六年級(jí)下冊(cè)奧數(shù)試題 數(shù)的整除特征 全國通用

1、第2講數(shù)的整除特征（二）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)上一章我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了被2、3、5、8、9、25、125等整除的數(shù)的特征和一些整除的基本性質(zhì)，但作為奧林匹克競(jìng)賽僅僅掌握以上知識(shí)還不夠，這一講繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)的整除知識(shí)。（1）能被7、11和13整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三以前的數(shù)字所表示的差（一定要大數(shù)減小數(shù)）能被7、11或13整除，那么這個(gè)數(shù)就能被7、11或13整除。（2）能被11整除的數(shù)的特征還有：一個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?1的倍數(shù)。重點(diǎn)難點(diǎn)同學(xué)們?cè)诶斡浬厦嬲臄?shù)的特征的同時(shí)，重點(diǎn)應(yīng)弄清楚能被7、11、13整除的數(shù)為什么有上面的特征。學(xué)法指導(dǎo)上面

2、數(shù)的整除特征可以結(jié)合例子理解。例如：443716，判斷它能否被7、11、13整除的方法是：716443=273。因?yàn)?73能被7整除，所以443716能被7整除；因?yàn)?73不能被11整除，所以443716不能被11整除；因?yàn)?73能被13整除，所以443716能被13整除。記憶要理論聯(lián)系實(shí)際。經(jīng)典例題例1用1、9、8、8這四個(gè)數(shù)字能排成幾個(gè)被11除余8的四位數(shù)？思路剖析能被11整除的數(shù)的特征是這個(gè)數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除。一個(gè)數(shù)要能被11除余8，那么這樣的數(shù)加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的數(shù)的特征是：將偶位數(shù)字相加得到一個(gè)和數(shù)，再將奇位數(shù)字相加再加上3，

3、得到另一個(gè)和數(shù)，如果這兩個(gè)和數(shù)之差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)就是被11除余8的數(shù)。解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位數(shù)，可以把這四個(gè)數(shù)字分成兩組，每組兩個(gè)數(shù)字，其中一組作為千位和十位數(shù)，它們的和記作p，另外一組作為百位和個(gè)位數(shù)，它們之和加上3記作q，且p和q的差能被11整除，滿足要求的分組只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，qp=209=11，所以1988是被11除余8的四位數(shù)。如果一個(gè)數(shù)被11除余8，那么在奇位的任意兩介數(shù)字互換，或者在偶位的任意兩個(gè)數(shù)字互換，得到的新數(shù)被11除也余8，因此除1988外，還有1889、8918與8819共四個(gè)被11除余8的四位數(shù)。例2如果

4、下面這個(gè)41位數(shù)能被7整除，那中間方格內(nèi)的數(shù)字是幾?思路剖析對(duì)于數(shù)555555，由于555555=0是7的倍數(shù)，根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，555555也能被7整除；同理999999也能被7整除，所以和也能被7整除，所以我們可以把這個(gè)41位數(shù)分成幾個(gè)數(shù)的和，其中部分能被7整除。解答=+5599，上式等號(hào)右邊的三個(gè)加數(shù)中，第一個(gè)和第三個(gè)加數(shù)都能被7整除，由此可推出eqoac(,55)99能被7整除，所以eqoac(,55)99能被7整除。根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，eqoac(,99)55=eqoac(,44)也能被7整除，可推理得內(nèi)應(yīng)為6。例3有一堆蘋果，要裝在46個(gè)箱子里，其中有45個(gè)大箱子和一

5、個(gè)小箱子，而小箱子裝的蘋果只相當(dāng)于大箱裝的數(shù)量的一半，現(xiàn)有果數(shù)是否能辦到？思路剖析個(gè)蘋果，如果規(guī)定按箱子大小平均分裝蘋由于大小箱子裝的蘋果的數(shù)量不一致，不便于解題，所以我們可以統(tǒng)一成小箱子，則應(yīng)有245+1=91個(gè)小箱子，那么是否恰好裝完，并符合要求，關(guān)鍵是看總蘋果數(shù)能否被91整除，由于91=713，所以由整除的性質(zhì)，只需要考慮7、13是否能整除總蘋果數(shù)。由于13整除4979，而7整除497949794979，那么必定有91整除497949794979，因?yàn)?93=33，所以容易推出91整除，所以能把蘋果按規(guī)定裝入箱子中。解答77245+1=91（個(gè)），13=91，因?yàn)?3整除4979，整除4

