球盒模型的概率問題

1、v1.0可編輯可修改11組合數(shù)學班級：XXXX姓名：XXXX學號：XXXXv1.0可編輯可修改11目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 班級：XXXX1. HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 姓名：XXXX1 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 學號：XXXX1.摘要1.關(guān)鍵詞：1. HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1緒論1.問題的提出1.研究現(xiàn)狀2.研究的目的和研究的內(nèi)容

2、3.本文主要內(nèi)容 4. HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 2預(yù)備知識4.組合知識5.概率知識7.球盒模型9. HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 3球盒模型基本結(jié)論 1.1 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 4本文研究1.3n個不同的球放入 m個不同的盒子的情況 1.4n個不同的球放入 m個全部相同的盒子的情況 15n個全部相同的球放入 m個不同的盒子的情況 16n個全部相同的球放入 m個全部相同的盒子的情況 2 0 HYPERLINK l boo

3、kmark86 o Current Document 5結(jié)論與展望21.論文總結(jié)21問題與展望22獻22v1.0可編輯可修改 球盒模型的概率問題摘要：利用球盒模型來研究組合恒等式，目的是尋找和證明組合恒等式，用不同的方法計算此類問題，得到不同的等式，即組合恒等式，主要內(nèi)容如下：球盒模型是指n個球隨機放入 m個盒子的數(shù)學模型。盡管看上去這僅僅是一 個普通的組合或概率問題，但里面包含著許多組合工具，如發(fā)生函數(shù)、整數(shù)分拆、 Stirling 數(shù)等。選擇這個問題討論對象（或情況不同），會產(chǎn)生許多有趣的組合結(jié)論（主要是組合恒等式），實際上包括一個組合恒等式的組合解釋。因為一個等式 的新的組合解釋具有很高

4、的理論與實際應(yīng)用價值，以本文就是由不同的方法，把 組合數(shù)學的知識與概率知識相結(jié)合得到不同的組合恒等式作為創(chuàng)新點。關(guān)鍵詞：組合恒等式；發(fā)生函數(shù)；整數(shù)分拆；Stirling 數(shù)；概率1緒論問題的提出組合數(shù)學是研究任意一組離散性事物按照一定規(guī)則安排或配置的數(shù)學.特別是當指定的規(guī)則較簡單時，計算一切可能的安排或配置的方法數(shù)，就成為它研究的主要問題.現(xiàn) 代組合數(shù)學有兩個主要特點：其一，它大量應(yīng)用了抽象代數(shù)學工具和矩陣工具促使問題 的提法和處理方法表現(xiàn)出極大的普遍性；其二，為了適應(yīng)計算機科學的發(fā)展，它很注重對 方法的能行性和程序化問題進行研究.組合數(shù)學最早是同數(shù)論和概率論交叉在一起的.概率方法是解決離散數(shù)

5、學尤其是組 合數(shù)學中許多問題的強有力工具。該方法在組合數(shù)學中應(yīng)用大致分為兩類：一類是非構(gòu)造性的概率方法，該類方法從本質(zhì)上 講，是一種粗糙的計數(shù)論證方法，常被用來斷定具有某種特性的組合對象的存在 性；一類是構(gòu)造性的概率方法，該方法是用概率的語言描述一些組合對象，然后借 助概率論中的方法與技巧解決組合分析的問題。非構(gòu)造性概率方法就是用基本概率方法、期望的線性法在一些組合問題中的應(yīng)用，如何用它們來證明一些命題和定理。構(gòu)造性概率方法，即一些常見組合變量（以后統(tǒng)稱組合數(shù)為組合變量）的概率表示，諸如Stirling 數(shù)、Bell數(shù)、調(diào)和數(shù)、Fibonacci數(shù)、錯排數(shù)都可以表示為一些隨機變量的 矩，這些概

