中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)及應(yīng)用

1、中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)及應(yīng)用21世紀(jì)課程改革的一個(gè)重要目標(biāo)就是要加強(qiáng)綜合性、應(yīng)用性內(nèi) 容，重視聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際和社會(huì)實(shí)踐。這是在課程、教學(xué)中注入素 質(zhì)教育內(nèi)容的具體要求。因此，進(jìn)入 21世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù) 量和分值在會(huì)考和高考中將逐步增加，中、低檔題目將逐漸齊全，并 將在命題中轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的學(xué)科體系觀念， 結(jié)合生活實(shí)際和社會(huì)實(shí)踐，突 出理論與知識(shí)結(jié)合，理論與實(shí)踐結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社會(huì)、關(guān)心未來， 實(shí)現(xiàn)高考命題改革與中學(xué)教育、教學(xué)觀念改革的結(jié)合，成為推動(dòng)素質(zhì) 教育發(fā)展的重要內(nèi)容。重視和加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用， 是數(shù)學(xué)教學(xué) 為實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的突破口和出發(fā)點(diǎn)。首先，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，就是指用數(shù)學(xué)的方法將一個(gè)表

2、面上非數(shù)學(xué) 問題或非完全的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成完全形式化的數(shù)學(xué)問題。求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的思路和方法，其一般步驟是：.解讀：領(lǐng)會(huì)題意，并把題中的普通語言，譯成數(shù)學(xué)語言；.建模：根據(jù)題目要求，分析量與量之間的關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)?數(shù)學(xué)模型，并注意題目對(duì)變量的限制條件，加以括注；.解模：對(duì)已經(jīng)數(shù)學(xué)化的問題，用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)處理， 求出解答；.驗(yàn)核：將數(shù)學(xué)問題的解代入實(shí)際問題核查，舍去不合題意的 解，并作答。我們可以用示意圖表示為：|求祠魔|壁暨、薇學(xué)模型!:推理 演 苴 * 1不爆流啊 1I實(shí)際1冗鍍的解T:載字模郊的群其次，根據(jù)大綱要求和現(xiàn)行教材內(nèi)容，中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要 內(nèi)容有：集合交、并、補(bǔ)的應(yīng)用，不

3、等式的應(yīng)用，函數(shù)的應(yīng)用，指數(shù) 函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用，向量的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的應(yīng)用， 線性規(guī)劃的應(yīng)用，圓錐曲線的應(yīng)用，等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，較 復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題舉例，立體幾何的應(yīng)用等。止匕外，結(jié)合時(shí)代發(fā)展的特 點(diǎn)，涉及現(xiàn)代生活的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)圖表（識(shí)別、分析、繪制），數(shù)據(jù)擬合 （最小二乘法），動(dòng)態(tài)規(guī)劃（貨郎擔(dān)問題，生產(chǎn)計(jì)劃問題等），網(wǎng)絡(luò)規(guī) 劃（繪制、計(jì)算、優(yōu)化），矩陣對(duì)策，股票、彩票發(fā)行模型，風(fēng)險(xiǎn)決 策，市場(chǎng)預(yù)測(cè)，存貯原理，供求模型，蛛網(wǎng)模型，法律與犯罪問題， 就業(yè)與失業(yè)，廣告與稅款等，以及有關(guān)跨學(xué)科的生態(tài)平衡、環(huán)境保護(hù)、 人口生命等方面的問題的建模。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)對(duì)上述內(nèi)容，對(duì)其建模的主

4、要類型進(jìn)行化歸。一、建立或化歸為函數(shù)模型如現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在著最優(yōu)化問題-最佳投資、最小成本 等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變 量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和方法解決。例：在NBA勺一場(chǎng)比賽中，某球員跳起投籃，球沿拋物線y =1x2+3.5運(yùn)行（如圖所示），然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi)。已知籃框5的中心離地面的距離為3.05米。（1）球在空中運(yùn)行的最大高度為多少米？ （2）如果該球員跳投時(shí)，球出手離地面的 高度為2.25米，請(qǐng)問他距離籃框中心的水 平距離是多少？前言：在我們接觸到的與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí) 際問題中，有部分題目，其特點(diǎn)是題中給出 解析式，要求學(xué)生通過對(duì)解析式的觀察、分

