數(shù)學(xué)小課題研究教學(xué)案例約數(shù)和倍數(shù)單元教學(xué)

1、數(shù)學(xué)小課題研究教學(xué)案例約數(shù)和倍數(shù)單元教學(xué)一、單元整體安排約數(shù)和倍數(shù)是人教版九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)第三單元內(nèi)容，教材里知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)的順序是：整除約數(shù)和倍數(shù)的意義能被2、3、5整除的數(shù)的特征質(zhì)數(shù)合數(shù)互質(zhì)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)最大公約數(shù)最小公倍數(shù)等。我先從最小公倍數(shù)開(kāi)始帶領(lǐng)學(xué)生來(lái)研究學(xué)習(xí)這個(gè)單元。根據(jù)教師用書(shū)的建議，本單元需要十二課時(shí)完成，我計(jì)劃用六個(gè)課時(shí)完成。我的想法是，打破課堂四十分鐘的局限，把研究延伸到課下和課外，把以聽(tīng)、練為主的學(xué)習(xí)方式改為自己思考、與同學(xué)及家長(zhǎng)共同研究，還可以利用網(wǎng)絡(luò)、圖書(shū)等查尋資料；課堂上，由學(xué)生匯報(bào)、展示小組的研究成果，然后全體同學(xué)再研究、共同進(jìn)步。第一課時(shí)，在學(xué)生對(duì)本單

2、元知識(shí)內(nèi)容一點(diǎn)也沒(méi)接觸的情況下，嘗試著直接學(xué)習(xí)本單元的最后一個(gè)知識(shí)內(nèi)容最小公倍數(shù)，這是一節(jié)常規(guī)課；第25課時(shí)為小課題研究課；第6課時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的梳理和總結(jié)，是一節(jié)整理復(fù)習(xí)課。課題的確定本單元概念多，并且比較抽象。學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，容易混淆概念，做題時(shí)很容易出錯(cuò)，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也不大。我班學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)小課題研究的熱情很高，在課外小課題研究中解決了一些學(xué)生生活和學(xué)習(xí)中遇到的很多有趣的數(shù)學(xué)小問(wèn)題。能不能把這種研究引入單元教學(xué)呢？我想是可以的。由本單元的最后部分開(kāi)始，拋出一個(gè)生活中學(xué)生比較熟悉的問(wèn)題，讓學(xué)生去研究，在老師的幫助下，遇到什么問(wèn)題，就去研究解決什么問(wèn)題，一步一步深入下去，通過(guò)研究

3、一個(gè)一個(gè)問(wèn)題形成的一個(gè)一個(gè)小課題，等課題研究完了，本單元的所有知識(shí)內(nèi)容也就學(xué)完了。這樣不但大大調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，還培養(yǎng)了學(xué)生的研究能力及合作學(xué)習(xí)能力。課題的布置與指導(dǎo)1第一課時(shí)，在學(xué)生一點(diǎn)也沒(méi)接觸本單元知識(shí)內(nèi)容的情況下，嘗試著直接學(xué)習(xí)本單元的最后一個(gè)知識(shí)點(diǎn)最小公倍數(shù)。第二課時(shí)，研究約數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)和互質(zhì)數(shù)。在研究這些問(wèn)題時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)與它的約數(shù)間有著很多的聯(lián)系，本節(jié)課后讓學(xué)生課下重點(diǎn)研究2、3、5的倍數(shù)的規(guī)律。這樣就引入了第三課時(shí)。第三課時(shí)：研究能被2、3、5整除的數(shù)的特征。掌握了能被2、3、5整除的數(shù)的特征，對(duì)于很多的數(shù)，學(xué)生都能很快地判斷出是否是合數(shù)。下節(jié)課讓學(xué)生研究怎么能盡快

4、地找出一個(gè)合數(shù)有幾個(gè)因數(shù)呢？引出第四節(jié)課的學(xué)習(xí)。第四課時(shí)：在鞏固上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，研究分解質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)時(shí)既安排學(xué)生研究分解一個(gè)數(shù)的，也安排學(xué)生研究一組數(shù)（含兩個(gè)數(shù)）如何分解。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)一起分解的時(shí)候也有一些有趣的現(xiàn)象，讓學(xué)生帶著問(wèn)題回家繼續(xù)深入研究，第二天上課時(shí)在小組內(nèi)交流。然后引出第五課時(shí)要研究學(xué)習(xí)的內(nèi)容求最大公約數(shù)。其實(shí)課上到這兒。第五課時(shí)：重點(diǎn)研究如何又快又簡(jiǎn)便的求出兩個(gè)數(shù)或者三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。第六課時(shí)：指導(dǎo)學(xué)生整理本單元的知識(shí)內(nèi)容，把學(xué)過(guò)的概念進(jìn)行歸納整理，在自己的頭腦中建立起本單元內(nèi)容的知識(shí)體系。由于這一單元知識(shí)內(nèi)容連貫性非常強(qiáng)，教學(xué)時(shí)間密度大，所以課下沒(méi)有多少時(shí)