6、97949794979，所以91整除497949794979，則91整除。答：可以做到按箱子大小平均分裝蘋果。例4求能被26整除的六位數(shù)思路剖析。因?yàn)?6=213，所以由整除的性質(zhì)得入手。解答能分別被2和13整除。所以解此題可以從2整除因?yàn)?整除，所以y可能取0、2、4、6、8。又因?yàn)?3整除，所以13能整除與的差。當(dāng)y=0時(shí)，由于13整除910，而13又要整除與910之差，所以13整除。又因?yàn)?100+19=（713+9）+19=713+9+13+6，所以根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì)得13整除9+6，經(jīng)試驗(yàn)可知，只有當(dāng)=8時(shí)，13整除9+6，所以當(dāng)y=0時(shí)，符合題意的六位數(shù)是819910。當(dāng)y=2時(shí)，因

7、為13整除與2之差；與前面的相仿，所以13整除與912之差，而912=910+2，所以13整除=713+13+9+6，所以13整除9+62，即13整除9+4。經(jīng)試驗(yàn)可得，只有當(dāng)=1時(shí)，13整除9+4。所以當(dāng)y=2時(shí)，符合題意的六位數(shù)是119912。同理，當(dāng)y=4時(shí)，13整除9+64，即13整除9+2，經(jīng)試驗(yàn)可知，當(dāng)=7時(shí)，13整除9+2，所以當(dāng)y=4時(shí)，符合題意的六位數(shù)是719914。同理，當(dāng)y=6時(shí)，13整除9+66，即13整除9。經(jīng)試驗(yàn)可知，無解（因?yàn)槭堑淖罡呶粩?shù)碼，所以0）。所以當(dāng)y=6時(shí)，找不到符合題意的六位數(shù)。同理，當(dāng)y=8時(shí)，13整除9+68，即13整除92。經(jīng)試驗(yàn)得，只有當(dāng)=6時(shí)

8、，13整除92。所以當(dāng)y=8時(shí)，符合題意的六位數(shù)是619918。答：滿足本題意條件的六位數(shù)共有819910、119912、719914和619918四個(gè)。例5從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)中選出5個(gè)不同的數(shù)，組成一個(gè)五位數(shù)，使它能被3、5、7、13同時(shí)整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？思路剖析這道題如果從10個(gè)數(shù)字中選出5個(gè)不同的數(shù)，組成一個(gè)五位數(shù)，再逐個(gè)判斷每個(gè)五位數(shù)能否同時(shí)被3、5、7、13整除，那是非常麻煩的?？梢韵葟恼w上考慮，因?yàn)?、5、7、13這四個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)，且35713=1365，那么我們要找的數(shù)就是在五位數(shù)中能被1365整除的最大的那個(gè)數(shù)。那我們只需用一個(gè)自然數(shù)去與1

9、365相乘，使積盡可能大且是一個(gè)五位數(shù)即可（注意，五位數(shù)中不能出現(xiàn)相同數(shù)字）。解答設(shè)1365a（a是自然數(shù)）的積是要求的五位數(shù)，可知：1365a100000，則a73。當(dāng)a=73時(shí)，這個(gè)五位數(shù)是136573=99645，數(shù)字重復(fù)了，舍去；當(dāng)a=72時(shí)，這個(gè)五位數(shù)是136572=98280，數(shù)字重復(fù)；當(dāng)a=71時(shí)，這個(gè)五位數(shù)是136571=96915，數(shù)字重復(fù)；當(dāng)a=70時(shí)，這個(gè)五位數(shù)是95550，數(shù)字重復(fù)；當(dāng)a=69時(shí)，這個(gè)五位數(shù)是94185，符合題目條件。所以，這個(gè)數(shù)是94185。點(diǎn)津57這道題從整體入手，先用3、13相乘得1365，在五位數(shù)中通過找1365的最大倍數(shù)得到解答。最后用枚舉的方

10、法時(shí)，雖然要計(jì)算1365與73、72、71、70、69的積，但比起漫無邊際地去找這樣的五位數(shù)要簡(jiǎn)便得多。例6求能被26整除的六位數(shù)。思路剖析由于26=213，所以原數(shù)能被26整除，轉(zhuǎn)化為原數(shù)既能被2整除，又能被13整除。解答因?yàn)橐蟮臄?shù)能被2整除，所以個(gè)位數(shù)字只能是0、2、4、6、8。（1）當(dāng)B=0時(shí)，數(shù)能被13整除。根據(jù)能被13整除的數(shù)的特征，必有（930=11）是13的倍數(shù)。試算知1347=611。所以差數(shù)是611，逆推出A=3。（2）當(dāng)B=2時(shí)，數(shù)能被13整除，必有（932A19=13）是13的倍數(shù)。試算知131=13，所以差數(shù)為13，逆推出A=9。（3）當(dāng)B=4時(shí)，數(shù)能被13整除，必有

