數(shù)理方程定解問題課件

1、數(shù) 學(xué) 物 理 方 程主講：周瀾 郵箱 : 答疑：周三上午11：3013：00，教2-103南京郵電大學(xué) 、 理學(xué)院、應(yīng)用物理系Equations of Mathematical Physics數(shù)理方程這門學(xué)科的由來: 20世紀(jì)，物理學(xué)的基本概念和技術(shù)已經(jīng)被應(yīng)用到自然科學(xué)所有領(lǐng)域?，F(xiàn)在，物理學(xué)的原理、方法不僅在天文、地理學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用，而且在生命科學(xué)、環(huán)境科學(xué)、化學(xué)化工、信息科學(xué)等領(lǐng)域也出現(xiàn)了很大程度上的交叉互融。物理學(xué)已經(jīng)成為自然科學(xué)發(fā)展的重要基石。 隨著科學(xué)的發(fā)展，對物理學(xué)提出了更高的要求。對于物理場及相關(guān)物理量的描述，引進(jìn)了數(shù)學(xué)中的偏微分方程。對于原子描述，引進(jìn)了球函數(shù)的概念，對于半

2、導(dǎo)體器件的開發(fā)，引進(jìn)了粒子“擴散和輸運”的概念，很多數(shù)學(xué)理論和方法在物理科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域都找到了歸宿，數(shù)學(xué)與物理的親緣關(guān)系越來越明顯。數(shù)學(xué)物理方法就這樣應(yīng)運而生了。線性微分積分方程 線性積分方程波動方程 (雙曲型偏微分方程) 恒定場方程(橢圓型偏微分方程)輸運方程 (拋物型偏微分方程)非線性方程 線性方程 數(shù)理方程數(shù)理方程分類 物理的實踐驗證觀點經(jīng)常被數(shù)學(xué)所運用。同理， 數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)推理和周密分析方法也應(yīng)為物理所借鑒線性偏微分方程 課程的內(nèi)容三種方程、 四種求解方法、 一個特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動方程、熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù) 數(shù)學(xué)物理方程定義描述某種物理現(xiàn)

3、象的數(shù)學(xué)微分方程。Refrences：1.數(shù)學(xué)物理方法(第三版)，梁昆淼 編2.矢量分析與場論(第三版)，謝樹藝3.數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法與可視化 彭芳麟4.微分方程5.高等數(shù)學(xué)1.1、概述共性：數(shù)理方程是把物理規(guī)律用數(shù)學(xué)語言描述出來，也就是研究某個物理量在空間的分布規(guī)律和隨時間變化的規(guī)律。簡單地說，就是用數(shù)學(xué)物理方程表達(dá)物理規(guī)律。這種物理規(guī)律反映的是同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，也就是所謂的共性。 個性：但同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又具有特殊性，也就是所謂的個性。例：半導(dǎo)體擴散工藝有兩種工藝，一種是“恒定表面濃度擴散”；另一種是 “限定源擴散”泛定方程：在數(shù)學(xué)上同一類物理現(xiàn)象的共性稱

4、為泛定方程。 初始條件：為了求解物理量隨時間的變化問題，還要考慮研究對象的特定歷史，也就是早先某個所謂的初始狀態(tài)，也即初始條件。定解問題：邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，也即個性。在數(shù)學(xué)上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件。把在給定的定解條件下求解數(shù)學(xué)物理方程稱為數(shù)學(xué)物理定解問題或簡稱為定解問題。邊界條件：為了求解具體的物理問題，還要研究物理量受周圍環(huán)境的影響，而周圍環(huán)境影響總是通過邊界才傳給研究對象的，因此周圍環(huán)境的影響體現(xiàn)于邊界所處的物理狀況，這就是邊界條件。1.2、數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程是把物理規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來（物理問題的數(shù)學(xué)建模）(1) 首先確定所研究的

5、物理量(2) 根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相鄰部分的相互作用(抓住主要影響，忽略次要影響)，這種相互作用在一個短時間段里如何影響物理量(3) 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出這種相互影響，經(jīng)簡化整理就得到數(shù)學(xué)物理方程。數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟為：一、波動方程(弦振動方程)問題1：均勻弦的微小橫振動 設(shè)有一條均勻柔軟的細(xì)弦，長為l，平衡位置與x軸的正半軸重合，且一端與原點重合, 當(dāng)弦受垂直與x軸的外力作用后，在平衡位置附近作微小橫振動。x1x2T(x1) T(x2)ux研究對象：弦線上某點在 t 時刻沿縱向的位移。簡化假設(shè)：(2)橫向振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線

