2022年人教版高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)線》教案

1、任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù)線教學(xué)背景： 1 教材位置分析：三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,而三角函數(shù)線的概念及其應(yīng)用不僅表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,又貫穿整個三角函數(shù)的教學(xué). 借助三角函數(shù)線可以推出三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,求解三角函數(shù)不等式,探究三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),可以說 ,三角函數(shù)線是爭論三角函數(shù)的有利工具 .2同學(xué)現(xiàn)實分析：學(xué)習(xí)本節(jié)前 的定義 , 三角函數(shù)值在各象限的符號 線的查找做好了學(xué)問預(yù)備 . 教學(xué)目標(biāo)：, 同學(xué)已經(jīng)把握任意角三角函數(shù) , 以及誘導(dǎo)公式一 , 為三角函數(shù)1學(xué)問目標(biāo) : 使同學(xué)把握如何利用單位圓中的有向線段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值 些簡潔的三角函數(shù)問題 .,

2、并能利用三角函數(shù)線解決一2才能目標(biāo) : 通過尺規(guī)作圖讓同學(xué)經(jīng)受概念的形成過程,提高 同學(xué)觀看、發(fā)覺、類比、猜想和試驗探究的才能；充分發(fā)揮同學(xué)的 自主探究性,讓同學(xué)借助所學(xué)學(xué)問自己去發(fā)覺新問題,并加以解 決,提高同學(xué)抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維才能 .3情感目標(biāo)：激發(fā)同學(xué)對數(shù)學(xué)爭論的熱忱,培育同學(xué)勇于發(fā) 現(xiàn)、勇于探究、勇于創(chuàng)新的精神；通過同學(xué)之間、師生之間的溝通 . 合作,實現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境教學(xué)重點難點：1重點：三角函數(shù)線的作法及其簡潔應(yīng)用 .2難點：利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來 .教學(xué)方法與教學(xué)手段：1教法

3、挑選：“ 設(shè)置問題,探究辨析,歸納應(yīng)用,延長拓展” 科研式教學(xué) .2學(xué)法指導(dǎo)：類比、聯(lián)想,產(chǎn)生學(xué)問遷移；觀看、試驗,體驗學(xué)問的形成過程；猜想、求證,達(dá)到學(xué)問的延展 .教學(xué)過程：一、設(shè)置疑問 , 試驗探究（ 17 分鐘）一設(shè)置疑問,點明主題l前面我們學(xué)習(xí)了角的弧度制,角 弧度數(shù)的肯定值 r,其中l(wèi)是以角 作為圓心角時所對弧的長,r 是圓的半徑 .特殊地 , 當(dāng) r =1 時,l ,此時的圓稱為單位圓,這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對圓心角弧度數(shù)的肯定值,那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今日一起要爭論的問題 . 設(shè)計意圖：既可以引出單位圓,又可以使同學(xué)通過類

4、比聯(lián)想主動、快速的探究出三角函數(shù)值的幾何形式 .（二）概念學(xué)習(xí),分散難點有向線段：帶有方向的線段 . （1）方向：按書寫次序,前者為起點,后者為終點,由起點指向終點 . 如：有向線段 OM,O 為起點, M 為終點,由 O 點指向 M 點. （動態(tài)演示）2 數(shù)值：（只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線段）肯定值等于線段的長度,如方向與坐標(biāo)軸同向,取正值 ;與坐標(biāo)軸反向,取負(fù)值 .如：OM= 1,ON= -1,AP = 設(shè)計意圖：相關(guān)概念的學(xué)習(xí)分散了教學(xué)難點 , 使同學(xué)能夠更多的環(huán)繞重點綻開探究和爭論 . （三）試驗探究角 的終邊上任意一點 P除端點外 的坐標(biāo)是（x y ）,它與原y點的距離是

