2022初中數學必考知識點總結

1、2022初中數學必考知識點總結第一章：實數重要復習的知識點：一、實數的分類：1、有理數：任何一個有理數總可以寫成的形式，其中p、q是互質的整數，這是有理數的重要特征。2、無理數：初中遇到的無理數有三種：開不盡的方根，如、；特定結構的不限環(huán)無限小數，如1.101001000100001；特定意義的數，如、等。3、判斷一個實數的數性不能僅憑表面上的感覺，往往要經過整理化簡后才下結論。二、實數中的幾個概念1、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。（1）實數a的相反數是 -a； （2）a和b互為相反數a+b=02、倒數：（1）實數a（a0）的倒數是；（2）a和b 互為倒數；（3）注意0沒有倒數3

2、、絕對值：（1）一個數a 的絕對值有以下三種情況：（2）實數的絕對值是一個非負數，從數軸上看，一個實數的絕對值，就是數軸上表示這個數的點到原點的距離。（3）去掉絕對值符號（化簡）必須要對絕對值符號里面的實數進行數性（正、負）確認，再去掉絕對值符號。4、n次方根（1）平方根，算術平方根：設a0，稱叫a的平方根，叫a的算術平方根。（2）正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。（3）立方根：叫實數a的立方根。（4）一個正數有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負數有一個負的立方根。三、實數與數軸1、數軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數軸。原點、正方向、單位長度是

3、數軸的三要素。2、數軸上的點和實數的對應關系：數軸上的每一個點都表示一個實數，而每一個實數都可以用數軸上的唯一的點來表示。實數和數軸上的點是一一對應的關系。四、實數大小的比較1、在數軸上表示兩個數，右邊的數總比左邊的數大。2、正數大于0；負數小于0；正數大于一切負數；兩個負數絕對值大的反而小。五、實數的運算1、加法：（1）同號兩數相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；（2）異號兩數相加，取絕對值大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?？墒褂眉臃ń粨Q律、結合律。2、減法：減去一個數等于加上這個數的相反數。3、乘法：（1）兩數相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。（2）n個實數相

4、乘，有一個因數為0，積就為0；若n個非0的實數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數為奇數個時，積為負。（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。4、除法：（1）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（2）除以一個數等于乘以這個數的倒數。（3）0除以任何數都等于0，0不能做被除數。5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。6、實數的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號后運

5、算。六、有效數字和科學記數法1、科學記數法：設N0，則N= a（其中1a10，n為整數）。2、有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是0的數，到精確到的數位為止，所有的數字，叫做這個數的有效數字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留幾個有效數字。例題：例1、已知實數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，且?；啠悍治觯簭臄递S上a、b兩點的位置可以看到：a0，b0且所以可得：解：例2、若，比較a、b、c的大小。分析：；c0；所以容易得出：abc。解：略例3、若互為相反數，求a+b的值分析：由絕對值非負特性，可知，又由題意可知：所以只能是：a2=0，b+2=0，即a=2，b= 2 ，所

6、以a+b=0解：略例4、已知a與b互為相反數，c與d互為倒數，m的絕對值是1，求的值。解：原式=例5、計算：（1） （2）解：（1）原式=（2）原式= 第二章：代數式基礎知識點：一、代數式1、代數式：用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫代數式。單獨一個數或者一個字母也是代數式。2、代數式的值：用數值代替代數里的字母，計算后得到的結果叫做代數式的值。3、代數式的分類：二、整式的有關概念及運算1、概念（1）單項式：像x、7、，這種數與字母的積叫做單項式。單獨一個數或字母也是單項式。單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數叫做這個單項式的次數。單項式的系數：單項式中的數字因數叫單項式的系

7、數。（2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾項，就叫幾項式。多項式的次數：多項式里，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。不含字母的項叫常數項。升（降）冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從小（大）到大（?。┑捻樞蚺帕衅饋恚凶霭讯囗検桨催@個字母升（降）冪排列。（3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。2、運算（1）整式的加減：合并同類項：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母及字母的指數不變。 去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變；括號前面是“”號