6、率表示可以用來研究組合和式的計算與恒等式的證明。本文主要研究了概率 方法在一些重要組合數(shù)中的應(yīng)用。組合數(shù)學是一門即古老又新穎的數(shù)學分支。它屬于離散數(shù)學范疇，主要是研究一組 離散性對象的關(guān)系，按照一定規(guī)則安排或配置方法的數(shù)學。 最初是以游戲的形式出現(xiàn)的， 由于在娛樂中和美學中有很多研究的組合問題，現(xiàn)在無論在純粹或在應(yīng)用科學上都有重 要的價值。組合數(shù)學滲透到其它很多領(lǐng)域，同時其它學科方法（如概率論方法等）又為 組合數(shù)學提供了新的工具。在組合數(shù)學中，組合包等式的證明和尋找是一個很重要的內(nèi) 容，而組合恒等式作為計數(shù)問題的結(jié)果，所以組合數(shù)學的一個重要分支是如何證明和尋 找組合包等式。研究現(xiàn)狀組合數(shù)學在國

7、外早已成為十分重要的學科，一些大公司，如舊M, AT&TTB有全世界最強的組合研究中心。美國一個重要的國家實驗室Sandia國家實驗室有一個專門研究組合數(shù)學的機構(gòu)，主要從事組合編碼理論和密碼學的研究，在美國政府以及國際學 術(shù)界都具有很高的地位。日本的 NE公司還在美國的設(shè)立了研究中心，理論計算機科學 和組合數(shù)學已是他們重要的研究課題。由于 DN剛是組合數(shù)學中的一個序列結(jié)構(gòu)，美國 科學院院士，近代組合數(shù)學的奠基人 Rota教授預(yù)言，生物學中的組合問題將成為組合 數(shù)學的一個前沿領(lǐng)域。美國的大學，國家研究機構(gòu)，工業(yè)界，軍方和情報部門都有許多 組合數(shù)學的研究中心，在研究上投入了大量的經(jīng)費。高層次的軟件

8、產(chǎn)品處處用到組合數(shù) 學，更確切地說就是組合算法。除此之外，歐洲也在積極發(fā)展組合數(shù)學，英國、法國、 德國、荷蘭、丹麥、奧地利、瑞典、意大利、西班牙等國家都建立了各種形式的組合數(shù) 學研究中心。 組合數(shù)學是計算機軟件產(chǎn)業(yè)的基礎(chǔ)，中國最終一定能成為一個軟件大國， 但是要實現(xiàn)這個目標的一個突破點就是發(fā)展組合數(shù)學。相對國外的發(fā)展情況，國內(nèi)關(guān)于 組合方法的研究和使用情況還處于相當初始的階段。 組合數(shù)學應(yīng)用方面的有關(guān)文獻報道 是極為有限的，而在廣大的生產(chǎn)領(lǐng)域幾乎是空白，極少數(shù)科研單位和高校等在極個別方 面有一些初步的嘗試。這可能預(yù)示著在不久的將來組合技術(shù)在國內(nèi)會有一個較快的發(fā) 展。組合數(shù)學與概率論中的離散型隨

9、機理論密切相關(guān)，而球盒模型是用組合數(shù)學的知識 解決概率論中的離散型隨機問題的重要數(shù)學方法。在離散型隨機理論方面，組合數(shù)學與 相關(guān)的離散數(shù)學的方法占據(jù)了一個非常重要的中心位置。在這些方法中，組合列舉的方 法和基本的有限差分的計算方法是最主要的。尤其是，在離散型概率理論中，隨機現(xiàn)象 或隨機實驗被描述為是球放入盒子的隨機分配模型。在本文中我們稱之為n個球放入m個盒子里的球盒模型，此模型非常靈活，條件稍微 變換一點，甚至是一字之差，其算法也大相徑庭。所以，在不同的分配條件下，所研究 的球盒模型分別與第一類、第二類 Stirling 數(shù)，以及發(fā)生函數(shù)、整數(shù)分拆等。各種情 況相互聯(lián)系，從而產(chǎn)生許多有趣結(jié)論

10、。研究的目的和研究的內(nèi)容本文研究的目的主要是利用組合數(shù)學知識與概率的的知識相結(jié)合，從而得到組合包等式的證明。其方法有很多，主要有組合分析法、生成函數(shù)法、矩陣方法、求導方法、 概率方法、無窮級分的方法、代數(shù)方法、機器證明、超幾何級數(shù)等方法，但是目前應(yīng)用 最為廣泛的主要有以下兩種方法：(1)發(fā)生函數(shù)方法1990年美國數(shù)學家 Wilf出版了(Generating Functionology )專著，并在專著中 詳細論述了發(fā)生函數(shù)各種用途，如為序列成員找出一個準確公式、尋找遞歸關(guān)系、求序 列的平均數(shù)和其它的統(tǒng)計性質(zhì)、根據(jù)序列發(fā)生函數(shù)的性質(zhì)、找出這個序列的新信息、求 序列的漸近公式、證明單峰性、凸性、證