11、（934A19=15）是13的倍數(shù)。試算知1355=715，所以差為715，逆推出A=2。（4）當(dāng)B=6時(shí)，數(shù)13的倍數(shù)，逆推出A=8。（5）當(dāng)B=8時(shí)，數(shù)能被13整除，必有（936A19=eqoac(,17)）是13的倍數(shù)。試算知117是能被13整除，必有（938A19=eqoac(,19)）是13的倍數(shù)，試算知819是13的倍數(shù)，從而推出A=1。所以，所求的六位數(shù)共有五個(gè)，即：319930，919932，219934，819936，119938。例7用數(shù)字6、7、8各兩個(gè)組成一個(gè)六位數(shù)，使它被168整除。這個(gè)六位數(shù)是多少？思路剖析168=356，3與56互質(zhì)。因?yàn)?+6+7+7+8+8=4

12、2，42是3的倍數(shù)，所以用6、7、8各兩個(gè)組成的所有六位數(shù)都能被3整除。問題轉(zhuǎn)化為使組成的六位數(shù)能被56整除。因?yàn)?6=78，7與8互質(zhì)，所以只要組成的數(shù)能被7整除，又能被8整除即可。要能被8整除，只要看末三位數(shù)，如果能僅用6、7、8各一個(gè)數(shù)組成能被8整除的三位數(shù)，那么把它連寫兩遍得到的六位數(shù)就合乎要求。而用6、7、8各一個(gè)數(shù)不難組成被8整除的三位數(shù)。解答768能被8整除，768768也就能被8整除，它又能被7整除，而7與8互質(zhì)，所以它能被7與8的積56整除。7+6+8+7+6+8=42，3整除42，所以768768能被3整除，由于3與56也互質(zhì)，因此，768768就能被3與56的積168整除

13、。點(diǎn)津本題初看無處下手，但是我們應(yīng)用整除性質(zhì)“一個(gè)數(shù)能被互質(zhì)的兩個(gè)自然數(shù)整除，就一定能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除”，把問題逐步轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)了化難為易的目的。例8甲、乙兩人進(jìn)行了下面的游戲。兩人先約定一個(gè)整數(shù)N，然后由甲開始，輪流用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字之一組成一個(gè)六位數(shù)的一位，數(shù)字可重復(fù)。如果這個(gè)六位數(shù)能被N整除，就算乙勝；如果這個(gè)六位數(shù)不能被N整除，就算甲勝。設(shè)N小于15，那么當(dāng)N取哪幾個(gè)數(shù)時(shí)，乙才能取勝？思路剖析我們列出乙不能獲勝的N的取值情況。N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個(gè)奇數(shù)（六位數(shù)的個(gè)位），就能使六位數(shù)不能被N整除，乙不能獲勝。N=5，甲可以在六位數(shù)的個(gè)位填

14、一個(gè)不是0或5的數(shù)，甲就獲勝。解答如果N=1，很明顯乙必獲勝。如果N=3或9，那么乙在填最后一全數(shù)時(shí)，總是把六位數(shù)字之和湊成3的整倍數(shù)或9的整倍數(shù)。因此乙必獲勝。當(dāng)N=7、11、13時(shí)是本題最困難的情況。注意到1001=71113，乙就有一種必勝的辦法。我們從左到右數(shù)這六位數(shù)，把第一位與第四位，第二位與第五位，第三位與第六位配對(duì)，甲在一對(duì)數(shù)位的一位上填上某一個(gè)數(shù)字后，乙就在這一對(duì)數(shù)位的另一位上填同樣的數(shù)字，這就保證所填成的六位數(shù)能被1001整除，因?yàn)槿舭次覀兊姆椒ǖ玫降牧粩?shù)是，由于。這個(gè)六位數(shù)就能被7、11或13整除，所以乙就能獲勝。綜合起，使乙獲勝的N是1、3、7、9、11、13。例9四名