5、 析，畫出圖象，并根據(jù)圖象找出正確的數(shù)量 關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。分析：（1）由解析式可知，拋物線的開口方向向下，故函數(shù)有最大值3.5 ,此時(shí)的值即為球在空中運(yùn)行的最大高度；（2）由籃框的中心離地 面的距離為3.05米，可知此時(shí)的函數(shù)值是3.05,可求出籃框的中心 所對(duì)應(yīng)的自變量的值，即可求出籃框中心與對(duì)稱軸的水平距離；由該球員跳投時(shí)，球出手離地面的高度為2.25米，可知此時(shí)的函數(shù)值是 2.25 ,可求出該球員所在位置對(duì)應(yīng)的自變量的值，即可求出該球員與對(duì)稱軸的距離。兩距離之和即為該球員與籃框中心的水平距離。解：（1）因?yàn)閽佄锞€y = 1x2+ 3.5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 3.5）,所以5球在空中運(yùn)行

6、的最大高度為3.5米；在 y=-1x2+3.5 中，y= 3.05 時(shí)，3.05 = 1 X2+3.5 ,解得 x2 = 2.25, 55所以x= 1.5 ,又因?yàn)閤0,所以x= 1.5 ,當(dāng)丫= 2.25 時(shí)，2.25 = -1x2 +3.5,解得 x2 = 6.25 ,所以 x=2.5,5又因?yàn)閤0,所以x= - 2.5 ,故運(yùn)動(dòng)員距離籃框中心水平距離為11.5 | + 1 - 2.5 | = 4米。反思：通過對(duì)解析式的分析，畫出圖象，并通過圖象將生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，本題是這類題中最具代表性的。教學(xué)中，應(yīng)先讓學(xué)生把“球運(yùn)行的最大高度”及“人手、籃框的高度”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。抓 住這兩點(diǎn)，學(xué)生

7、就能很容易地找出數(shù)量關(guān)系，建立起正確的數(shù)學(xué)模型。二、建立或化歸為方程或不等式模型現(xiàn)實(shí)世界中廣泛存在著數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，如投資決策、 人口控制、資源保護(hù)、生產(chǎn)規(guī)劃、交通運(yùn)輸、水土流失等問題中涉及 的有關(guān)數(shù)量問題，常歸結(jié)為方程或不等式求解。例（2007山東卷）某公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí) 間不超過300分鐘的廣告，廣告費(fèi)用不超過9萬元。甲、乙電視臺(tái)的 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘。假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái) 為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元。問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能 使公司的收益最大？最大收益是多少

8、萬元？前言：這是高考中繼江蘇卷線性規(guī)劃大題后第二個(gè)線性規(guī)劃大題。要 解決這一題，學(xué)生需掌握如何用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的解題思路： 首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目 標(biāo)函數(shù)。然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行 域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解。 最后，還要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué) 模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解。操作步驟：教師引導(dǎo)學(xué)生列出如下表格:甲乙合計(jì)時(shí)間x分鐘y分鐘300收費(fèi)500元/分鐘200元/分鐘9萬元理清了量與量間的關(guān)系，緊接著建立模型。設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為 x分鐘和y分x y 300, y 0.鐘

9、，總收益為Z元。根據(jù)題意可列出約束條件500 x 200y 90000, x 0,目標(biāo)函數(shù)為z 3000 x 2000y二元一次不等式組等價(jià)于x y 300,5x 2y 900,x 0,y 0.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖。作直線 l :3000 x 2000y 0,即3x 2y 0平移直線l,從圖中可知，當(dāng)直線l過M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值x + y = 3005x+2y = 900，解得 x=100, y=200點(diǎn)M的坐標(biāo)為（100,200）二 Zmax =3000 x+2000y=700000 （元）回歸實(shí)際問題。因此該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘

10、 廣告，公司的收益最大，最大收益是 70萬元。反思：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，分析題目的已知條件，找 出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵。教學(xué)中，教師應(yīng)注意指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)處 理數(shù)據(jù)（分類、列表格），應(yīng)讓學(xué)生切實(shí)學(xué)會(huì)從實(shí)際問題抽象出約束 條件及目標(biāo)函數(shù)。建立或化歸為數(shù)列模型現(xiàn)實(shí)生活中的許多經(jīng)濟(jì)問題，如增長(zhǎng)率、利息（單利、復(fù)利） 、 分期付款等與時(shí)間相關(guān)的實(shí)際問題；生物工程中的細(xì)胞繁殖與分裂等 問題；人口增長(zhǎng)、生態(tài)平衡、環(huán)境保護(hù)，物理學(xué)上的衰變、裂變等問 題，常通過建立相應(yīng)的數(shù)列模型求解。例：據(jù)估計(jì)，由于伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)的影響，伊拉克將產(chǎn)生 100萬難民, 聯(lián)合國(guó)難民署計(jì)劃從4月1日起為伊難民運(yùn)送食品。第一天運(yùn)