5、間進(jìn)行指導(dǎo)，我是這樣解決這個(gè)問(wèn)題的：首先分組時(shí)我就根據(jù)學(xué)生研究能力的強(qiáng)弱進(jìn)行組合搭配，研究出成果的部分同學(xué)第二天迫不及待的就將自己的發(fā)現(xiàn)匯報(bào)給老師和小組成員，我表?yè)P(yáng)他們研究的積極性高，也對(duì)他們研究的內(nèi)容進(jìn)行初次指導(dǎo)。然后在課開(kāi)始的前幾分鐘內(nèi)，安排小組同學(xué)交流自己的研究發(fā)現(xiàn)，以強(qiáng)帶弱。我再利用這一時(shí)間了解每個(gè)小組研究到了什么程度，做到心中有數(shù)，進(jìn)行二次指導(dǎo)，再有針對(duì)性的選取有代表性的小組進(jìn)行匯報(bào)展示。第一課時(shí)最小公倍數(shù)四、課堂教學(xué)實(shí)錄1課前游戲。師：同學(xué)們我們來(lái)做拍手游戲，我拍幾下，你們拍出我的二倍好嗎？師，拍二下，拍三下，學(xué)生拍出二、三的二倍數(shù)。（游戲中讓學(xué)生感知倍數(shù)）【評(píng)析：課前的互動(dòng)游戲蘊(yùn)

6、藏著倍數(shù)的知識(shí)，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，又使學(xué)生初步感知倍數(shù)?！浚ㄒ唬┕适乱霂煟海ǘ嗝襟w演示）給大家講一個(gè)故事，從前，在美麗的大海邊，有一個(gè)小漁村，村里住著哥弟倆。有一年，他們給自己立了一個(gè)規(guī)矩，哥哥說(shuō)：“我連續(xù)打3天魚(yú)休息一天?！钡艿苷f(shuō)：“我連續(xù)打5天魚(yú)要休息一天?！庇幸晃怀抢锏呐笥?，在7月1日這天想：“我瞅個(gè)他們倆都在家休息的日子去看他們，哪天去好呢？”在這一個(gè)月里，他可以選哪些日子去呢？你們能幫他找出來(lái)嗎？建議小組分工合作。（教師巡視指導(dǎo)，課件顯示七月份日歷。）小組匯報(bào)，老師隨學(xué)生的匯報(bào)板書(shū)。哥的休息日：4 8 12 16 20 24 28弟的休息日：6 12 18 24 30哥弟共同的

7、休息日：12 24師：哥的休息日正好全是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)？生：4師：弟的休息日正好全是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)？生：6師：哥弟共同的休息日正好是（4）和（6）公有的倍數(shù)，如果這位朋友想盡早地去看這哥倆，應(yīng)該哪天去呢？（引出12是4和6的最小的公倍數(shù)。）隨著學(xué)生的回答，老師完成板書(shū)。哥弟共同的休息日： 12 24（4和6公有的倍數(shù)）：12 24最小公倍數(shù)師：如果不只是在七月，可以繼續(xù)下去的話，4和6的倍數(shù)，還有哪些呢？（學(xué)生依次答出，并且能說(shuō)出有無(wú)限多個(gè)。）（課件顯示公倍數(shù)、最小公倍數(shù)概念）【評(píng)析：由數(shù)學(xué)小故事引入，學(xué)生感受到公倍數(shù)在生活中的應(yīng)用價(jià)值，借助生活實(shí)際學(xué)生很自然的理解了公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，又為

8、進(jìn)一步探索求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法做了鋪墊?！?、師：最小公倍數(shù)在生活的用處可大著呢，我們很有必要來(lái)研究一下怎么找兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。現(xiàn)在同學(xué)們隨便找兩個(gè)數(shù)，動(dòng)動(dòng)腦筋，看怎樣能從中盡快找出他們的最小公倍數(shù)?？紤]好自己的想法后再在組內(nèi)交流。（學(xué)生交流，老師巡視指導(dǎo)）【評(píng)析：從特殊到一般，讓學(xué)生研究怎樣求任意兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，大家集思廣益，在小組內(nèi)把自己的想法進(jìn)行交流。既培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，又提高了小組合作學(xué)習(xí)的能力?！浚ǘ┙涣鞅嫖?、師：剛才我看到很多同學(xué)有自己的想法，討論得很熱烈?，F(xiàn)在哪個(gè)小組愿意把你們的研究成果展示給大家？2、一小組代表：我們受老師的啟發(fā)，也把兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)按照一定

9、的順序各列了一些，從中能找出他們的最小公倍數(shù)。比如：6和9。6的倍數(shù)有：6 12 18 24 30 36 42 48 54 9的倍數(shù)有：9 18 27 36 45 54 （學(xué)生用彩筆邊標(biāo)邊說(shuō)）從中不難看出來(lái)，36是6和9的最小公倍數(shù)。大家認(rèn)為我們這樣做，對(duì)嗎？生1：把倍數(shù)一一列舉出來(lái)，找公倍數(shù)就非常清楚了。生2：方法是對(duì)的，只是有些麻煩?！驹u(píng)析：學(xué)生運(yùn)用列舉法，找出了兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。雖然麻煩一些，但方法容易掌握，得到同伴認(rèn)可的同學(xué)熱情高漲，教師這里應(yīng)該及時(shí)表?yè)P(yáng)，增進(jìn)學(xué)生的自信心?！?、三小組代表：我們組研究發(fā)現(xiàn)，求4和6的最小公倍數(shù)，可以把4和6乘起來(lái)，然后再除以2，就得到這兩個(gè)數(shù)