11、明組合包等式等等。Wilf在書中列出很多例子說明如何利用發(fā)生函數(shù)證明組合包等式。發(fā)生函數(shù)是解決離散數(shù)學問題的有效工具， 它是離散數(shù)學和連續(xù)分析的橋梁，所以發(fā)生函數(shù)是現(xiàn)代離散數(shù)學領(lǐng)域中重要的方法之 一，它能以某種統(tǒng)一性美妙之處已成為組合數(shù)學研究者的共識。發(fā)生函數(shù)”的英文原詞是generating function 。它的另外兩個譯名是生成函數(shù)與母函數(shù)。發(fā)生函數(shù)方 法是現(xiàn)代離散數(shù)學領(lǐng)域中的重要方法， 它能以某種統(tǒng)一的程序方式處理和解決眾多不同 類型的問題。(2)概率方法概率的概念形成于16世紀，與用投擲骰子的方法進行賭博有密切的聯(lián)系。概率本 來最初就是開始于賭博，由賭博發(fā)展而來的。應(yīng)用概率統(tǒng)計方法

12、，主要包括隨機事件及其概率、隨機變量及其概率分析、隨機變量的數(shù)字特征及極限定理、參數(shù)估計、假設(shè)檢 驗、方差分析、回歸分析、試驗設(shè)計、概率論基礎(chǔ)與統(tǒng)計計算。而本文主要是把組合數(shù) 學的有關(guān)知識與概率的方法結(jié)合，用概率的知識解決組合知識，用不同的方法得出不同 的結(jié)論，從而得出恒等式。本文主要內(nèi)容本文主要是把組合數(shù)學與概率的知識相結(jié)合來研究球盒模型。所謂球盒模型， 最基本的情況就是將n個球放到m個盒子里，依據(jù)球和盒子是否有區(qū)別以及是否“許空n盒而“在種23=8種狀態(tài)。引入了第二類斯特靈數(shù) S2（n, m）和協(xié)同組合數(shù) m :以及整數(shù)的分拆Pn,m等等。概率最基本的方法之一就是古典概型， 而古典概型是概

13、率論發(fā)展史 上首先被人們研究的概率模型。組合數(shù)學與古典概率關(guān)系密切，利用概率來研究組合問題，證明組合恒等式是目前研究的重要方法之一。而概率論發(fā)展初期的主要研究對象是 等可能的數(shù)學模型，這種數(shù)學模型就是我們通常稱為的古典概型，它在概率論中有很重 要的地位。它概括了許多實際問題，有很廣泛的應(yīng)用。雖然古典概率問題多變，甚至很 復(fù)雜，但大致可歸并為兩類概型：摸球模型與投球模型，很多實際問題都可以轉(zhuǎn)化為球 類模型。所以，如果球盒模型問題得到解決，那么很多與之有關(guān)的問題就迎刃而解（比 如分房問題等）。本文主要是建立一些常見的數(shù)學模型，利用球隨機地放入盒里面，對球盒模型進行 計算。把球的分配問題與概率相結(jié)，

14、根據(jù)球的異同、盒子的異同以及不同的分配方法等 建立相關(guān)的概率模型，有機地把 Stirling 數(shù)、發(fā)生函數(shù)、整數(shù)分拆、經(jīng)典計數(shù)等和概 率結(jié)合起來。通過構(gòu)建球盒分配模型，用概率方法解讀模型，進行歸納、分類、剖析， 巧妙地變換在各種條件下放回球，設(shè)計成概率模型，應(yīng)用數(shù)學知識分析問題解決問題。 解題過程中認識到問題的實質(zhì)，提高分析問題解題能力，達到研究的目的。概率問題蘊 含著許多豐富的數(shù)學思想和方法，構(gòu)建模型，可以幫助我們解讀概率問題的意義和本質(zhì)。2預(yù)備知識2.1組合知識定義 集A的k個子集的族二=Ai, A 2,.A k稱為A的一個k部分拆（簡稱分拆），如果這族子集滿足性質(zhì)：i）每個A非空ii）當

