人教A版選修1-1教案32立體幾何中的向量方法第4課時(shí)含答案

1、 3.2.3坐標(biāo)法中解方程組求向量的有關(guān)問題【學(xué)情分析】：教學(xué)對(duì)象是高二的學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)具備空間向量與立方體幾何的相關(guān)知識(shí)，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的方向向量和平面的法向量，并且對(duì)坐標(biāo)法也有一定的認(rèn)識(shí)，本節(jié)課是進(jìn)一步通過坐標(biāo)法來解決立體幾何的一 些問題。我們可以將這些問題，轉(zhuǎn)化為空間向量的代數(shù)運(yùn)算和方程組來解決。【教學(xué)目標(biāo)】：(1)知識(shí)與技能：能根據(jù)圖形的特點(diǎn)建立合適的空間坐標(biāo)系并用坐標(biāo)表示點(diǎn)和向量；對(duì)某個(gè)向量能 用解方程組的方法求其坐標(biāo).(2)過程與方法：在解決問題中，通過數(shù)形結(jié)合與問題轉(zhuǎn)化的思想方法，加深對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解。(3)情感態(tài)度與價(jià)值觀： 體會(huì)把立方體幾何幾何轉(zhuǎn)化為向量問題優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)探索

2、精神?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：解方程組求向量的的坐標(biāo).教教學(xué)難點(diǎn)】：解方程組求向量的的坐標(biāo).【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、復(fù)習(xí)引 入.單位向量，平囿的法向量(1)單位向量一一模為 1的向量。(2)平面的法向量一一垂直于平面的向量。.坐標(biāo)法。為探索新知識(shí)做準(zhǔn) 備.二、探究與 練習(xí)一、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”學(xué)生回顧用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”，與老師共同得出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的讓學(xué)生通過回顧尋 找將立體幾何問題 轉(zhuǎn)化為向量問題的 步驟。點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(化

3、為向量問題)間距離和夾角等問題；(進(jìn)行向量運(yùn)算)(3)把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。二、例題例1:如圖，在止方體 ABCD-AB1C1D1中，棱長為1,可 的法向量為直線 DB1的方向向量.AB回到圖形問題)證：平面A1BCI例1在建立坐標(biāo)系 后，比較簡單，容 易把握。分析中的 方法是為配合本次 課的課題而設(shè)計(jì) 的。通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之分析：(1)建立空間坐標(biāo)系；用坐標(biāo)表示向量 AB,BCi,由下列關(guān)系設(shè)平面 A1BC1的方向向量為 n=(x,y,z)sr*-n?A1B 0,n?BC1 0列方程組求x,y,z.(4)證明向量n 而(解略)思考：有

4、更簡單的方法嗎？向量DB11與AB、BC1的數(shù)量積為零即可。例2, ABC比一個(gè)直角才!形，角 ABC是直角，SA垂直于平面 ABCDSA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面SCg平面SBA所成二面角的余弦。分析：求二面角的余弦，可以轉(zhuǎn)換為求它們的方向向量夾角的余弦。所以本題關(guān)鍵是求平面的法向量。解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、C、D、S的坐標(biāo)分別易知面SBA勺法向量ni設(shè)平面由n2 CD, n2為 A (0, 0, 0)、C (-1,L 1,(0, 0.5、0)、S (0, 0, 1)。1(0，2,0)z),由學(xué)生回答本例的 簡便解法。例2是一個(gè)典型的 通過解方程組求法 向量的問

5、題，這類 問題可以不用作出 二面角的平面角就 求出結(jié)果。2取y=2,因?yàn)橹灰?向量的方向。2z任取 nL1 (12,1卜：1 T n jjni -n2,.cos ni ,n2 mini即所求二面角得余弦值是例3如圖，一塊均勻的正三角形面的鋼板的例3是數(shù)學(xué)與物理 的綜合應(yīng)用問題， 求合力轉(zhuǎn)化為向量 的加法。質(zhì)量為500kg,在它的頂點(diǎn)處分別受 力F1, F2,F3, 每個(gè)力與同它相鄰的三 角形的兩邊之間的角都 是60 ,且|F1| |f2| |f3| 200kg.這塊鋼板在這些 力的作用下將會(huì)怎樣運(yùn) 動(dòng)？這三個(gè)力最小為多 少 時(shí)，才能提起這塊鋼板 ？分析：建立坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，然后進(jìn)行坐標(biāo)形