10、的最小公倍數(shù)。象8和10，6和8等也是這樣。生：是不是所有的數(shù)都可以這樣呢？師：同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上多寫(xiě)幾組，看看，是不是任意兩個(gè)數(shù)都可以采用這種方法。（不一會(huì)就有學(xué)生舉手要求發(fā)言。）生：有的數(shù)是可以的，但有的不行，比如上面剛剛提到的6和9的最小公倍數(shù)，用這個(gè)方法，先相乘后除以2，是27，27并不是6和9的最小公倍數(shù)。生:我舉個(gè)例子比如8和16乘起來(lái)是128，再除以2是64。64并不是他們的最小公倍數(shù)。生：我也發(fā)現(xiàn)這種方法行不通，比如最簡(jiǎn)單的1和2，如果用122=1，很明顯1不是他們的最小公倍數(shù)。（三組同學(xué)連連點(diǎn)頭。）4、二小組代表：我們發(fā)現(xiàn)10和15，15和20等，相差5的數(shù)，把這兩個(gè)數(shù)加起來(lái)再

11、加上5的倍數(shù)就行。（有不少學(xué)生說(shuō)行，有的說(shuō)不行，老師說(shuō)：呵呵，是的，這有局限性。）【評(píng)析：在求最小公倍數(shù)時(shí)，學(xué)生沒(méi)有停留在一種辦法上，而是繼續(xù)探索更簡(jiǎn)便易行的方法。在寬松民主的課堂氛圍中，學(xué)生的思維是異?；钴S的，學(xué)生們大膽提出自己的想法。三組學(xué)生提出兩個(gè)數(shù)相乘再除以2的方法后，一石激起千層浪，學(xué)生們紛紛質(zhì)疑，學(xué)生的質(zhì)疑也是有理有據(jù)的，在同學(xué)們列舉的大量實(shí)例面前，三組同學(xué)也是心服口服。大家暢所欲言，積極主動(dòng)地調(diào)動(dòng)自己的知識(shí)儲(chǔ)備去探索、驗(yàn)證、總結(jié)。】5、四小組代表：我們發(fā)現(xiàn)象3 和5，5和7這樣的數(shù)，直接乘起來(lái)的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，同學(xué)們?nèi)绻恍?，可以試試，比如?和5，他們乘起來(lái)的積是1

12、5，你們還能找到比15更小同時(shí)又是這兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的數(shù)嗎？（這時(shí)又有一學(xué)生問(wèn)：所有的數(shù)都可以這樣乘嗎？）（老師隨手把這個(gè)學(xué)生的問(wèn)題記在了黑板的一角。）6、五小組代表：我們也發(fā)現(xiàn)了一些特殊的數(shù)，象2和4，4和8，2和10等，這樣成倍數(shù)關(guān)系的數(shù)，大的數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。我們?cè)嚵撕芏?，都行。同學(xué)們不妨也試試，如果你們能找出是倍數(shù)關(guān)系，但是較大的數(shù)不是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，我們組有獎(jiǎng)品給你。（學(xué)生紛紛在練習(xí)本上寫(xiě)，過(guò)了一會(huì)，教室里安靜下來(lái)，沒(méi)有一人能舉出這樣的例子，所以這個(gè)方法在得到老師的肯定后，就被確定了下來(lái)。教師板書(shū)記錄）【評(píng)析：教師尊重學(xué)生的主體地位，放手讓學(xué)生任意寫(xiě)兩個(gè)數(shù)，必然會(huì)出現(xiàn)多

13、種情況。其中兩種特殊的情況分別是：兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)和兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，如何求它們的最小公倍數(shù)。學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)方法，是意料之中的。但由于只是個(gè)別小組發(fā)現(xiàn)，教師沒(méi)有急于評(píng)價(jià)，而是把它記錄下來(lái)，作為子課題繼續(xù)研究?！?、六小組同學(xué)：我們組舉了一個(gè)例子，10和12， 122 2 3105210可以寫(xiě)成10=25，12可以寫(xiě)成12=223這樣的話，我把10中的2和5，12中的2和3連乘起來(lái)，就是2523=60，我們驗(yàn)證后確定，60是10和12的最小公倍數(shù)。有同學(xué)問(wèn)：12中的兩個(gè)2為什么只乘一個(gè)2呢？8、六組代表1：因?yàn)楹?0中的2重復(fù)了，所以不乘。（生又進(jìn)一步問(wèn)：為什么重復(fù)了就不乘了呢？這個(gè)組代表紅了臉，答

14、不上來(lái)了。）（老師也把這個(gè)問(wèn)題記在第一個(gè)疑問(wèn)的下面。）一位同學(xué)受啟發(fā)又有了一個(gè)發(fā)現(xiàn)：我們把10和12分解 122 2 31052 然后把分解得到的數(shù)乘起來(lái)再除以2，也能得到他們的最小公倍數(shù)：252232=60。（很多學(xué)生議論紛紛：除以2以后好象和上面的例子有點(diǎn)相似。） （同學(xué)們得到了求最小公倍數(shù)的多種方法。經(jīng)過(guò)師生共同研究確認(rèn)，排除了一些，最后剩下三種方法，一是象3和5這類的數(shù)，用直接乘起來(lái)的方法找他們的最小公倍數(shù)，二是有倍數(shù)關(guān)系的，較大的數(shù)就是他們的最小公倍數(shù)。三是六組同學(xué)的方法，只是學(xué)生不明白為什么要把相同的2只乘一次就行。）【評(píng)析：學(xué)生的精彩盡在此處。學(xué)生的研究可能是稚嫩的，但他們正像科