8、，把括號和它前面的“”號去掉，括號里的各項都變號。 添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是“”號，括到括號里的各項都變號。 整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類項。 （2）整式的乘除： 冪的運算法則：其中m、n都是正整數 同底數冪相乘：；同底數冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。 單項式乘以單項式：用它們系數的積作為積的系數，對于相同的字母，用它們的指數的和作為這個字母的指數；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。 單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。 多項式乘以多項式：先

9、用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 單項除單項式：把系數，同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數作為商的一個因式。 多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。 乘法公式： 平方差公式：；完全平方公式：，三、因式分解 1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。 2、常用的因式分解方法： （1）提取公因式法： （2）運用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。（5）運用求根公式法：若的兩個根是、，則有：3

10、、因式分解的一般步驟：（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考慮用分組分解法。四、分式 1、分式定義：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。 （1）分式無意義：B=0時，分式無意義； B0時，分式有意義。 （2）分式的值為0：A=0，B0時，分式的值等于0。 （3）分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。 （4）最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式

11、。分式運算的最終結果若是分式，一定要化為最簡分式。 （5）通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做分式的通分。 （6）最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次冪的積。 （7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。 2、分式的基本性質： （1）；（2） （3）分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。 3、分式的運算： （1）加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。 （2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一個分式等

12、于乘上它的倒數式。 （4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。五、二次根式 1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。 （1）最簡二次根式：被開方數的因數是整數，因式是整式，被開方數中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。 （2）同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數相同的二次根式，叫做同類二次根式。 （3）分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。 （4）有理化因式：把兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式（常用的有理化因式有：與；與） 2、二次根式的性質： （1） ；（2）；（3）（a0，b0）；（4） 3、運算：

13、（1）二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。 （2）二次根式的乘法：（a0，b0）。 （3）二次根式的除法： 二次根式運算的最終結果如果是根式，要化成最簡二次根式。例題：一、因式分解： 1、提公因式法：例1、分析：先提公因式，后用平方差公式解：略規(guī)律總結因式分解本著先提取，后公式等，但應把第一個因式都分解到不能再分解為止，往往需要對分解后的每一個因式進行最后的審查，如果還能分解，應繼續(xù)分解。2、十字相乘法：例2、（1）；（2）分析：可看成是和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分解。解：略規(guī)律總結應用十字相乘法時，注意某一項可是單項的一字母，也可是某個多項式

14、或整式，有時還需要連續(xù)用十字相乘法。3、分組分解法：例3、分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，再公式。解：略規(guī)律總結對多項式適當分組轉化成基本方法因式分組，分組的目的是為了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。4、求根公式法：例4、解：略二、式的運算巧用公式 例5、計算：分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡單化。解：略規(guī)律總結抓住三個乘法公式的特征，靈活運用，特別要掌握公式的幾種變形，公式的逆用，掌握運用公式的技巧，使運算簡便準確。2、化簡求值：例6、先化簡，再求值：，其中x= 1 y =解：略規(guī)律總結一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法則。3、分式的計算：例

15、7、化簡分析： 可看成解：略規(guī)律總結分式計算過程中：（1）除法轉化為乘法時，要倒轉分子、分母；（2）注意負號4、根式計算例8、已知最簡二次根式和是同類二次根式，求b的值。分析：根據同類二次根式定義可得：2b+1=7b。解：略規(guī)律總結二次根式的性質和運算是中考必考內容，特別是二次根式的化簡、求值及性質的運用是中考的主要考查內容。 第三章：方程和方程組基礎知識點：一、方程有關概念 1、方程：含有未知數的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫方程的解，含有一個未知數的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程

16、變形時，產生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的標準形式：ax+b=0（其中x是未知數，a、b是已知數，a0） （2）一玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數，a、b是已知數，a0） （3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項和系數化為1。 （4）一元一次方程有唯一的一個解。 2、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知數，a、b、c是已知數，a0） （2）一元二次方程的解法： 直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法 （3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如果沒有要求，一般不用配