5、 r, 比值 r 叫做 的正弦 .摸索: 能否用幾何圖形表示出角 的正弦呢 .同學(xué)聯(lián)想角的弧度數(shù)與弧長的轉(zhuǎn)化 , 類比推測 : 如令 r=1 ,就sin y. 取角 的終邊與單位圓的交點為 P, 過點 P 作 軸的垂線,設(shè)垂足為M,就有向線段MP= ysin. 同學(xué)分析的同時 , 老師用幾何畫板演示 請同學(xué)利用幾何畫板作出垂線段MP,并轉(zhuǎn)變角的終邊位置 , 觀看終邊在各個位置的情形 , 留意有向線段的方向和正弦值正負(fù)的對應(yīng) .特殊地 , 當(dāng)角的終邊在 軸上時 , 有向線段 MP變成一個點 , 記數(shù)值為0.這條與單位圓有關(guān)的有向線段MP叫做角的正弦線 .2. 摸索: 用哪條有向線段表示角的余弦比

6、較合適 .并說明理由 .請同學(xué)推導(dǎo)說明 , 老師用圖形演示 . 有向線段 OM叫做角 的余弦線 .y tan 3. x 如何用有向線段表示？爭論焦點：如令x=1, 就tany =AT,但是其次、三象限角的終邊上沒有橫坐標(biāo)為 1 的點,如此時取=-1 的點 T,tan=-=TA, 有向線段的表示方法又不能統(tǒng)一.引導(dǎo)觀看：當(dāng)角的終邊互為反向延長線時,它們的正切值有什么關(guān)系？統(tǒng)一熟悉：tan方案 1：在象限角的終邊或其反向延長線上取=1 的點 T,就y =AT；tan方 案2 ： 借 助 正 弦 線 、 余 弦 線 以 及 相 似 三 角 形 知 識 得 到y(tǒng)MPATAT.xOMOA動畫演示驗證 :

7、當(dāng)角 的終邊落在坐標(biāo)軸上時,tan 與有向線段 AT的對應(yīng) .這條與單位圓有關(guān)的有向線段 AT叫做角 的正切線 . 二、作法總結(jié) , 變式演練（ 13 分鐘）（一）作法總結(jié)正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線 .請大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線的作法 , 并用幾何畫板演示 一學(xué)生描述 , 同時用電腦演示 ：第一步：作出角 的終邊,與單位圓交于點 P；其次步：過點 P作 軸的垂線,設(shè)垂足為 M,得正弦線 MP、余弦線 OM；第三步：過點 A1,0 作單位圓的切線,它與角 的終邊或其反向延長線的交點設(shè)為 T,得角 的正切線 AT.特殊留意：三角函數(shù)線是有向線段,在用字母表示這些線段時,要留意它們的方向

8、,分清起點和終點,書寫次序不能顛倒 . 余弦線以原點為起點,正弦線和正切線以此線段與坐標(biāo)軸的公共點為起點,其中點 A為定點（ 1,0）. 設(shè)計意圖：準(zhǔn)時歸納總結(jié),加深學(xué)問的懂得和記憶 .三、變式演練 , 提高才能 ：練習(xí) . 利用幾何畫板畫出以下各角的正弦線、余弦線、正切 線：（1）5（2）136 ; 6 .同學(xué)先做 , 然后投影展現(xiàn)一同學(xué)的作品 置和方向 . , 并強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)線的位設(shè)計意圖：鞏固練習(xí) , 精確把握三角函數(shù)線的作法.例 1 在單位圓中畫出滿意sin1的終邊 .2 的角共同分析：設(shè)角的終邊與單位圓交于P,x y , 就 siny,所以要作出滿意sin12 的角的終邊,只要在單位

9、圓上找出縱坐標(biāo)1為2 的點 P,就射線 OP即為的終邊 . （幻燈片動態(tài)演示）設(shè)計意圖： 逆向思維 , 敏捷運(yùn)用三角函數(shù)線 線求解三角函數(shù)不等式 組 作鋪墊 ., 并為利用三角函數(shù)sin 1例 2 在單位圓中畫出滿意 2 的角 的終邊的范疇,并由此寫出角 的集合：1sin分析：先作出滿意 2 的角的終邊 例 1 已做 ,然后依據(jù)已知條件確定角 終邊的范疇 . （幻燈片演示）2 k 2 k 5 , k Z答案：（ 1）6 6練習(xí)：1. 在單位圓中畫出滿意cos1的終邊 . .2 的角2. 在單位圓中畫出滿意cos1的終邊的范疇,并由2 的角此寫出角的集合 . 3. 求函數(shù)y2sin112cos的