15、 i w j 時 Ai Aj=?;iii） A i A A每個A稱為分拆冗的塊。冗可以記成tt=A ?A2?.公，也可以把A的這個分拆記 ?成 A=A A A = Xi1 i k（注意在上述各種記法中A的位置秩序沒有意義）定義元素取自集S的一個無序k元組xi, x 2, . . . Xk稱為S上的一個k元可重 復(fù)組合，也成為S上的一個k元重集。k元重集中一個元出現(xiàn)的次數(shù)稱為該元在這個重 集中的重數(shù)。定理把n個不同的球放入 m個不同的盒子里，第1個盒子中放ni個，第2個盒子中放 降個，第 m個盒子里放nm,且ni+n2+nm =m,則有尸5;4斗，,nJ =/!修！兒！2 a2x定義 數(shù)列ak：

16、 k 0 =a0, ai,a2所確定的幕級數(shù)f （x）akxk a0 aix為該數(shù)列的生成函數(shù)。定理 設(shè)從n元集合取k 5元去佛組仁數(shù)為與k；若限定元素 a,出現(xiàn)的次數(shù)集合為 M.（1_i_0=a-,a-a-的指數(shù)型為數(shù)列數(shù)型生成函數(shù)。定理多重集合8”/&g ”瑪期，k個元的排列，若限定元素ai出現(xiàn)的次數(shù)集合為M（1_i_n） /巴這理排列白個數(shù)記為 Q,則數(shù)列指數(shù)型生成函數(shù)定理把k個不同的球放入n個不同的盒子中,限定盒4/ I y/KzM M（1_i_n）,則其分配方案數(shù)的生成函數(shù)為a,的容量集合為定理 （容斥原理）設(shè)A, A2,.An均為有限集合，則|4 口兒。u兒=同-X Z 44/4t

17、+（t尸1444/=!lf jFl尼&/舟定理 設(shè)Al, A 2,.An均為有限集合E的子集，則-4 44=1日-|4+ Z 44 - E 444 4斗（-1/A&4定理 把n個不同的球放入m個不同的盒子里，每個盒子可放多個，也可以不放，其不 同的方案數(shù)為mn定義 第二類Stirling 數(shù):一個n元集的所有k部分拆的個數(shù)記為&（n, k）,稱為第二 類Stirling 數(shù)（即:n個元素的集合劃分為k個不相交的非空子集合的劃法數(shù)，或者解釋 為:n個完全不同的球放入k個相同的盒子里，不允許有空盒的方案數(shù)）。根據(jù)這個定義可以遞推得到：S2（n,k尸kS 2（n-l,k）+S 2（n-l,k-1）其

18、代數(shù)定義為：/ = E(界.止X孫=ZI廣5； 0;規(guī)范性：對于必然事件S,有P(S) = 1 ;可列可加性：設(shè)Ai, Ar 是兩兩互不相容的事件，即對于i wj , Ai4=i, j=1,2 ，則有 P(Ai A 尸P(Ai )+P(A2 )+；當 n -8 時頻率 fn(A)在一定意義下接近于概率P(A)。因此，可以將概率P(A)用來表征事件A在一次實驗中發(fā) 生的可能性的大小。定義 設(shè)離散型隨機變量X所有可能取的值為Xk (k =1,2,)X取各個可能值的概率，即事件(X=Xk的概率，為P(X = x k) = p k, k =1,2, 由概率的定義,p k滿足如下兩個條件性：Pkk 1非

19、負性:0 pk /4 此表為X的概率分布表，它能清楚地表示 X取值的分布情況。為簡單起見,概率的分布清況可以直接用式來表示，也可表示為概率分布列和概率分布表常常統(tǒng)稱為概率分布，它是描述離散型隨機變量的有力工具定義 離散隨機變量E的一切可能值Xi與對應(yīng)的概率P（己=Xi）的乘積的和叫做隨機變量 上的數(shù)學期望，記作EE。如果隨機變量咨只能取得有限個值而取得這些值的概率分別是尸（與），尸（三），”（為）則數(shù)學期望為”=再尸（8）十丑（丑）+ 由=Z，/（耳）如果隨機變量己只能取在可數(shù)無窮多個值而概率分別是戶（GL產(chǎn)（,一 ）一，尸）,則數(shù)學期望EE是下列級數(shù)的和：席=再產(chǎn)區(qū)）+工產(chǎn)（,rj +山產(chǎn)（