17、方法。 （4）一元二次方程的根的判別式： 當0時方程有兩個不相等的實數根； 當=0時方程有兩個相等的實數根； 當0，即原不等式的解集為，解此方程求出a的值。 解：略 規(guī)律總結此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條件，此種類型題都采用逆向思考法來解。 第六章：函數及其圖像知識點：一、平面直角坐標系1、平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸，構成平面直角坐標系。在平面直角坐標系內的點和有序實數對之間建立了一對應的關系。 2、不同位置點的坐標的特征： （1）各象限內點的坐標有如下特征： 點P（x, y）在第一象限x 0，y0； 點P（x, y）在第二象限x0，y0； 點P（x, y）在第三

18、象限x0，y0； 點P（x, y）在第四象限x0，y0。 （2）坐標軸上的點有如下特征： 點P（x, y）在x軸上y為0，x為任意實數。 點P（x，y）在y軸上x為0，y為任意實數。 3點P（x, y）坐標的幾何意義： （1）點P（x, y）到x軸的距離是| y |； （2）點P（x, y）到y(tǒng)袖的距離是| x |； （3）點P（x, y）到原點的距離是 4關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特征： （1）點P（a, b）關于x軸的對稱點是； （2）點P（a, b）關于x軸的對稱點是； （3）點P（a, b）關于原點的對稱點是； 二、函數的概念 1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不同數值的量叫

19、做變量；保持數值不變的量叫做常量。 2、函數：一般地，設在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。 （1）自變量取值范圍的確是： 解析式是只含有一個自變量的整式的函數，自變量取值范圍是全體實數。 解析式是只含有一個自變量的分式的函數，自變量取值范圍是使分母不為0的實數。 解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數，自變量取值范圍是使被開方數非負的實數。 注意：在確定函數中自變量的取值范圍時，如果遇到實際問題，還必須使實際問題有意義。 （2）函數值：給自變量在取值范圍內的一個值所求得的函數的對應值。 （3）函數的表示方法：解析

20、法；列表法；圖像法 （4）由函數的解析式作函數的圖像，一般步驟是：列表；描點；連線 三、幾種特殊的函數 1、一次函數 直線位置與k，b的關系： （1）k0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為銳角； （2）k0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為鈍角；（3）b0直線與y軸交點在x軸的上方；（4）b0直線過原點；（5）b0直線與y軸交點在x軸的下方；2、二次函數 拋物線位置與a，b，c的關系： （1）a決定拋物線的開口方向 （2）c決定拋物線與y軸交點的位置： c0圖像與y軸交點在x軸上方；c=0圖像過原點；c0圖像與y軸交點在x軸下方； （3）a，b決定拋物線對稱軸的位置：a，b同號

21、，對稱軸在y軸左側；b0，對稱軸是y軸； a，b異號。對稱軸在y軸右側；3、反比例函數： 4、正比例函數與反比例函數的對照表：例題： 例1、正比例函數圖象與反比例函數圖象都經過點P（m，4），已知點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍. 求點P的坐標.； 求正比例函數、反比例函數的解析式。 分析：由點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知：2|m|=4，易求出點P的坐標，再利用待定系數法可求出這正、反比例函數的解析式。 解：略 例2、已知a，b是常數，且y+b與x+a成正比例.求證：y是x的一次函數.分析：應寫出y+b與x+a成正比例的表達式，然后判斷所得結果是否符合一次函數定義.證明：由已知，有y

22、+b=k(x+a)，其中k0.整理，得y=kx+(kab).因為k0且kab是常數，故y=kx+(kab)是x的一次函數式. 例3、填空：如果直線方程ax+by+c=0中，a0，b0且bc0，則此直線經過第_象限.分析：先把ax+by+c=0化為.因為a0，b0，所以，又bc0，即0，故0.相當于在一次函數y=kx+l中，k=0，l=0，此直線與y軸的交點(0，)在x軸上方.且此直線的向上方向與x軸正方向所成角是鈍角，所以此直線過第一、二、四象限. 例4、把反比例函數y=與二次函數y=kx2(k0)畫在同一個坐標系里，正確的是( ).答：選(D).這兩個函數式中的k的正、負號應相同(圖1311