6、方向。弦振動的相關(guān)模擬10弦振動的相關(guān)模擬弦振動的相關(guān)模擬弦振動的相關(guān)模擬建立方程： 取微元 MM ，研究在水平方向和鉛垂方向 MM 在不受外力的情況下的運動情況。牛頓運動定律：橫向：縱向：故：橫向：微小振動假設(shè)，可知在振動過程中弦上M點與M 點處切線的傾角都很小，即 ，從而由縱向：小弧段在t時刻沿u方向的加速度近似為 ， 則由牛頓第二定律，有又因為當(dāng) 時，有帶入原方程中得：其中：一維波動方程令：-非齊次方程自由項-齊次方程忽略重力作用：如果在振動過程中，弦上還另受到一個與弦的振動方向平行的外力，且假定在時刻t弦上x點處的外力密度為F（x，t），重復(fù)上面的推導(dǎo)，可得有外力作用時弦的振動方程其中

7、 表示t時刻單位質(zhì)量的弦在x點所受的外力。 波動方程一維形式二維形式三維形式問題2：傳輸線方程 對于直流電或低頻的交流電，基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中電流相等。但對于較高頻率的（指頻率還沒有高到能顯著地輻射電磁波的情況），電路中的導(dǎo)線的自感和電容的效應(yīng)不可忽略，因而同一支路中電流未必相等。 R: 每一回路單位的串聯(lián)電阻；L: 每一回路單位的串聯(lián)電感；C: 每單位長度的分路電容；G: 每單位長度的分路電導(dǎo)。根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長度為 的傳輸線中，電壓降應(yīng)等于導(dǎo)線電阻 上的電壓降和兩線之間電感 上的感生電動勢之和：另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點的電

8、流，即由此可得合并（1）、（2）式可得：從這個方程組消去v (或i), 即可得到i (或v)所滿足的方程。i 滿足的微分方程：v 滿足的微分方程：方程（3）（4）稱為傳輸線方程.課后作業(yè)，推導(dǎo)傳輸線方程在高頻傳輸?shù)那闆r下，電導(dǎo)與電阻所產(chǎn)生的效應(yīng)可以忽略不計，也就是說可令 G=R=0 , 此時方程（3 ）與（4）可簡化為：這兩個方程稱為高頻傳輸線方程。若令 ， 這兩個方程與一維波動方程完全相同。由此可見，同一個方程可以用來描述不同的物理現(xiàn)象。一維波動方程只是波動方程中最簡單的情況，在流體力學(xué)、聲學(xué)及電磁場理論中，還要研究高維的波動方程。問題3：電磁波波動方程Maxwell Equations結(jié)構(gòu)

9、方程磁場的三維波動方程電場的三維波動方程二、輸運方程熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有 熱量從高溫處流向低溫處。所要研究的物理量：溫度 在物體中任取一個閉曲面S,它所包圍的區(qū)域記作V。假設(shè)在時刻t區(qū)域V內(nèi)點 處的溫度為 , 為曲面元素 的外法向 。熱場根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉試驗定律在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為 高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分） 流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化 熱場溫度發(fā)生變化需要的熱量為：熱傳導(dǎo)方程如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導(dǎo)方程二維熱傳導(dǎo)方程 維熱傳導(dǎo)方程 三維熱傳導(dǎo)方程

10、當(dāng)我們考察氣體的擴散,液體的滲透, 半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴散等物理過程時, 若用 u 表示所擴散物質(zhì)的濃度, 則濃度所滿足的方程形式和熱傳導(dǎo)方程完全相同. 所以熱傳導(dǎo)方程也叫擴散方程.三、恒定場方程所謂的恒定場就是場量不隨時間變化，而只與空間變量有關(guān)系(U(x,y,z)。 問題1：靜電場靜電場表明電場強度與時間無關(guān)，那么麥克斯韋方程組泊松方程 拉普拉斯方程 泊松方程 拉普拉斯方程 根據(jù)靜電場中電場E與電位u的關(guān)系：根據(jù)矢量運算：三類基本方程在直角坐標(biāo)系中的表示一、 波動方程二、熱傳導(dǎo)方程三、拉普拉斯方程1.3、定解條件定解條件初始條件邊界條件銜接條件1、初始條件：說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條

