有積分環(huán)節(jié)，曲線起始于正實軸上某點，該點距原點的距離值為開環(huán)增益 K； 系統(tǒng)含有v個積分環(huán)節(jié)，曲線起始于無窮遠處，相角為終點：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分母的階次總是大于或等于分子

9、的階次終點在原點，且以角度進入原點； 曲線終止于正實軸上某點，該點距原點的距離與各環(huán)節(jié)的時間常數(shù)及開環(huán)增益等參數(shù)有關(guān)。注：若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有右半平面極點或零點（不穩(wěn)定環(huán)節(jié)），則幅相曲線的起點和終點不具有以上規(guī)律。對于這樣的系統(tǒng)，尤其應(yīng)注意其相頻特性。在作圖時，應(yīng)根據(jù)相頻特性的表達式分析曲線的起點、終點位置以及相角的變化范圍等。 對數(shù)相頻特性：對數(shù)相頻特性曲線：橫坐標：表示頻率，按對數(shù)分度，單位rad/s；縱坐標：表示相頻特性函數(shù)值，按線性分度，單位是度。4.2.2 對數(shù)頻率特性曲線 一、伯德圖伯德（Bode）圖：又稱對數(shù)頻率特性曲線，包括對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線。對數(shù)幅頻特性：對

10、數(shù)幅頻特性曲線：橫坐標：表示頻率，按對數(shù)分度，單位rad/s；縱坐標：表示對數(shù)幅頻特性函數(shù)值，按線性分度，單位dB。伯德圖優(yōu)點：（1）將幅頻特性和相頻特性分別作圖，使系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的幅值和相角與頻率之間的關(guān)系更加清晰；（2）幅值用分貝數(shù)表示，可將串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘變?yōu)橄嗉舆\算，簡化了計算； （3）可以采用漸近線的方法，用直線段畫出近似的對數(shù)幅頻特性曲線，使作圖更為簡單方便；（4）橫軸（軸）用對數(shù)分度，擴展了低頻段，同時也兼顧了中、高頻段，有利于系統(tǒng)的分析與綜合。（5）對于最小相位系統(tǒng)，可以有對數(shù)幅頻特性曲線得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。二、典型環(huán)節(jié)的伯德圖（一）放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)） 放大環(huán)節(jié)的頻率特性：

11、幅頻特性： 對數(shù)幅頻特性：當K1時，20lgK0，位于橫軸上方；當K=1時，20lgK=0，與橫軸重合；當K1時，20lgK0，則F包圍F(s)平面坐標原點，且按順時針方向旋轉(zhuǎn)N周；若Nm：奈奎斯特曲線（奈氏曲線）：奈氏軌跡s 在GH平面上的映射GH。2.G(s)H(s)在S平面的虛軸上（包括原點）有極點虛軸上有開環(huán)極點時的奈氏軌跡s 奈氏軌跡不能經(jīng)過開環(huán)極點，GH必須避開虛軸上的所有開環(huán)極點。 圖5-44表示當有開環(huán)極點為零時的奈氏軌跡，其中（1）、（2） 和（3）的定義與前相同.（4） ， ，表明S沿以原點為圓心，半徑為無窮小的右半圓弧上逆時針變化（ ）。 這樣， s 既繞過了G(s)H(

12、s)原點上的極點，又包圍了整個右半S平面，如果在虛軸上還有其它極點，亦可采用同樣的方法，將s 繞過這些虛軸上的極點。虛軸上有開環(huán)極點時的奈氏軌跡s設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中v為無差度，即系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)個數(shù)（位于原點的開環(huán)點數(shù)）。s 的第（4）部分無窮小半圓弧在 GH平面上的映射為順時針旋轉(zhuǎn)的無窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)的弧度為v弧度。圖545（a）、（b）分別表示當 v=1和v=2時系統(tǒng)的奈氏曲線，其中的虛軸部分是s 的無窮小半圓弧在GH平面上的映射圖5-45 時的奈氏曲線 （二） 基于G(j)H(j)的奈氏判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，GH 平面上的開環(huán)頻率特性G(j)H(j) ,當

13、從-變化到 時，按逆時針方向包圍（1，j0）點P周。 當位于S平面右半部的開環(huán)極點數(shù)P=0時，即當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點均位于S平面左半部（包括原點和虛軸）時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏曲線GH不包圍GH平面的（1，j0)點。應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時，可能會遇到下列三種情況： 當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的全部極點都位于S平面左半部時（P=0），如果系統(tǒng)的奈氏曲線GH不包圍GH平面的(-1.j0)點（N=0），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P+N=0），否則是不穩(wěn)定的；當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有位于S平面右半部的極點時（P），如果系統(tǒng)的奈氏曲線GH逆時針包圍(-1.j