23、0). 例5、畫出二次函數y=x2-6x+7的圖象，根據圖象回答下列問題：（1）當x=-1，1，3時y的值是多少？（2）當y=2時，對應的x值是多少？（3）當x3時，隨x值的增大y的值怎樣變化？（4）當x的值由3增加1時，對應的y值增加多少？分析：要畫出這個二次函數的圖象，首先用配方法把y=x2-6x+7變形為y=（x-3）2-2，確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，然后列表、描點、畫圖解：圖象略 例6、拖拉機開始工作時，油箱有油45升，如果每小時耗油6升（1）求油箱中的余油量Q（升）與工作時間t（時）之間的函數關系式；（2）畫出函數的圖象答：（1）Q=45-6t（2）圖象略注意：這是實際

24、問題，圖象只能由自變量t的取值范圍0t7.5決定是一條線段，而不是直線 第七章：統(tǒng)計初步知識點：一、總體和樣本： 在統(tǒng)計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對象叫做個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫做樣本容量。 二、反映數據集中趨勢的特征數 1、平均數 （1）的平均數， （2）加權平均數：如果n個數據中，出現次，出現次，出現次（這里），則 （3）平均數的簡化計算： 當一組數據中各數據的數值較大，并且都與常數a接近時，設的平均數為則：。 2、中位數：將一組數據接從小到大的順序排列，處在最中間位置上的數據叫做這組數據的中位數，如果數據的個數為偶數中

25、位數就是處在中間位置上兩個數據的平均數。 3、眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。一組數據的眾數可能不止一個。 三、反映數據波動大小的特征數： 1、方差： （l）的方差， （2）簡化計算公式：（為較小的整數時用這個公式要比較方便） （3）記的方差為，設a為常數，的方差為，則=。 注：當各數據較大而常數a較接近時，用該法計算方差較簡便。 2、標準差：方差（）的算術平方根叫做標準差（S）。 注：通常由方差求標準差。 四、頻率分布 1、有關概念 （1）分組：將一組數據按照統(tǒng)一的標準分成若干組稱為分組，當數據在100個以內時，通常分成512組。 （2）頻數：每個小組內的數據的個數

26、叫做該組的頻數。各個小組的頻數之和等于數據總數n。 （3）頻率：每個小組的頻數與數據總數n的比值叫做這一小組的頻率，各小組頻率之和為l。 （4）頻率分布表：將一組數據的分組及各組相應的頻數、頻率所列成的表格叫做頻率分布表。 （5）頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結果，繪制成的，以數據的各分點為橫坐標，以頻率除以組距為縱坐標的直方圖，叫做頻率分布直方圖。 圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距。 每個小長方形的面積等于該組的頻率。 所有小長方形的面積之和等于各組頻率之和等于1。 樣本的頻率分布反映樣本中各數據的個數分別占樣本容量n的比例的大小，總體分布反映總體中各組數據的個數分別在總體中所占

27、比例的大小，一般是用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布。 2、研究頻率分布的方法；得到一數據的頻率分布和方法，通常是先整理數據，后畫出頻率分布直方圖，其步驟是： （1）計算最大值與最小值的差；（2）決定組距與組數；（3）決定分點；（4）列領率分布表；（5）繪頻率分布直方圖。例題： 例1、某養(yǎng)魚戶搞池塘養(yǎng)魚，放養(yǎng)鱔魚苗20000尾，其成活率為70，隨意撈出10尾魚，稱得每尾的重量如下（單位：千克）08、09、12、13、08、1l、10、12、08、09 根據樣本平均數估計這塘魚的總產量是多少千克？ 分析：先算出樣本的平均數，以樣本平均數乘以20000，再乘以70%。解：略 規(guī)律總結求平均數有三