20、/0+=f=l假定這級數(shù)是絕對收斂的，因而級數(shù)的和與各項的排列次序無關(guān)。球盒模型球盒模型包括摸球問題和投球問題，摸球問題事實上是投球問題的逆過程，它們可 以相互轉(zhuǎn)化。比如n個互異球中抽取r個球，可以看作r個球投入n個不同編號的盒子。 但摸球問題有它特有的思路和方法，即摸球問題中，“球”可以是帶有顏色或編號的正的球，也可以是合格或不合格的產(chǎn)品、不同花色和點數(shù)的撲克牌、各種面值的硬幣等等， 摸球的方式可以是無放回的，可以是有放回的，也可以是逐一地抽取或是一次性的抽取， 很多實際問題都可轉(zhuǎn)化成球類模型。例如在魏宗舒等編著的概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 （第二版）中有這樣一個習題 m只顏色各不同的球，有放回地

21、摸取 n次，求摸出的球的顏色數(shù)的數(shù)學期望。用概率方法證明或?qū)ふ医M合包等式是一個很有趣的問題，也是一個重要方法。本節(jié)以此問題為基礎(chǔ)，利用不同方法得到了一些關(guān)于第二類Stirling 數(shù)的有趣的組合恒等式。(1)問題的提出：m只顏色各不同的球，有放回地摸取 n次，求摸出的球的顏色數(shù)的數(shù)學期望。(2)分布律設(shè)X表示n次抽球所抽出的顏色數(shù)(X =1,2,m),事件表示“抽到第i種顏色 C i=1,2，,m), P(A)表示事件我發(fā)生的概率，由概率加法公式得內(nèi)(4 兒=1一u a U 4)=I- 以區(qū))+-十-】以彳Z)I L 2 J *I #.尸小二(川，(注意到尸（0 （4L力） /-/ti加一,(

22、 7 一左)= (-，C4兒兒/心，7 一左、二2(-1尸.片4a兒)所以尸團兒U （4444）尸4 4*.4. 4進一步思考設(shè)m種不同色的球（一球一色），有放回地抽，直到抽出所有顏色的球為止。設(shè) 隨機變量Y表示抽出所有顏色的球所需抽球次數(shù)（Y=m,m+l）,記pn=P X=n qn=PY=n,貝U/=凡一幾T用工 5,。 /開!、式仃一 Lm）nt -亞） 加得到一個關(guān)于Stirling數(shù)的有趣的組合恒等式3球盒模型基本結(jié)論把n個球放入m個盒子中去一共有多少種分配方法 n個球可能有多種狀態(tài)，兩個極 端情形是它們完全相同以及兩兩不同，m個盒子也是如此。球放入 m個盒子，最極端的情況是:球同與不

23、同、盒子同與不同以及分配后盒子空與不空共23 = 8種狀態(tài)。這基本的8種狀態(tài)涉及到第二類Stirling 數(shù)、整數(shù)分拆等的概念，根據(jù)第 2章的知識，我們 對放球問題有了進一步的了解，現(xiàn)在把有關(guān)n個球放到m個盒子的放球問題的結(jié)果給在卜表中。伏志jr）打卜皿個京廣療無穿食1仃區(qū)別TT區(qū)冽2J K則口山用無空工工3為區(qū)別無區(qū)別有空盤4TTI* 別X K刷無空盒5All * 則有IX別甘加盒6無別釘憚”J無空盒1紀區(qū)捌白空盒拒舊別北1”別元空含1到8種情況分配方案數(shù)的由來。分配門粟故卜面依次簡單說明1根據(jù)定理，把n個不同的球放入m個不同的盒子里，每個盒子可放多個,也可以不放，其不同的方案數(shù)為 nno或