15、學(xué)家那樣進(jìn)行探索，主動(dòng)探求如何來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。學(xué)生的思維火花碰撞在一起，有的達(dá)成共識(shí)，學(xué)生們盡情地享受著成功的快樂(lè)，有的又激發(fā)學(xué)生新的靈感。同學(xué)們各抒己見(jiàn)，將求最小公倍數(shù)的方法一一列舉出來(lái)，教師這里的作用不容忽視，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生選擇簡(jiǎn)便有效的方法，滲透了優(yōu)化的思想?！浚ㄈ┱n堂練習(xí)1、課件顯示一組判斷題。公倍數(shù)就是幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，它應(yīng)當(dāng)都能被這幾個(gè)數(shù)除盡并且沒(méi)有余數(shù)。最小公倍數(shù)有很多個(gè)。公倍數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。2、閱讀課本，然后處理一部分課本上的練習(xí)題。3、讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)生活中你遇到過(guò)的求最小公倍數(shù)的事例?！驹u(píng)析：教師設(shè)計(jì)的練習(xí)有一定的層次性和針對(duì)性。從本節(jié)課學(xué)生完成練習(xí)的情況看，雖然教師

16、對(duì)本單元的內(nèi)容進(jìn)行了大幅度的調(diào)整，但學(xué)生對(duì)公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等概念理解得還是比較好的。對(duì)于求最小公倍數(shù)的方法學(xué)生也有了初步的認(rèn)識(shí)，得到了初步的方法，盡管沒(méi)有得出通用的辦法。】（四）布置研究課題老師指出寫(xiě)在黑板上的幾個(gè)問(wèn)題，這些問(wèn)題大家課下或者回到家中繼續(xù)研究。各小組先重點(diǎn)研究第一個(gè)問(wèn)題：什么樣的兩個(gè)數(shù)可以用直接相乘的方法求它的最小公倍數(shù)？【評(píng)析：由于同學(xué)們?cè)谡n堂上求最小公倍數(shù)時(shí)又遇到需要研究的子課題，教師以此為起點(diǎn)，布置研究課題，布置學(xué)生繼續(xù)研究?！康诙n時(shí) 約數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)和互質(zhì)數(shù)五、課題的布置與指導(dǎo)2第一課時(shí)后，我布置的研究課題“什么樣的兩個(gè)數(shù)可以用直接相乘的方法求得最小公倍數(shù)”，課下，學(xué)

17、生們?cè)谘芯恐辛信e出多種情況，發(fā)現(xiàn)共有的因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)直接相乘才可以。當(dāng)這節(jié)課學(xué)生把這個(gè)問(wèn)題提出來(lái)后，我布置學(xué)生進(jìn)一步分析、研究，什么樣的兩個(gè)數(shù)公因數(shù)只有1，怎樣盡快看出這兩個(gè)數(shù)是不是共有的因數(shù)只有1？這就引出了相關(guān)概念：整除、約數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、互質(zhì)數(shù)。由于時(shí)間比較緊，第一天布置的研究任務(wù)第二天就要學(xué)習(xí)，學(xué)生們只能利用課外活動(dòng)時(shí)間與老師交流，有的第二天一大早就迫不及待的把自己的研究成果與老師、同伴討論。上課伊始，我拿出幾分鐘的時(shí)間讓小組內(nèi)的同學(xué)討論交流自己的研究成果，在巡視中我了解到，學(xué)生得出很多不同的方法。我對(duì)學(xué)生的匯報(bào)也心中有了數(shù)。六、課堂教學(xué)實(shí)錄2（一）回顧研究問(wèn)題，分組交流師：上節(jié)課

18、張玉亮小組提出有的數(shù)可以用兩個(gè)數(shù)直接相乘的方法求出這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。課下，許多學(xué)生研究出了結(jié)論，認(rèn)為共有的因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)直接相乘才是他們的最小公倍數(shù)，老師又布置各小組重點(diǎn)研究整理兩個(gè)問(wèn)題：一是兩個(gè)數(shù)的因數(shù)中共有的因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)有哪幾類？二是怎樣盡快看出這兩個(gè)數(shù)是不是共有的因數(shù)只有1？同學(xué)們先在小組內(nèi)交流自己的研究成果。(二)小組匯報(bào)，闡明概念師：現(xiàn)在我們來(lái)聽(tīng)聽(tīng)各小組的發(fā)現(xiàn)。老師有個(gè)要求，別的組說(shuō)過(guò)的，類似的意見(jiàn)就不要再說(shuō)了。組代表 1：我們列舉了很多數(shù)，發(fā)現(xiàn)單數(shù)和單數(shù)，如，7和5 、11和13 、 97和37 共有的因數(shù)只有1。 組代表2：我們也發(fā)現(xiàn)了一組說(shuō)的這種情況，不過(guò)我們有補(bǔ)

19、充，單數(shù)和單數(shù)，如，13和15 、15和17 、9和37。組代表3：?jiǎn)螖?shù)和雙數(shù)，如，4和9、8和9、10 和 9。師：第二組說(shuō)的單數(shù)和單數(shù)，似乎和第一小組一樣，而實(shí)際上有區(qū)別，你們發(fā)現(xiàn)他們的不一樣了嗎？生：第一組的單數(shù)是孤零零的生：第二組的數(shù)中，15還有3和5能把它除開(kāi)。9還有3能把它除開(kāi)。師：第一組的數(shù)實(shí)際上也有數(shù)能把它除開(kāi)的，不但除開(kāi)，而且還沒(méi)有余數(shù)。你們知道是哪個(gè)數(shù)嗎？生：比如7能被1和7除開(kāi)，5能被1和5除開(kāi)，11也能被1和11除開(kāi)【評(píng)析：課上到這，整除的概念已經(jīng)是呼之欲出了。學(xué)生列舉出共有的因數(shù)只有1的三組數(shù)，雖然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這三組數(shù)的具體特點(diǎn)，恰好為下一步深入研究提供了素材，教師在這里