28、種方法，即當所給數據比較分散時，一般用平均數的概念來求；著所給數據較大且都在某一數a上下波動時，通常采用簡化公式；若所給教據重復出現時，通常采用加權平均數公式來計算。 例2、一次科技知識競賽，兩次學生成績統(tǒng)計如下 已經算得兩個組的人均分都是80分，請根據你所學過的統(tǒng)計知識進一步判斷這兩個組成績誰優(yōu)誰次，并說明理由 解：（l）甲組成績的眾數90分，乙組成績的眾數為70分，從眾數比較看，甲組成績好些。 （2）算得=172， 所以甲組成績較乙組波動要小。 （3）甲、乙兩組成績的中位數都是80分，甲組成績在中位數以上的有33人，乙組成績在中位數以上的有26人，從這一角度看甲組的成績總體要好。 （4）從

29、成績統(tǒng)計表看，甲組成績高于80分的人數為20人，乙組成績高于80分的人數為24人，所以，乙組成績集中在高分段的人數多，同時，乙組得滿分的人數比甲組得滿分的人數多6人，從這一角度看，乙組的成績較好。 規(guī)律總結明確方差或標準差是衡量一組數據的波動的大小的，恰當選用方差的三個計算公式，應抓住三個公式的特征，根據題中數據的特點選用計算公式。 例3、到從某學校3600人中抽出50名男生，取得他們的身高（單位cm），數據如下：181 181 179 177 177 177 176 175 175 175 175 174 174 174 174 173 173 173 173 172 172 172 172

30、 172 171 171 171 170 170 169 l69 168 167 167 167 166 l66 l66 166 166 165 165 165 163 163 162 161 160 158 157 1、計算頻率，并畫出頻率分布直方圖 2、上指出身高在哪一組內的男學生人數所占的比最大 3請估計這些初三男學生身高在1665cm以下的約有多少人？解：1、各組頻率依次是：0.08，0.22，0.22，0.36，0.12 2、從頻率分布表（或圖）中，可見身高在171.5176.5組內男學生人數所占的比最大。 3、這個地方男學生身高166.5側以下的約為900（人） 規(guī)律總結要掌握獲得

31、一組數據的頻率分布的五大步驟，掌握整理數據的步驟和方法。會對數據進行合理的分組。幾何部分第一章：線段、角、相交線、平行線知識點： 一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特征是“直”和“向兩方無限延伸”。 二、直線的性質：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線，直線的這條性質是以公理的形式給出的，可簡述為：過兩點有且只有一條直線，兩直線相交，只有一個交點。 三、射線：1、射線的定義：直線上一點和它們的一旁的部分叫做射線。 2射線的特征：“向一方無限延伸，它有一個端點?！?四、線段： 1、線段的定義：直線上兩點和它之間的部分叫做線段，這兩點叫做線段的端點。 2、線段的性質（公理）：所有

32、連接兩點的線中，線段最短。 五、線段的中點： 1、定義如圖1一1中，點B把線段AC分成兩條相等的線段，點B叫做線段圖11AC的中點。 2、表示法：ABBC點 B為 AC的中點 或 AB MAC 點 B為AC的中點，或AC2AB，點B為AC的中點 反之也成立點 B為AC的中點，ABBC 或點B為AC的中點， AB= AC 或點B為AC的中點， AC=2BC六、角 1、角的兩種定義：一種是有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。要弄清定義中的兩個重點角是由兩條射線組成的圖形； = 2 * GB3 這兩條射線必須有一個公共端點。另一種是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。可以看出

33、在起始位置的射線與終止位置的射線就形成了一個角。 2角的平分線定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。表示法有三種：如圖12 （1）AOCBOC （2）AOB2AOC 2COB（3）AOCCOB=AOB 七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作為度量單位。把一個圓周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。 八、角的分類： （1）銳角：小于直角的角叫做銳角 （2）直角：平角的一半叫做直角 （3）鈍角：大于直角而小于平角的角 （4）平角：把一條射線，繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終止位置和起始位置成一直線時，所成的角叫做平角。 （5）周角：把一

34、條射線，繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終邊和始邊重合時，所成的角叫做周角。 （6）周角、平角、直角的關系是： l周角=2平角=4直角=360 九、相關的角： 1、對頂角：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。 2、互為補角：如果兩個角的和是一個平角，這兩個角做互為補角。 3、互為余角：如果兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角。 4、鄰補角：有公共頂點，一條公共邊，另兩條邊互為反向延長線的兩個角做互為鄰補角。 注意：互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關，而互為鄰補角則要求兩個角有特殊的位置關系。 十、角的性質 1、對頂角相等。 2、同角或等角的余