24、者說是m個字母的n元字的個數(shù)。2根據(jù)定理，把n個完全不同的球放入 m個不同的盒子，不允許有空盒的方案數(shù)為m!&（n,m）?；蛘哒f是。元集的有序 m部分拆。3根據(jù)定理把n個完全不同的球放入 m個相同的盒子里，不允許有空盒的方案數(shù)為S2 （n, m）,則把n個完全不同的球放入 m個相同的盒子里，允許有空盒的m方案數(shù)為i iS2（n，l）o或者說是n元集分拆成至多m個分部。4由定義知，把n個完全不同的球放入 m個相同的盒子里，不允許有空盒的方案數(shù)為S2（n, m）?；蛘哒f是n元集的所有m部分拆的個數(shù)。5根據(jù)定理m元集上的n元重集（即m元集上的n元可重復(fù)組合）的個數(shù)記為m ?；蛘哒f是方程：xi+X2+

25、x m=n的非負整數(shù)解。 n6根據(jù)定理，把n個完全相同的球放入 m個全部不同的盒子里，不允許有n 1空盒的方案數(shù)為，也即是方程Xi+X2+ - +X m=n的正整數(shù)解。m 1n個無區(qū)別的球放到m個無區(qū)別的盒子里，有空盒，相當于把正整數(shù) n表示 成k(1 k1)稱為n的一個k部分拆， 每個被加數(shù)ni稱為此分拆的一個分部。n的k部分拆的個數(shù)記為P(n, k) ; n 的所有n分拆的個數(shù)記為P(n),即p(n) p(n,k)。所以n個無區(qū)別的球放到m個無區(qū)別的 k 1n盒子里，有空盒的分配方案數(shù)為p(n,k)0也可以簡單地說是正整數(shù)n分拆成至k 1多m個分部。n個無區(qū)別的球放到m個無區(qū)別的盒子里，無

26、空盒，相當于 n的m部分拆的 個數(shù)，由第7種情況可知，其分配方案數(shù)記為 P(n, m)。也就是正整數(shù)n的m部分 拆。球盒問題，又稱占位問題，其實質(zhì)是分配問題，我們關(guān)心的是其分配方案。這里的 球可相同可不同，盒子可有標記可無標記，盒子的容量可有限制可無限制，盒子可空非 空，球在盒中次序可考慮也可不考慮，盒子的次序可考慮也可不考慮等。顯然，這是一 個比較復(fù)雜的問題，本文就此問題深入研究。4本文研究我們己經(jīng)知到球盒模型最極端的分配情況有8種，而條件稍微變化一點，哪怕是一字之差，算法都會截然不同。本章在原有的基礎(chǔ)上進行創(chuàng)新，得到其它的分 配模型，即加入一個隨機變量x,并且與概率相結(jié)合，得到組合包等式的

27、證明。用概率證明組合恒等式的主要思路是：針對所要證明的組合包等式構(gòu)造出適當?shù)?概率模型，求出該模型中有關(guān)事件的概率，然后根據(jù)概率的一些性質(zhì)，推出應(yīng)有 的結(jié)論。下面的中的條件都是nm,即球的個數(shù)不小于盒子的個數(shù)。4.1 n個不同的球放入m個不同的盒子的情況狀態(tài)整個球育M別2行區(qū)別分配方案數(shù)mS21 ,)加個盒子有無空盒有區(qū)別有空盒有區(qū)別無空盒如果加入一個隨機變量X,相應(yīng)的問題又該如何解決呢請看下面的問題(1)隨機變量X表示放球過程中有球的盒子數(shù)問題1:n個不同的球放入m個不同形狀的盒子，放球的過程中允許有空盒, 盒子的容量無限制，隨機變量 X表示放球過程中有球的盒子數(shù)，求 X的數(shù)學期望E(X)。

28、先求隨機變量X的分布律為X2 R +kASAft,2) * *nff* * a所以X的數(shù)學期望為*田 *)=-根據(jù)定義的第二條，即式 pk 1得到下列組合包等式k 1從而變形得到恒等式：工川:昂)初以上是用概率的方法得出的組合恒等式，如果用組合學的方法證明又 該怎樣證明呢下面予以說明。設(shè)有n只不同的球，有m個盒子，它們的編號為1,2,m。由定理知把這n只球放入盒子中，允許有空盒且不限制放入盒子內(nèi)的球數(shù)，總共有mn種方式。這是由于每一個球放到m個盒子中一共有m#方式。于是由乘法規(guī)則，有 n只不同的球放到m個有編號的盒子中去共有 吊種方式。另一方面，由定理知n只不同的球放入特定的k個不同編號的盒子