20、沒(méi)有急于告訴學(xué)生答案，而是讓學(xué)生充分地感知。】師：老師給你寫(xiě)下來(lái)71=7， 77=1，也就是1和7都能去除7，得到的商是整數(shù)并且沒(méi)有余數(shù)，這叫做整除。在這里，我們就說(shuō)1能整除7，或者說(shuō)7能被1整除。當(dāng)然，也可以說(shuō)7能整除7。在這里，被除數(shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)，并且商沒(méi)有余數(shù)，這才是整除。誰(shuí)能再舉幾個(gè)整除的例子。生：62=3 ，124=3生：10010=10師：通過(guò)62=3這個(gè)算式可以知道，6能被2整除。這個(gè)時(shí)候，我們也可以說(shuō)，2是6的約數(shù)，6是2的倍數(shù)。在這里，我通過(guò)62=3這個(gè)具體的算式說(shuō)明了約數(shù)和倍數(shù)，如果要求用字母來(lái)說(shuō)明的話，誰(shuí)會(huì)？生：如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約

21、數(shù)。生：老師，除數(shù)不能為零。師：對(duì)，b0，那么，現(xiàn)在大家說(shuō)7的約數(shù)有哪些？生：1、7。師：第一組的其它數(shù)呢？各有多少約數(shù)？有沒(méi)有公有的約數(shù)？生：都是只有1和它本身。公有的約數(shù)只有1。師：有位同學(xué)說(shuō)到一組列舉的數(shù)有孤零零的感覺(jué)，比如3，如果我們把3擴(kuò)大到它的二倍，變成6，擴(kuò)大到三倍，變成9，是不是就不孤零零了呢？很多學(xué)生回答：是！師：3和6、9比較，3可以說(shuō)是最本質(zhì)的一個(gè)數(shù)，這樣的數(shù)只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，叫質(zhì)數(shù)。如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫合數(shù)。（課件顯示，配合學(xué)生理解和鞏固約數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)等概念。）師：三個(gè)小組提到的數(shù)，每?jī)蓚€(gè)數(shù)的公約數(shù)只有1，公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，有個(gè)特別的名

22、字，叫互質(zhì)數(shù)。明白什么是互質(zhì)數(shù)嗎？你還能再說(shuō)幾組互質(zhì)數(shù)嗎？組代表1：我們列舉出的任意一組數(shù)，公約數(shù)只有1，現(xiàn)在我們知道他們都是互質(zhì)數(shù)。學(xué)生挑選一組進(jìn)行驗(yàn)證。生：11和13是互質(zhì)數(shù)，13和15也是互質(zhì)數(shù)【評(píng)析：學(xué)生列舉出大量的數(shù)作為例證，在研究的過(guò)程中已經(jīng)對(duì)這些數(shù)之間的關(guān)系與區(qū)別有所了解。在學(xué)生匯報(bào)的過(guò)程中，老師適時(shí)點(diǎn)明概念：整除、約數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、互質(zhì)數(shù)。教師對(duì)概念的闡述語(yǔ)言準(zhǔn)確到位，學(xué)生對(duì)這些知識(shí)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)?！繋煟豪蠋熡袀€(gè)問(wèn)題，互質(zhì)數(shù)是不是只有質(zhì)數(shù)和質(zhì)數(shù)才能組成互質(zhì)數(shù)？（生紛紛反對(duì)，并舉剛才這個(gè)組寫(xiě)在黑板上的數(shù)據(jù)說(shuō)明自己的理由。）師：還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？小組內(nèi)交流。組代表2：

23、我們組都認(rèn)為兩個(gè)不相同的質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：7和 11 ，17和31，同學(xué)們也可以找出一些這樣的數(shù)試試看。組代表3：我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：4和5 ，13和14，17和18等，不信大家可以找找看，任何相鄰的兩個(gè)自然數(shù)都是這樣的，它們除了公約數(shù)1之外，再也沒(méi)有其它的公約數(shù)。組代表4：我們也有個(gè)特別的發(fā)現(xiàn)，1和其它所有的自然數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：1 和16 ，1和90，8999和1，等等。同學(xué)們?cè)囋嚳矗?和任意自然數(shù)，除了公約數(shù)1之外，你還能找出其它的公約數(shù)嗎？組代表5：我們除了發(fā)現(xiàn)了第一組說(shuō)的情況，還發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個(gè)奇數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：3和5、 7和9、11和13、13和17等