6、式下的向量運(yùn)算。 為簡化運(yùn)算，可以選擇以三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)、 一條邊所在直線為一 條軸、三角形所在平面為坐標(biāo)平面的坐標(biāo)系。平面，AB”方向?yàn)閥軸正方向,AB為y軸的單位長度幫助學(xué)生理解如何 建立坐標(biāo)系。解：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，平面 ABC為xAy坐標(biāo)建立空間直角坐標(biāo)系 Axyz，則正三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(0,0,0), B(0,1,0), C( ,1,0).22設(shè)力F1方向上的單位向量坐標(biāo) 為(x,y,z), 由于F1與AB,AC的夾角均為60 ,利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，得cos60cos601212(x,y,z)?(0,1,0),(x,y,z)?(葭；0工解得x1 12,y單位向量的

7、模為1。1,因此又因?yàn)閤2所以 F1200 (JF2 200 (類似地23)%200(3,0，3)它們的合力Fi+ F2F31 12、/112、/ 12、200( 一二(12, 2-,3) ,)200(0,0, 6)這說明，作用在鋼板上的合力方向向上，大小為200 J6kg,作用點(diǎn)為 O.由于 200J6 500,所以鋼板仍靜止不動(dòng)。探究：不建立坐標(biāo)系，如何解決這個(gè)問題？求每個(gè)力向上的分力。開拓學(xué)生思維。三、訓(xùn)練與 提高1,課本P113第11題。答案：3/8.學(xué)生進(jìn)行提高訓(xùn)練 應(yīng)用.四、小結(jié).根據(jù)圖形特點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)和向量，通 過向量解決問題。.個(gè)別點(diǎn)和向量的坐標(biāo)先假

8、設(shè)，再列方程組來求出。反思?xì)w納五、作業(yè)課本P112，第6題和P113第10題。練習(xí)與測試:（基礎(chǔ)題）1,已知S是 ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若 五=相8*,則x + y + zA到BC的距離是（）答：02,把邊長為a的正三角形ABC沿高線AD折成60，的二面角，點(diǎn)A. a答：DD.55a43,若a=(2x,1,3), b=(1, 2y,9),如果a與b為共線向量，則*=1,y=1B.x=,y= C.x=,y=D.x= ,y=2K 32解析：因?yàn)?a=(2x,1,3)與 b=(1, 2y,9)共線，故有 1 =- = , . x=t- ,y=-，應(yīng)選 C.答案：C,q=4,若空間三點(diǎn)

9、 A(1 , 5, 2)、B(2 , 4, 1)、Qp,3, q+2)共線，則 p=解析：: A B、C 三點(diǎn)共線，則且 3=x.C,即（1, 1, 3）=入（p1, 2, q+4）,1二；m：一 1 二-2/1,._3 =+ 4),.入=之，代入得 p=3, q=2.答案：32(中等題)5,棱長為a的正方體 OABC OiAiBiCi中，E、F分別為棱 AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF= X (0 xa)如圖，以。為原點(diǎn)，直線 OA、OC、OOi分別為X、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系求證：AiFXCiE； 當(dāng) BEF的面積取得最大值時(shí)，求二面角Bi-EF-B的正切值.證明:(1) Ai (a,

10、 0. a), F (a-x, a, 0), Ci (0, a, a),E (a, x, 0)所以AiF(x,a, a),CiE (a,x a, a),由此得 AiF?CiE=0,AiFXCiE(2)當(dāng) BEF的面積取得最大值時(shí)，E、F應(yīng)分別為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，可求得二面角Bi-EF-B的正切6,如圖，在棱長為i的正方體ABCABCD中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CDk的動(dòng)點(diǎn). 試確定點(diǎn)F的位置，使得 DEL平面ABF;解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立下圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bi設(shè) DF=x,則收0, 0, 0),B(i,0,0),D(0, i, 0),Ai(0,0,i),B(i,0,i),D (0,i,