2020屆高考數(shù)學新坐標一輪資料 第5章 第27課 正弦定理和余弦定理

1、第27課正弦定理和余弦定理最新考綱內容要求ABC正弦定理、余弦定理及其應用1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容abcsinAsinBsinC2R.(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsincosAbca；(2)abcsinAsinBsinC；cosB2ca(3)sinA2R，sinB2R，sinC2RcosCabc變形形式C；abc2222222bcc2a2b2；2ab(1)已知兩角和任一邊，求另一角和解決其他兩條邊；問題(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他

2、兩角2.三角形常用面積公式1(1)S2aha(ha表示邊a上的高)；111(2)S2absinC2acsinB2bcsinA.1(3)S2r(abc)(r為內切圓半徑)1(1)已知三邊求各角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在ABC中，若AB，則必有sinAsinB()(2)在ABC中，若b2c2a2，則ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，若A60，a43，b42，則B45或135.()aabc(4)在ABC中，sinAsinAsinBsinC.()解析(1)正確ABabsinAsinB.(2)錯誤由cos

3、Ab2c2a22bc0知，A為銳角，但ABC不一定是銳角三角形(3)錯誤由ba知，BA.(4)正確利用a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可知結論正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是_abc鈍角三角形由正弦定理，得2RsinA，2RsinB，2RsinC，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cosCa2b2c22ab0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形3(2016全國卷改編eqoac(,)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已2知a5，c2，cosA3，則b_.23由余弦定理得5b242b23，1

4、解得b3或b3(舍去)eqoac(,4)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A6，a1，2b3，則B_.2ab323或3由正弦定理sinAsinB，代入可求得sinB2，故B3或B3.eqoac(,5)在ABC中，A60，AC4，BC2eqoac(,3)，則ABC的面積等于_b2c2a2c2161223由題意及余弦定理得cosA12bc24c2，解得c2，11所以S2bcsinA242sin6023.bsinBAC所以cosB1sin2B1利用正、余弦定理解三角形3在ABC中，BAC4，AB6，AC32，點D在BC邊上，ADBD，求AD的長.【導學號：62172148】解設A

5、BC的內角BAC，B，C所對邊的長分別是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC3(32)2622326cos41836(36)90，所以a310.310a310又由正弦定理得sinB10，由題設知0B4，31011010.在ABD中，因為ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得3AD2sinBcosBcosB10.a2c2b2ABsinB6sinB3sin2B規(guī)律方法1.正弦定理是一個連比等式，只要知道其比值或等量關系就可以運用正弦定理通過約分達到解決問題的目的2(1)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用(2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它

6、邊角的問題時，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應用變式訓練1(1)已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊，且(bc)(sinBsinC)(a3c)sinA，則角B的大小為_(2)(2016全國卷eqoac(,)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA455，cosC13，a1，則b_.21abc(1)30(2)13(1)由正弦定理sinAsinBsinC及(bc)(sinBsinC)(a3c)sinA得(bc)(bc)(a3c)a，即b2c2a23ac，a2c2b2332acac.又cosB，cosB2，B30.45(2)

7、在ABC中，cosA5，cosC13，31235sinA5，sinC13，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC5134126351365.abasinB又sinAsinB，bsinA6316532113.5判斷三角形的形狀4(1)在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，滿足acosAbcoseqoac(,B)，則ABC的形狀為_1(2)(2017鎮(zhèn)江期中eqoac(,)在ABC中，若cosA2，sinBsinC2sineqoac(,A)，則ABC的形狀為_(1)等腰三角形或直角三角形(2)等邊三角形(1)acosAbcosB，由正弦定理得sinAcosAsinBcos

8、B，即sin2Asin2B，2A2B或2A2B，即A2B或ABeqoac(,)，ABC為等腰三角形或直角三角形(2)sinBsinC2sinA，bc2a，1又cosA2，b2c2a212bc2，b2c2a2bc，又bc2a，則(bc)2a23bc3a2，bca2bc2，(bc)20，即bc，2bceqoac(,a)，ABC為等邊三角形規(guī)律方法1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁2無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能B變式訓練2(1)設角A，C

9、是ABC的三個內角，則“ABC”是“ABC是鈍角三角形”的_條件5bc(2)設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，若2sinAcosBsinC，那么ABC一定是_三角形.【導學號：62172148】(1)充分不必要(2)等腰(1)由ABC，AB2，故三角形ABC為鈍角三角形，反之不成立(2)法一：由已知得2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sin(AB)0，因為AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acosBc，再由余弦定理得2ab2ab.a2c2b22acca2與三角形面積有關的問題已知a，b，c分別為ABC內角A，B，C的對邊，sin2B2sinA

10、sinC.(1)若ab，求cosB；(2)設B90，且aeqoac(,2)，求ABC的面積解(1)由題設及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cosBa2c2b212ac4.(2)由(1)知b22ac.因為B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，進而可得ca2.1所以ABC的面積為2221.規(guī)律方法三角形面積公式的應用方法：111(1)對于面積公式S2absinC2acsinB2bcsinA，一般是已知哪一個角就6使用哪一個公式(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化變式訓練3(2016全國卷eqoac(,)ABC的內角A，

11、B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c.(1)求C；3(2)若ceqoac(,7)，ABC的面積為2eqoac(,3)，求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，即2cosCsin(AB)sinC，故2sinCcosCsinC.1可得cosC2，所以C3.133(2)由已知得2absinC2.又C3，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcosC7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為57.7思想與方法ABC1在解三角形時，應熟練運用內角和定理：ABC，2222中互補和互余的情況，結合