11、件。 對輸運方程(擴散、熱傳導(dǎo))，初始狀態(tài)是指所研究的物理量 的初始分布(比如初始濃度分布、初始溫度分布)，因此初始條件為： 對波動方程(弦、桿、傳輸線和電磁波)，不僅需要給出初始“位移”，還要給出初始“速度”。 邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。 不同類型的方程，相應(yīng)初值條件的個數(shù)不同。 初始條件給出的應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非 系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài)。例： 一根長為 ，兩端固定的弦，用手把中點拉開，然后任其振動，如圖所示。此時初始條件就是放手的那個瞬間弦的位移和速度。初始速度和初始位移分別為:0=xlx=2lx=hxu注意：泊松方程和拉普拉斯方程不含初始條件，只含

12、邊界條件條件！2、邊界條件邊界條件：研究具體的物理系統(tǒng)，還要考慮研究對象所處的特定“環(huán)境”，而周圍 環(huán)境的影響常體現(xiàn)為邊界上的物理狀況。（可分為三類）：第一類邊界條件(Dirichlet 問題）：直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值 (2) 細(xì)桿導(dǎo)熱問題邊界條件：桿的一端點 的溫度 按已知的規(guī)律 變化，則該 端點的邊界條件為 ：(1) 弦振動問題的邊界條件：弦的兩端和則邊界條件分別為：固定(3) 恒定表面濃度擴散問題：硅片邊界就是其表面 ，邊界上的物理狀況為和 第二類邊界條件（Neumann問題）: 規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值 縱振動的桿問題：桿的某個端點 受有沿端

13、點外法線方向的外力 根據(jù)胡 克定律，該端點的張應(yīng)力與外力的關(guān)系為 : (2) 細(xì)桿導(dǎo)熱問題：若桿的某個端點 有熱流 沿該端點外法線方向流出，根據(jù)熱傳導(dǎo)定律，則邊界條件為： 若熱流f(t)是流入，則邊界條件為: 若端點絕熱，則 ：第三類邊界條件：規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上 的數(shù)值。H為常系數(shù)。 (1) 細(xì)桿導(dǎo)熱問題： 桿的某端點 自由冷卻，即桿端和周圍溫度按照牛頓冷卻定律交換熱量，單位時間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量 跟物體表面和外面的溫差 成正比。端，外法向n就是x方向，而在 端，外法向n 就是-x方向，則自由冷卻條件分別表示為： H為桿端與周圍介質(zhì)的

14、熱交換系數(shù),對桿的兩端都是自由冷卻，那么在 初始條件和邊界條件統(tǒng)稱為定解條件。把某個偏微分方程和相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個定解問題。(1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。定解問題的適定性 :解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件微小變動時，解是否有相應(yīng)的微小變動。3、定解問題泛定方程+定解條件定解問題長為 的細(xì)弦兩端固定，開始時在 處受到?jīng)_量 的作用 定解問題的適定性：解的存在性、解的唯一性和解的穩(wěn)定性；若 一個定解

15、問題存在唯一且穩(wěn)定的解，則此問題稱為適定的。 例1：試給出一個由下列定解問題描述的物理模型：(a) (第一類邊界條件) (b)因為當(dāng)沿桿長方向有熱量流動時由Fourier熱傳導(dǎo)定律（即熱流強度 ）有 （c）顯然，此時有可看為第三類邊界條件 例2、考慮長為 的均勻桿的導(dǎo)熱問題，寫出以下三種情況下的邊界條件 （a）桿的兩端溫度保持零度； （b）桿的兩端均絕熱；(c) 桿的一端為恒溫零度，另一端絕熱；解：設(shè)桿的溫度為 例3、試給出一個由下列定解問題描述的物理模型：(4) 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程；(5) 按自由項是否為零分為齊次方程和非齊次方程3、微分方程一般分類 (1) 按自變量的個數(shù)，分為二元和多元方程；(2) 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪次，分為線性微分方程(均為一次)和 非線性微分方程（超過一次）；(3) 按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階 和高階微分方程；22-Aug-22461.4、數(shù)學(xué)物理方程的分類 1、線性二階偏微分方程模型的一般形式 多自變量的線性二階偏微分方程表示為: 該方程為齊次的該方程為非齊次的兩個自變量二階線性偏微分方程的一般形式其