29、中去，并且沒有一個空盒的方式數(shù)為k! S2（n, k） o而從m個盒子中選取k個盒子的方式數(shù) m （顯然，有 km-k個盒子為空），于是由乘法規(guī)則知，將n只不同的球放到m個不同的盒子中且恰有k個盒子為空的方式總數(shù)為 m ?S2（n,k）?k!。其中1 km時，m 0k4.2 n個不同的球放入m個全部相同的盒子的情況分配方案數(shù)iW方,（此曷（從曲狀態(tài)個球陽個盒子有無空盒有區(qū)別 無區(qū)別 無空盒3有區(qū)別無區(qū)別有空盒問題2: n個不同的球放入m個形狀全部相同的盒子，放球的過程中允許有空盒，隨機 變量X表示放球過程中有球的盒子數(shù)，求 X的數(shù)學期望E（X） om個盒子是無區(qū)別的，相當于選出的 x個盒子，即

30、n個有區(qū)別的球放入x個無區(qū)別的盒子，求不允許有空盒的放法數(shù)。隨機變量 X的分布律為X124 t4 1- 和F耳V V 5, Ed) -pi4工白風力V 5i(/, Ji所以X的數(shù)學期望為v1.0可編輯可修改 石二戲AL如果本題再變換一下結(jié)論：(1)恰好有一個空盒的概率 Pi是多少(2)恰好有r(r 隨機變量X表示放球過程中有球的盒子數(shù)問題3 n個全部相同的球放入 m個形狀全部不同的盒子，放球的過程中允許有空盒，隨機變量X表示放球過程中有球的盒子數(shù)，求 X的數(shù)學期望E(X)0m 個盒子是有區(qū)別的，n個球是無區(qū)別的，如果放球的過程中允許有空盒，相當于求方程X1+X2+ +Xk = n的非負整數(shù)解得

31、個數(shù)。而x表示有球的盒子數(shù)，即己個盒子有球，且不允許有空盒的放法，相當于求方程x1 + x 2 + +x5= n的正整數(shù)解的個數(shù)。所以隨機變量 X的分布律為v1.0可編輯可修改 所以X的數(shù)學期望為根據(jù)定義的第二條，即由式pk 1得到下列組合包等式k 1這就是m元集上的n元重集（即m元集的n元可重復(fù)組合）的個數(shù)的概率方法證明，其組合解釋為：現(xiàn)有m個紅球，n-1個白球，并把紅球和白球放在一個盒子里?，F(xiàn)從這m+n-1個球中無放回地取出n個球的組合，問共有多少種不同的取法即（式的證明如下：m n 1止的k,應(yīng)有k k 1而取法必定是下列情形之一：有k個紅球，n-k個白球，其中（k=0,1,2,m）,對

32、于周m n 1種選法，并事先規(guī)定 n 10成立，然后按照加k n kn法法則對k求和即得:W +- 1FTv1.0可編輯可修改比較組合恒等式的概率方法證明以及組合方法證明可知，概率法證明簡單、 明確、可行。如果我們進一步考慮此問題：現(xiàn)有m個紅球, 紅球被取出。m由PXi1可以得到的證明。i 0因為ft - tit-1 1加一2冷r=d =、J=打斗陽一k R im所以數(shù)學期望為 EX n2mLy，由EXkP Xk 1” （n - 1 /陽、t=臺（門一#.隈j森+卅實際上，等價十卜列Vandermode積公式：幫，E l、r fi另外，由數(shù)學期望的定義得n-1個白球，事件Xi表示第i個fl/J

33、 + /i i ， 1 . 2 二 Lk(4.10)()-ri-l 3rff+w?-n/日+用-21 /收+掰-m、2+r-,JlJ ?J而 F(X.X, =1)- L/+/-1_nin-1)(/+ m l)”i + 加一 2)E(月)= (鶯 + & i+ X. )- = m(m 1)(乂*J十蟲尤)因此()=( % +/+ =皿mmn(mn - 1)n + rtii.心-D,fi(/ + m-】N + rn -2)n + m - 1尸（x：=D =尸（m n 1由分布律P(X k) k mk 1直接用數(shù)學期望的定義得np “廣1(411)例如，當n=5,m=3時，左右兩邊都等于105.現(xiàn)在