24、，這樣的兩個(gè)數(shù)，誰(shuí)還能找出除1之外的其它的公約數(shù)，我們組有獎(jiǎng)勵(lì)！（很多學(xué)生馬上躍躍欲試，也有不少學(xué)生在本上子試寫(xiě)了一些數(shù)，但最后大家都說(shuō)不出不同的情況。）組代表6：我們?cè)嚵瞬簧贁?shù)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)中較大一個(gè)是質(zhì)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)也只有1。如：3和19 、16和97等，大家也說(shuō)出幾組這類的數(shù)，看看我們的發(fā)現(xiàn)不是不正確。（學(xué)生很快說(shuō)出了幾組，經(jīng)驗(yàn)證，都存在這個(gè)規(guī)律。）組代表7：我們的發(fā)現(xiàn)與剛才這個(gè)組的發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)接近，但不一樣。我們也試了很多數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)中較小一個(gè)是質(zhì)數(shù)，大數(shù)是合數(shù)，并且不是小數(shù)的倍數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)也只有1。如：7和18 ，11和68，97和102等，大家也想幾個(gè)數(shù)，我們可以幫你們?cè)?/p>

25、試。（學(xué)生說(shuō)了幾組數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果，他們的發(fā)現(xiàn)是有道理的。）組代表8：如果兩個(gè)數(shù)存在倍數(shù)關(guān)系，較大數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，如果比二倍多1或少1會(huì)怎么樣呢？我們組每人試了幾個(gè)，發(fā)現(xiàn)較大數(shù)比較小數(shù)的2倍多1或少1，這二個(gè)數(shù)的公約數(shù)竟然也只有1。如：7和15 、15和31、15和29等等。大家也試試看，是不是這么個(gè)道理？師：同學(xué)們，你們剛才列舉的，都是公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，這樣的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，互質(zhì)數(shù)是互相依存的，我們不能單單說(shuō)某個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如，不能說(shuō)7是互質(zhì)數(shù)，必需說(shuō)誰(shuí)和7，或者7和誰(shuí)是互質(zhì)數(shù)?！驹u(píng)析：學(xué)生們因?yàn)檎n下進(jìn)行了初步研究，學(xué)習(xí)的途徑更廣泛，他們有的自己查找相關(guān)資料，有的與家長(zhǎng)進(jìn)行交流研究

26、。當(dāng)教師把概念點(diǎn)明之后，學(xué)生們的思維節(jié)節(jié)開(kāi)花，研究出這么多結(jié)果，教師及時(shí)的點(diǎn)撥使學(xué)生對(duì)互質(zhì)數(shù)理解得更深刻了?！繋煟喝绻腥齻€(gè)數(shù)，如：5、8、9，這三個(gè)數(shù)只有公約數(shù)1 ，我們也可以說(shuō)這三個(gè)數(shù)是兩兩互質(zhì)的。師：我想知道你們是不是真地理解互質(zhì)數(shù)這個(gè)概念了？生：我們明白了。師：你們能不能說(shuō)說(shuō)互質(zhì)數(shù)和質(zhì)數(shù)的區(qū)別。生1：互質(zhì)數(shù)指的是兩個(gè)數(shù)，而質(zhì)數(shù)只是一個(gè)數(shù)。生2：質(zhì)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，互質(zhì)數(shù)中這兩個(gè)數(shù)不一定都是質(zhì)數(shù)。師：凡是互質(zhì)數(shù)，我們可以怎樣求它們的最小公倍數(shù)？生：直接相乘就可以了。(三)課堂練習(xí)1、判斷。2、選擇。3、列舉一組數(shù)，找一找哪兩個(gè)數(shù)可以組成互質(zhì)數(shù)。師：看來(lái)約數(shù)和倍數(shù)之間存在著很多有趣

27、的聯(lián)系。它們之間也有很多有趣的現(xiàn)象。（多媒體出示1100的數(shù)）老師能一眼看出一百以內(nèi)的數(shù)，哪些能被2、3、5整除，其實(shí)更大的數(shù)老師也能一眼看出的（學(xué)生出題，老師很快回答出，學(xué)生很驚奇）師：同學(xué)們！知道這是為什么嗎？因?yàn)檫@些數(shù)都有一些特征，如果你掌握了，你也能做到。布置研究課題：列舉出1100中2、3、5的倍數(shù)，利用課余時(shí)間研究一下究竟有什么特征？（讓各小組自己選擇研究子課題。）【評(píng)析：本節(jié)課呈現(xiàn)的概念很多，教師根據(jù)教學(xué)要求設(shè)計(jì)有梯度的練習(xí)，是對(duì)不同層次的學(xué)生知識(shí)掌握情況的檢測(cè)，同時(shí)也能對(duì)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)起到鞏固深化的作用，提高了教學(xué)效率。為了引起同學(xué)們對(duì)2、3、5倍數(shù)特征的研究興趣，老師讓學(xué)生出

28、題，自己很快判斷，然后布置課下要研究的課題?！康谖逭n時(shí) 最大公約數(shù)七、課題的布置與指導(dǎo)3學(xué)生在研究用分解質(zhì)因數(shù)的方法求最小公倍數(shù)時(shí)，個(gè)別學(xué)生根據(jù)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念，結(jié)合自己的理解談了“什么是公約數(shù)？什么是最大公約數(shù)？”然后，我布置同學(xué)們課下研究如何求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)？學(xué)生因?yàn)橛辛饲懊娴难芯炕A(chǔ)，在研究中能很快找到突破口。課下研究時(shí)，有的同學(xué)亟不可待地向我匯報(bào)研究出的方法。學(xué)生們研究的興趣越來(lái)越高，研究也越來(lái)越輕松。下一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：概括出公約數(shù)、最大公約數(shù)的概念，然后進(jìn)一步研究如何求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，并能選擇較為簡(jiǎn)便的方法。八、課堂教學(xué)實(shí)錄3(一)游戲引入新課 搶數(shù)游戲：兩個(gè)學(xué)生