10、定義域 .答案：2k22 k5,kZ. 36設(shè)計意圖：數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來表達(dá)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化；借助三角函數(shù)線求解三角函數(shù)方程和不等式又發(fā)揮 了由形到數(shù)的龐大作用 . 四、思維拓展,論壇溝通觀看角的終邊在各位置的情形, 結(jié)合三角函數(shù)線和已學(xué)學(xué)問,你能發(fā)覺什么規(guī)律 , 得出哪些結(jié)論？引導(dǎo)同學(xué)進(jìn)行發(fā)散式思維,自主 探究三角函數(shù)線在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 同學(xué)得出的結(jié)論有以下幾種：1 sin22 cos1；, 正2 sin + cos 1;3 -1sin1, - 1cos1, tanR;4 如兩角終邊互為反向延長線,就兩角的正切值相等弦、

11、余弦值互為相反數(shù) ;5 當(dāng)角的終邊在第一象限逆時針旋轉(zhuǎn)時,正弦、正切值逐步 增大,余弦值逐步減小 ;6 當(dāng)角的終邊在直線yx的右下方時 , sincos; 當(dāng)角的終邊在直線yx 的左上方時 , sincos; 設(shè)計意圖：給同學(xué)建設(shè)一個開放的、有活力、有個性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境 . 論壇溝通既能展現(xiàn)個人才華, 又能照料到各個層次的同學(xué).來自他人的信息為自己所吸取,自己的既有學(xué)問又被他人的視點喚 起,產(chǎn)生新的思想 . 這樣的學(xué)習(xí)過程使同學(xué)在輕松達(dá)成一個個階段 目標(biāo)之后,順當(dāng)?shù)竭_(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境域 . 五、歸納小結(jié) , 課堂延展（一）歸納小結(jié) 1. 回憶三角函數(shù)線作法 .2. 三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解

12、決有關(guān)問題的重要工具,自從聞名數(shù)學(xué)家歐拉提出三角函數(shù)與三角函數(shù)線的對應(yīng)關(guān)系,使得 對三角函數(shù)的爭論大為簡化,現(xiàn)在仍舊是我們解三角不等式、比較大小、以及今后爭論三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ) . 設(shè)計意圖：回憶三角函數(shù)線作法 , 再次加深懂得和記憶 . 點明三角函數(shù)線在其他方面的應(yīng)用, 以及數(shù)形結(jié)合思想 , 便于同學(xué)在后續(xù)學(xué)習(xí)中更深化的摸索 , 更廣泛的爭論 . （二）鞏固創(chuàng)新,課堂延展 鞏固作業(yè) : 習(xí)題 4.3 1,2提升練習(xí)：1. 已知：sin sin,那么以下命題成立的是（）A如、是第一象限的角,就 cos cos .B. 如、是其次象限的角,就 tan tan .C. 如、是第三象限的角,就

13、 cos cos .D. 如、是第四象限的角,就 tan tan .2求以下函數(shù)的定義域：（1） y =2cosx1; 2 y = lg34sin2x .設(shè)計意圖：既能保證全體同學(xué)的鞏固應(yīng)用,又兼顧學(xué)有余力的同學(xué),同時將探究的空間由課堂延長到課外 . 六、板書設(shè)計和教學(xué)反思七、作業(yè)布置：教學(xué)設(shè)計說明：1. 積極響應(yīng)新課標(biāo)教學(xué)理念,把課堂教給同學(xué),提倡同學(xué)自主學(xué)習(xí).在新課標(biāo)教學(xué)理念指導(dǎo)下,充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢,既豐富三角函數(shù)線的概念,又培育了同學(xué)發(fā)覺問題、解決問題的才能,提高同學(xué)的探究精神、創(chuàng)新意識 . 2. 不僅要讓同學(xué)把握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)問 究方法 . , 更要讓他們領(lǐng)會科學(xué)的研課堂教學(xué)最終是為了讓同學(xué)擺脫課堂, 獨立學(xué)習(xí) , 所以不僅要讓同學(xué)把握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)問 , 更要讓他們領(lǐng)會科學(xué)的爭論方法 . 本節(jié)課所采納的科研式教學(xué)法表達(dá)了爭論新問題的一般思路