15、學(xué)生做加法練習(xí)：任寫一個(gè)六位數(shù)，把它的個(gè)位數(shù)字（不等于0）拿到這個(gè)數(shù)的最左邊一位數(shù)字的左邊得到一個(gè)新的六位數(shù)，然后與原六位數(shù)相加，它們的得數(shù)分別是172536、568741、620708、845267，結(jié)果其中哪一個(gè)可能是正確的，為什么？思路剖析初看時(shí)，覺得困難，因?yàn)槭侨我鈱懙牧粩?shù)，不好找正確的一個(gè)結(jié)果。但如果仔細(xì)分析題意還是可以作出正確回答的。我們考慮本題的一個(gè)關(guān)鍵詞是：任寫一個(gè)六位數(shù)，把它的個(gè)位數(shù)字（注意題上說：不等于0）拿到這個(gè)數(shù)最左邊一位數(shù)字的左邊得到一個(gè)新的六位數(shù)，設(shè)原六位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，去掉個(gè)位數(shù)后的五位數(shù)是y，我們得到原的六位數(shù)10y+，新六位數(shù)100000+y。再按題目的要求往

16、下做就好想了！解答原的六位數(shù)和新六位數(shù)的和為10y+100000+y=100001+11y=11（9091+y），所以得數(shù)應(yīng)該是11的倍數(shù)。題中給出的四個(gè)得數(shù)哪一個(gè)正確呢？我們找到了判斷的標(biāo)準(zhǔn)了，就要看一看誰是11的倍數(shù)。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征：（2+7+8）（6+0+0）=11能被11整除，所以620708是正確的，其余的三個(gè)不正確。點(diǎn)津在這一章中，我們不但學(xué)習(xí)了一些數(shù)的整除特征，同時(shí)還學(xué)會(huì)了一些經(jīng)驗(yàn)和技巧。運(yùn)用這些技巧，在解題時(shí)會(huì)達(dá)到事半功倍的目的。同學(xué)們?cè)谧鲱}中也要注意積累和總結(jié)，比如這一講的例3，大家學(xué)習(xí)完后不難總結(jié)出如下結(jié)論：如果一個(gè)N位數(shù)能被某個(gè)數(shù)a整除，那么這個(gè)N位數(shù)連著寫次

17、后得到一個(gè)N位數(shù)，這個(gè)N位數(shù)一定能被a整除，如3003能被3、7、11、13整除（因?yàn)?003=371113），那么也能被3、7、11、13整除。在遇到這類有循環(huán)規(guī)律的數(shù)的整除問題時(shí)，我們可以先看這個(gè)數(shù)前一個(gè)或幾個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)是否能被某一個(gè)數(shù)整除，即采用這種分“節(jié)”處理的方法，相信同學(xué)們會(huì)總結(jié)出更多更好的規(guī)律，提高解題能力。發(fā)散思維訓(xùn)練1已知整數(shù)能被11整除，求所有滿足這個(gè)條件的整數(shù)。2一個(gè)能被11整除、首位數(shù)字為7、其余數(shù)字不相同的最小六位數(shù)是多少？3在eqoac(,25)79這個(gè)數(shù)的內(nèi)填上一個(gè)數(shù)字，使這個(gè)數(shù)能被11整除，方格內(nèi)應(yīng)填什么？4把三位數(shù)倍數(shù)。試求=？接連重復(fù)地寫下去，共寫1993個(gè)

18、，所得的數(shù)恰是91的5在28的前面連續(xù)寫上若干個(gè)1993，得到一個(gè)多位數(shù)：多位數(shù)能被11整除，那么它最少是幾位數(shù)？，如果這個(gè)參考答案1解：因?yàn)?1整除，所以根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征可知：11整除（5+6+7+8+9）-5a，即：11整除（35-5a）或11整除（5a-35）。又因?yàn)?5-5a=5（7-a），5a-35=5（a-7），5和11的最大公約數(shù)是1，所以11整除（7一a）或11整除（a-7）。因?yàn)閍是數(shù)位上的數(shù)字，所以a只能取09。經(jīng)驗(yàn)證得：當(dāng)a=7時(shí)，11整除（7一a）或11整除（a-7），即當(dāng)a=7時(shí)，11整除（35-5a）。故符合題意的整數(shù)只有5767778797。2解：設(shè)首位數(shù)字為7，其余各位數(shù)字各不相同的最小六位數(shù)為701234，而701234根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征還少5。所以符合題意的六位數(shù)應(yīng)是701239。3解：根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征“如果一個(gè)整數(shù)的奇