29、每人各拿10和12。另找一部分學(xué)生各拿1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。游戲規(guī)則：比賽雙方各為10和12搶約數(shù)，搶得又多又快為勝。（游戲開(kāi)始后不久，數(shù)子卡片很快就搶完，當(dāng)場(chǎng)就有人說(shuō)不公平。原因是其中的1、2既是10的約數(shù)又是12的約數(shù)。）師：上節(jié)課劉航同學(xué)在用分解質(zhì)約數(shù)的方法求最小公倍數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)也可以從中求出兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。有同學(xué)問(wèn)他：“什么是公約數(shù)？什么是最大公約數(shù)？”當(dāng)時(shí)他根據(jù)自己的理解談了看法，大家也表示認(rèn)同?，F(xiàn)在誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)什么叫公約數(shù)和最大公約數(shù)？生1：兩個(gè)數(shù)公有的最大的約數(shù)叫做他們的最大公約數(shù)。生2：兩個(gè)數(shù)共同的約數(shù)叫他們的公約數(shù)，其中最大的一個(gè)叫最大公約數(shù)。（

30、教師出示概念。）【評(píng)析：教師設(shè)計(jì)的游戲獨(dú)具匠心，旨在通過(guò)游戲讓學(xué)生找10和12的約數(shù)，發(fā)現(xiàn)了他們共有的約數(shù)是1、2。既為學(xué)習(xí)有困難的同學(xué)做好鋪墊，又能盡快集中學(xué)生的注意力。學(xué)生已經(jīng)有了最小公倍數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)，很容易通過(guò)遷移實(shí)現(xiàn)對(duì)最大公約數(shù)這一概念的自主建構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，教師引出概念：公約數(shù)和最大公約數(shù)，就比較自然?！?二)匯報(bào)交流師：昨天老師布置同學(xué)們自己試著研究一下，如何求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們?cè)谛〗M內(nèi)交流自己的研究發(fā)現(xiàn)，然后每組選出兩名代表一起匯報(bào)。教師巡視并參與到他們的討論中。組1：（學(xué)生在說(shuō)的同時(shí)，他的合作伙伴在黑板上配合板書(shū)）我們用列舉法求的：12的約數(shù)有：1、2、3、4、6

31、、12 18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18 12、18的公約數(shù)有：1、2、3、6組2：我們是用集合圈圖示法找出兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。 我們也以12和18為例12的約數(shù) 18的約數(shù)12、18的最大公約數(shù)1、24 3、12 6 918組3：我們用分解質(zhì)因數(shù)的方法找最大公約數(shù)。如：45=335，90=2335他們公有的質(zhì)約數(shù)同時(shí)也是它們的公有的約數(shù)，其中最大的5就是它們的最大公約數(shù)。這時(shí)有同學(xué)反駁：不對(duì)，5并不是它們的最大公約數(shù)，9才是它們的最大公約數(shù)呢。又有學(xué)生反駁：還不對(duì)，45才是它們的最大公約數(shù)。本組的學(xué)生馬上有人明白過(guò)來(lái)：最后這個(gè)同學(xué)說(shuō)得對(duì)，45和90的公約數(shù)，要能整除45，同時(shí)又能整除9

32、0，5、9、45都是這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)，最大公約數(shù)是公約數(shù)中最大的，看來(lái)它必須包含有45和90的全部公有的質(zhì)因數(shù)：3、3、5，所以335=45才是它們的最大公約數(shù)。另一學(xué)生補(bǔ)充道：因?yàn)楣s數(shù)不僅只有質(zhì)因數(shù)，如果只找質(zhì)因數(shù)，就有可能漏掉一些不是質(zhì)因數(shù)的公約數(shù)，它們中的最大約數(shù)如果是合數(shù)的話就被分解成了兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)相乘的形式，如果用上面同學(xué)的列舉法就很容易看出來(lái)了，所以就得把它們乘起來(lái)。組5：我們是用短除法求最大公約數(shù)的。 12和18的公約數(shù)2和3，它們的乘積23=6就是它們的最大公約數(shù)。6 92 312 1823 師：你們認(rèn)為你們的方法和剛才同學(xué)用的分解質(zhì)約數(shù)的方法哪個(gè)更好？ （本小組同學(xué)異口同聲

33、的答道：我們的方法好。） 師：為什么？ 生：分解質(zhì)因數(shù)的方法雖然也能找到，但相同的那些質(zhì)因數(shù)不一定在一塊還得到處找。弄不好還會(huì)落下。我們的方法只看左邊公共的質(zhì)因數(shù)就可以了，一目了然?！驹u(píng)析：從學(xué)生的匯報(bào)情況來(lái)看，學(xué)生們?cè)谡n下進(jìn)行了認(rèn)真地研究。學(xué)生們研究的方法各不相同，但他們?cè)谘芯恐幸呀?jīng)準(zhǔn)確地理解了公約數(shù)與最大公約數(shù)的意義。學(xué)生們?cè)趨R報(bào)時(shí)思路清晰，語(yǔ)言表達(dá)能力得到鍛煉。特別值得欣喜的是學(xué)生不是旁聽(tīng)者，他們?cè)谥鲃?dòng)思考。當(dāng)三組學(xué)生提出45和90的最大公約數(shù)是5時(shí)，學(xué)生們紛紛質(zhì)疑，認(rèn)為公約數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，但一定包含了兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，他們對(duì)問(wèn)題做了深入分析，提高了認(rèn)識(shí)。如果教師能夠再舉幾個(gè)例子，學(xué)生