14、0)點的周數(shù)等于位于S平面右半部的開環(huán)極點數(shù)（N=-P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P+N=0），否則是不穩(wěn)定的；如果系統(tǒng)的奈氏曲線GH順時針包圍點(-1.j0) （N0），則無論是否有S平面右半部的開 環(huán)極點，閉環(huán)系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的（Z=P+N0）。 在有些情況下， GH 曲線恰好通過GH平面的(-1.j0)點（注意不是包圍），此時如果系統(tǒng)無位于S平面右半部的開環(huán)極點，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。五、奈氏判據(jù)應(yīng)用示例 例56 試用奈氏判據(jù)分析例51系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其對應(yīng)的頻率特性是 開環(huán)頻率特性的極坐標圖如圖524所示，當 由 變至 時系統(tǒng)的奈氏曲線如圖 546所示。由該系

15、統(tǒng)的兩個開環(huán)極點 和 均在S平面左半部，即S平面右半部的開環(huán)極點數(shù)P=0，由圖546可知，系統(tǒng)的奈氏曲線 不包圍 點（N=0），根據(jù)奈氏判據(jù)，位于S平面右半部的閉環(huán)極點數(shù) Z=P+N=0， 該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 上述結(jié)論可從圖 547所示的根軌圖得到證明， 從圖547可知，無論K為何值根軌跡都在S平面左半部，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。圖5-47 例5-6根軌跡圖圖5-46 例5-6奈氏曲線 例57 試用奈氏判據(jù)分析例53所給系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其對應(yīng)的頻率特性是 開環(huán)頻率特性的極坐標圖如圖548所示，當 變至. 時，系統(tǒng)的奈氏曲線如圖 548所示。由于系統(tǒng)含有一個積分環(huán)節(jié)（v=1）

16、，當 對應(yīng)奈氏曲線為順時針環(huán)繞坐標原點的無窮大半圓（圖548中虛線所示）。開環(huán)傳遞函數(shù)無右半S平面的極點，即P=0，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于奈氏曲線與負實軸的交點坐標值 的大小，當 時,奈氏曲線FGH順時針包圍 點兩周，即N=2（圖548（b），系統(tǒng)不穩(wěn)定；當 時， FGH不包圍 點，即N=0（圖548（a），系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖5-48 例5-7奈氏曲線 例58已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)分析當 時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解: 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性是其幅頻特性和相頻特性分別是當 時， , 當由0變至+時， 由變至0， 由-180o在第III象限內(nèi)變化為-180o，其對應(yīng)的奈氏曲線如圖5-50（a）

17、所示，圖中虛線表示的順時針旋轉(zhuǎn)的無窮大圓弧是開環(huán)零重極點在 GH 平面上的映射。由于奈氏曲線左端無窮遠處是開口的，它沒有包圍 點（N=0），系統(tǒng)無S平面右半部的開環(huán)極點（P=0），由奈氏判據(jù)知，當 時，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 （b） 當 時， ，系統(tǒng)的相頻特性 ，與角頻率無關(guān)，幅頻特性 ，當 由 變至 0 。 如圖5-50（b）所示，除無窮大圓弧外，奈氏曲線是穿過 v 點且與負實軸重合的，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 當 時，系統(tǒng)的根軌跡如圖5-51（b）所示。由于 兩條根軌跡位于S平面的虛軸上，系統(tǒng)是等幅振蕩的臨界穩(wěn)定 狀態(tài)。（c）當 時， ，當 由0變至 時， 由 變至0， 在第II象限內(nèi)變化后再次變?yōu)?/p>

18、-1800，其對應(yīng)的奈氏曲線如圖5-50（c)所示。由于奈氏曲線左端是封口的，它順時針包圍了(-1,j0)點兩周（N=2），由奈氏判據(jù)知，當 時，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當 時，系統(tǒng)的根軌跡如圖551（c）所示。由于有兩條根軌跡全部位于S平面右半部，無論K為何值，該系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。圖5-50 例5-8系統(tǒng)的奈氏曲線圖5-51 例5-8系統(tǒng)的根軌跡圖返回 5-5 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 一、相對穩(wěn)定性 在工程應(yīng)用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會引起系統(tǒng)參數(shù)的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使系統(tǒng)不能正常工作。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數(shù)時，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一

19、定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性問題。 圖5-52 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性二、穩(wěn)定裕度 通常用穩(wěn)定裕度來衡量系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，其中包括系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度相角裕度：是幅值穿越頻率對應(yīng)的相移 與1800角的差值，即 （一） 相角裕度剪切頻率(幅值穿越頻率):GH平面上的單位圓與系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的交點頻率,記為 ，它滿足最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度對于最小相位系統(tǒng)，如果相角裕度 ，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,且 值愈大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性愈好。如果相角裕度 ，系統(tǒng)則不穩(wěn)定。當 時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線穿過 點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度注意：注意：2. 相角裕度的含義是使系統(tǒng)達