34、，以另一種方法研究隨機變量 X TOC o 1-5 h z (柏*P(X -A)=4-1, L Xt+l -(X Xi+2 - 0,萬足 _ 0)由容斥原理得P(乂 = 之=I, 1,=0,凡啟一0,，*用=0)e-*f ffj - k、二 Z(T.占=卜 7Tl J般地因此也就是，對任意m(k me n),有下列恒等式成立 1、(4.12)4 D例如，當n=5,k=2時，對任意的2 & m 5 ,等式左邊右邊都等于4。v1.0可編輯可修改 4.4 n個全部相同的球放入 m個全部相同的盒子的情況狀態(tài)個球切個盒子7無區(qū)別無區(qū)別H無區(qū)別無區(qū)別仃無空余仃空盆分配方案數(shù)Z /（，+心 fn）產(chǎn)（血網(wǎng)）

35、整數(shù)分拆問題是一個古老而又十分有趣的問題。所謂整數(shù)的分拆，就是把 個自然數(shù)表示成為若干個自然數(shù)的和的形式，每一種表示方法，便是這個自然數(shù)的一個分拆。整數(shù)分拆的要求通常是將一個自然數(shù)拆成兩個（或兩個以上）自然數(shù)的和，并使這些自然數(shù)的積最大（或最?。?；或拆成若干個連續(xù)自然數(shù)的和等 等。隨機變量X表示放球過程中有球的盒子數(shù)問題4:n個全部相同的球放入m個全部相同的盒子，放球的過程中允許有空盒，隨機變量x表示放球過程中有球的盒子數(shù)，求 x的數(shù)學期望E（X） o因為隨機變量X是表示放球過程中有球的盒子數(shù)，所以相當于 n個全部相同的球放入x個全部相同的盒子，求無空盒的放法數(shù)，即為正整數(shù)n的無序分拆。先求隨

36、機變量X的分布律為X12 嘴事A-* S加al H. 11既他， * *乃1*打乩砌只*網(wǎng)產(chǎn)+必砌所以X的數(shù)學期望為/rr+ tn. frj)JRTX用此芯抑+甌1ffM顯然有恒等式j(luò)WZ 尸5M人P H 4肛尹5,幻 汽果）L+鞏勸 /u#），二 I即變形為恒等式V燈二汽一堀 tmI概率論為我們證明組合包等式提供了更好的方法，從概率論的角度看待問題往往能使問題簡化，它將在證明組合恒等式方面得到越來越廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學各分支中，不 少組合恒等式往往不是顯而易見的，證證明有一定的難度，這就使它們的應(yīng)用受到限制。 若能對一些重要而又復(fù)雜的組合包等式給以證明，則會給其應(yīng)用帶來不少方便。5結(jié)論與展望論

37、文總結(jié)所謂球盒模型，就是將n個球放到m個盒子里，依據(jù)球和盒子是否有區(qū)別以 及是否允許空盒而存在23= 8種狀的及基礎(chǔ)上建立有關(guān)的概率模型，利用求概率或 求數(shù)學期望的方法，對組合包等式進行證明。古典概型是概率的基礎(chǔ)，鑒于古典 概率問題中，計數(shù)常常涉及組合數(shù)，使得用構(gòu)造隨機試驗，利用概率模型來診釋、 證明某些組合包等式。通過構(gòu)造概率模型，證明一些重要的組合包等式，并將之 拓展，使概率證法在證明組合包等式中得到充分體現(xiàn)。用概率證明組合恒等式的 主要思路是：針對所要證明的組合恒等式構(gòu)造出適當?shù)母怕誓Ｐ?，求出該模型?有關(guān)事件的概率然后根據(jù)概率的一些性質(zhì)推出應(yīng)有的結(jié)論。在解決一些組合包等 式時，構(gòu)造概率模型后，從不同的角度考慮其概率或隨機變量的數(shù)字特征，即可 證明組合