11、送 1000t,第二天運(yùn)送1100t,以后每天都比前一天多運(yùn)送100t,直到達(dá) 到運(yùn)送食品的最大量，然后每天減少 100t,總共運(yùn)送21300t,連續(xù) 運(yùn)送15天，求在第幾天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，這是一道以國(guó)際時(shí)事為背景的應(yīng)用題，從題中給出的信息我們發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列的模型。分析：由于前段時(shí)間每天都比前一天多運(yùn)送 100t,后段時(shí)間每天 減少100t,所以每天運(yùn)送的食品量構(gòu)成兩個(gè)等差數(shù)列。易知第一個(gè)等 差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，從而求出通項(xiàng)公式。構(gòu)造出第一個(gè)等差數(shù)列后， 以此為基礎(chǔ)再構(gòu)造第二個(gè)等差數(shù)列。題中連續(xù)15天，總共運(yùn)送21300t,即給出了兩個(gè)數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)與總和， 所以可劃歸為

12、等差數(shù)列的求和問題。構(gòu)建模型：設(shè)在第n天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量，則前 n天每天運(yùn)送的食品量 是首項(xiàng)為1000,公差為100的等差數(shù)列，所以a nT000 十(n 1)x100 100n十900從第(n+1)天起每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為 100n+800,公差為-100的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為 15-n。所以bn =(100n十800)十(14n)(100)解答并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停阂李}意，得n 100000n +900 + (15 n) (100n +800) -(100n+ 800) + (14 n)( 100)22二 21300整理化簡(jiǎn)得n2 31n+198=0 ,解得n=9或n=22 (舍去)問題回歸：因

13、此在第9天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量。反思：此題的難點(diǎn)在構(gòu)建模型以及求解問題兩步， 應(yīng)注意點(diǎn)撥學(xué) 生分析首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式。其次，教學(xué)時(shí)， 應(yīng)特別提點(diǎn)學(xué)生注意分清所要涉及的量是 an ,還是Sn ,同時(shí)應(yīng)理清 項(xiàng)數(shù)，切不可多一項(xiàng)或少一項(xiàng)。建立或化歸為幾何模型現(xiàn)實(shí)世界中涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，如航行、建筑、測(cè)量、 人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道等，常需建立相應(yīng)的幾何模型，應(yīng)用幾何知識(shí)，轉(zhuǎn) 化為用方程或不等式，或三角知識(shí)求解。 TOC o 1-5 h z 例、我艦在敵島A南偏西500相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由 島沿北偏西100的方向以10海里/時(shí)的速度航行。問我艦需以多大速 度、沿什么

14、方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？C前言：本題是一個(gè)解斜三角形的實(shí)際問題， 要在理解一 八 些術(shù)語(如坡角、俯角、方位角、方向角等)的基礎(chǔ)上，/ 正確地將實(shí)際問題中的長(zhǎng)度、角度看成三角形相應(yīng)的邊/1：和角，創(chuàng)造可解的條件，綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)以及/正弦定理和余弦定理來解決。/ 7A A活動(dòng)：首先，教師應(yīng)與學(xué)生一起弄清“南偏西 /，丁500”及“北偏西100”這兩個(gè)方位角如何畫？由圖 / /*可以看出，要求我艦的追及速度及方向，必須 /X 先求BC及 /ABC;由于在 ABC 中，AB=12, b以 AC=20,Z BAC= 400 +800 = 1200,于是問題歸 結(jié)為”已 知三角形的兩邊和它們

15、的夾角，求第三邊”這一數(shù)學(xué)模型。解析：如圖，在 ABC中，由余弦定理得BC2 二 AC2 I AB2 2ACABcos/BAC221人=20 112 -2 X20X12X（一）= 784, BC = 28我艦的追及速度為14海里/時(shí)。又在 ABC中，由正弦定理得AC _ BCsin B sin A即 sin BAC sin A20X,32BC 285.314/ABC = arcsin5-14答：我艦需以14海里/時(shí)的速度沿北偏東500arcsin5巨的方向才能用142小時(shí)追上敵艦。反思：此類題將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何背景，因此教學(xué)時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，可充分利用多媒體課件給學(xué)生 以動(dòng)態(tài)演示，加強(qiáng)直觀感。建模能力是解題者對(duì)各種能力的