34、們將會(huì)有更深入地理解?！拷M6：我們兩個(gè)人發(fā)現(xiàn)，象9和10，3和5這類的數(shù)，也就是互質(zhì)數(shù)，它們的公約數(shù)只有1，所以最大公約數(shù)可能也就是這個(gè)“1”吧？（師征求同學(xué)們的意見(jiàn)，互質(zhì)數(shù)的公約數(shù)除了“1”還有別的數(shù)嗎？）生：沒(méi)有。師：那么我們就可以說(shuō)互質(zhì)數(shù)的最大公約數(shù)就是“1”。組4：我們發(fā)現(xiàn)成倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)是較小的那個(gè)數(shù)。（學(xué)生一致同意。）組員1：我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)是質(zhì)數(shù)時(shí)，可用除法來(lái)求。用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，如果能夠整除，則較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。（這時(shí)有學(xué)生說(shuō)其實(shí)就是前面同學(xué)說(shuō)的倍數(shù)關(guān)系。這組學(xué)生有點(diǎn)不好意思。）師：他們的發(fā)現(xiàn)和前面同學(xué)的發(fā)現(xiàn)有異曲同工之妙，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)的約

35、數(shù)特別，他們能從質(zhì)數(shù)這個(gè)角度去考慮兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)也說(shuō)明他們有自己獨(dú)特的想法呢！組員2：如果兩個(gè)數(shù)沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系，可以用較小的數(shù)依次除以2、3、4直到求得商是較大數(shù)的約數(shù)為止，這時(shí)的商就是兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。如，30和24，244=6，6是30的約數(shù)，所以6是30和24的最大公約數(shù)。 組員3：如果兩個(gè)數(shù)相差不大，可以用大數(shù)減去小數(shù)，所得差與小數(shù)的最大公約數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。如求78和60的最大公約數(shù)，7860=18，18和60的最大公約數(shù)是6，所以6是78和60的最大公約數(shù)。劉航：老師，我發(fā)現(xiàn)，求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，可以用它們的乘積除以他們的最大公約數(shù)，得到的商就是最小公倍數(shù)。師：

36、（對(duì)劉航）這是個(gè)很有意思的問(wèn)題，看來(lái)你動(dòng)了不少腦筋。下節(jié)課我們就來(lái)研究你提出的問(wèn)題?！驹u(píng)析：學(xué)生已經(jīng)研究出求最大公約數(shù)的基本方法，他們思考的腳步并沒(méi)有停下，他們又對(duì)一些特殊的兩個(gè)數(shù)，如兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)、兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系等，研究得出了一些簡(jiǎn)便的方法。學(xué)生對(duì)自己的研究發(fā)現(xiàn)印象特別深刻，比老師單純舉例講解效果好得多。有一個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)如果兩個(gè)數(shù)相差不大，可以用大數(shù)減去小數(shù)，所得差與小數(shù)的最大公約數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。這個(gè)方法是不是對(duì)所有的數(shù)都可以，教師可以把它作為子課題繼續(xù)研究?！繋煟簞偛磐瑢W(xué)們用了很多方法來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，大家會(huì)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)了嗎？既然你們認(rèn)為用短除法來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大

37、公約數(shù)比較簡(jiǎn)便，你們會(huì)嗎？（三）課堂練習(xí)1、試一試：用短除法求下列每組數(shù)的最大公約數(shù)。 10和25 24和18 2、說(shuō)出下列各組數(shù)的最大公約數(shù)。（搶答后說(shuō)一說(shuō)為什么判斷的這么快？） 7和21 8和15 9和14 4和28 3、判斷。 = 1 * GB3 如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們沒(méi)有公約數(shù)和最大公約數(shù)。（ ） = 2 * GB3 如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。 （ ） = 3 * GB3 所有非零自然數(shù)的公約數(shù)1。（ ）4、老師有一間廚房需要鋪地磚，長(zhǎng)30分米，寬24分米，請(qǐng)同學(xué)們幫助老師選一選用多大的正方形地磚鋪地，才能鋪得既整齊又節(jié)約呢？告訴老師正方形的邊長(zhǎng)是多少？如果老師想盡快鋪完，你認(rèn)為應(yīng)該用邊長(zhǎng)多大的正方形地磚呢？（四）布置作業(yè)劉航同學(xué)的問(wèn)題涉及到最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)的關(guān)系問(wèn)題，我們下節(jié)課討論，請(qǐng)同學(xué)們先思考也可以和小組內(nèi)的同學(xué)一起研究這個(gè)問(wèn)題?！驹u(píng)析：考慮到學(xué)生的差異，設(shè)計(jì)的練習(xí)題既有基礎(chǔ)性的，又有開(kāi)放性的。既重視基本知識(shí)基本能力的訓(xùn)練，同時(shí)還將知識(shí)性、趣味性有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。通過(guò)比較、判斷、生活問(wèn)題等不同坡度、不同類型的練習(xí)，既鞏固了知識(shí)，又使全體學(xué)生不同程度地得到發(fā)展，更為后繼學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。】九、教學(xué)反思我的單元教學(xué)研究，總的來(lái)看，達(dá)到了預(yù)