12、誘導公式可以減少角的種數(shù)2判定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉換eqoac(,3)在ABC中，ABabsinAsinB.易錯與防范1已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理求其它邊或角可能有一解、兩解、無解8在ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為鈍角A為銳角或直角圖形bsinA關系式absinAababab解的一解兩解一解一解個數(shù)2.在判定三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，以免漏解課時分層訓練(二十七)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、填空題eqoac(,1)在ABC中，a15，b10，A60，則cosB_.615

13、10333由正弦定理可得sinB，所以sinB3，再由ba，可得B為銳2角，所以cosB1sin2B63.2(2016天津高考改編eqoac(,)在ABC中，若AB13，BC3，C120，則AC_.1由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosC，即13AC292AC3cos120，化簡得AC23AC40，解得AC1或AC4舍去eqoac(,3)在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2b2c2ab9eqoac(,3)，則ABC的面積為_a2b2c2131依題意得cosC2ab42，C60，因此ABC的面積等于2absin133C2324.4在ABC中，已知b40，c20，C6

14、0，則此三角形的解的情況是_(填“一解”“二解”“不存在”)不存在bsinc40sin60203，c20，bsincc，ABC不存在15(2016全國卷改編eqoac(,)在ABC中，B4，BC邊上的高等于3BC，則sinA_.310a10過A作ADBC于D，設BCa，由已知得AD3.B4，AD33a2a2BD，BDAD3，DC3a，ACa2253eqoac(,a)，在ABC中，由正弦定理得sin45，6若acos(A)bsin2B0，內角A，B的對邊分別為a，b，則三角等腰三角形或直角三角形因為acos(A)bsin2B0，5a3asinBAC310sinBAC10.形ABC的形狀為_所以a

15、cosAbcosB0，所以sinAcosAsinBcosB0，所以sin2A10sin2B，所以AB或AB2，所以三角形ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形eqoac(,7)已知ABC中，AB3，BC1，sinC3cosC，則ABC的面積為_.【導學號：62172149】32由sinC3cosC得tanC30，所以C3.BCAB13根據(jù)正弦定理可得sinAsinC，即sinA32，4x29x216x221所以sinA2.因為ABBC，所以AC，所以A6，所以B2，即三角形為直角三角形，13故eqoac(,S)ABC2312.8(2017鎮(zhèn)江期中eqoac(,)在ABC中，如果sinAsinBs

16、inC234，那么tanC_.15sinAsinBsinCabc，abc234，設a2x，則b3x，c4x，122x3xcosC4.又c(0，)，sinc154，sinCtanCcosC15.339(2017鹽城模擬eqoac(,)在銳角ABC中，AB2，BCeqoac(,3)，ABC的面積為2，則AC的長為_112cc11337eqoac(,S)ABC2ABBCsinB223sinB2，3sinB2.1又ABC為銳角三角形，故cosB2.在ABC中，由余弦定理得1AC249223cosB131227.AC7.10(2017蘇州期中eqoac(,)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c

17、，若1tanA2tanB，a2b23c，則c_.sinA2sinB1tanA2tanB，cosAcosB，acosB2bcosA，a2c2b2b2c2a2，3a23b2c2，1又a2b23c，c2c0，即c1，或c0(舍去)二、解答題11(2017南通一模eqoac(,)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(abc)(abc)ab.(1)求角C的大?。?2)若c2acosB，b2，求ABC的面積.【導學號：62172150】a2b2c2解(1)在ABC中，由(abc)(abc)ab，得1212ab2，即cos2ac，1C2.2因為0C，所以C3.(2)法一：因為c2acosB，由

18、正弦定理，得sinC2sinAcosB，因為ABC，所以sinCsin(AB)，所以sin(AB)2sinAcosB，即sinAcosBcosAsinB0，即sin(AB)0，又3AB3，所以AB0，即AB，所以ab2.112所以ABC的面積為eqoac(,S)ABC2absinC222sin33.a2c2b2法二：由c2acosB及余弦定理，得c2a化簡得ab，112所以，ABC的面積為eqoac(,S)ABC2absinC222sin33.12(2016蘇北四市期末)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為31a，b，c，已知sinA5，tan(AB)2.(1)求tanB的值；(2)

19、若b5，求c.【導學號：62172151】解(1)在銳角三角形ABC中，由sinA3，得cosAsinA3所以tanAcosA4.541sin2A5，tanAtanB2，得tanB2.由tan(AB)1tanAtanB113因為2S(ab)2c2a2b2c22ab，則結合面積公式與余弦定255(2)在銳角三角形ABC中，由tanB2，得sinB5，cosB5，115所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB25，bcbsinC11由正弦定理sinBsinC，得csinB2.B組能力提升(建議用時：15分鐘)eqoac(,1)在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A

20、BC的面積為S，且2S(ab)2c2，則tanC_.43理，得absinC2abcosC2ab，即sinC2cosC2，所以(sinC2cosC)24，sin2C4sinCcosC4cos2C4，sin2Ccos2Ctan2C4tanC4所以4，tan2C14解得tanC3或tanC0(舍去)2在ABC中，tan_AB122sinC，若AB1，則2ACBC的最大值為213AB因為tan22sinC，22ABsin所以2sinC，ABcos14ABAB2sin2cos2AB2cos222sinC，1cosC2sinC.3sin3A3sinAc，且滿足2cosC.sinAB1cosAB2sinC.因為ABC，所以ABC，所以sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，所以sinC13又sin