35、角相等。 3、同角或等角的補角相等。 十一、相交線 1、斜線：兩條直線相交不成直角時，其中一條直線叫做另一條直線的斜線。它們的交點叫做斜足。 2、兩條直線互相垂直：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。 3、垂線：當兩條直線互相垂直時，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。 4、垂線的性質 （l）過一點有且只有一條直線與己知直線垂直。 （2）直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短。簡單說：垂線段最短。 十二、距離 1、兩點的距離：連結兩點的線段的長度叫做兩點的距離。 2、從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離。 3

36、、兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的任意一點向另一條直線引垂線，垂線段的長度，叫做兩條平行線的距離。 說明：點到直線的距離和平行線的距離實際上是兩個特殊點之間的距離，它們與點到直線的垂線段是分不開的。 十三、平行線 1、定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。 2、平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。 3、平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。 說明：也可以說兩條射線或兩條線段平行，這實際上是指它們所在的直線平行。 4、平行線的判定： （1）同位角相等，兩直線平行。 （2）內錯角相等，兩直線平行。 （3）同旁內角互補

37、，兩直線平行。 5、平行線的性質 （1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內錯角相等。 （3）兩直線平行，同旁內角互補。 說明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在已知條件中有兩條直線平行時，則應用性質定理。 6、如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。 注意：當角的兩邊平行且方向相同（或相反）時，這兩個角相等。當角的兩邊平行且一邊方向相同另一方向相反時，這兩個角互補。例題：方法1：利用特殊“點”和線段的長 例1、已知：如圖13，C是線段AB的中點，D是線段CB的中點，BD1.2cm。求：AD的長。 思路分析由D是CB中點，DB已知可求出CB，再由C點是

38、AB中點可求出AB長，用AB減減去DB可求AD。 解：略規(guī)律總結利用線段的特殊點如“中點”“比例點”求線段的長的方法是較為簡便的解法。 方法2：如何辨別角的個數與線段條數。 例2、如圖14在線段AE上共有5個點A、B、C、D、E怎樣才數出所有線段， 思路分析本問題如不認真審題會誤以為有4點恰有4個空就是4條線段即AB、BC、 CD、 ED；而如果從一個端點出發(fā)、再找出另一個端點確定線段，就會發(fā)現有10條線段： 即：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10條。 規(guī)律總結此類型題如果做到不重不漏，最好方法是先從一個端點出發(fā)， 再找出另一個端點確定線段。 例3、如圖1一5指出

39、圖形中直 線AB上方角的個數（不含平角） 思路分析此題有些同學不認真分析誤認為就4個角，其實共有9個角。即：AOC、AOD、AOE、COD、COE、COB、DOE、DOB、EOB共9個角。 規(guī)律總結從一個頂點引出多條射線時為了確定角的個數，一般按邊順序分類統(tǒng)計，避免既不重復又不遺漏。 方法3：用代數法求角度 例4、已知一個銳角的余角，是這個銳角的補角的，求這個角。 思路分析本題涉及到的角是銳角同它的余角及補角。根據互為余角，互為補角的概念，考慮它們在數量上有什么關系？設銳角為x，則它的余角為90 x 。，它的補角為180 x，這就可以列方程了。 解：略 規(guī)律總結有關余角、補角的問題，一般都用代

40、數方法先設未知數，再依題意列出方程，求出結果。 方法4：添加輔助線平移角 例5、已知：如圖l6，ABED 求證：BBCDD360 思路分析我們知道只有周角是等于360，而圖中又出現了與BCD相關的以C為頂點的周角，若能把B、D移到與BCD相鄰且以C為頂點的位置，即可把B、BCD和D三個角組成一分周角，則可推出結論。 證時：略規(guī)律總結此題雖是三種證法但思想是一樣的，都是通過加輔助線，平移角達到目的，這種處理方法在幾何中常常用到。幾何部分第二章：三角形知識點： 一、關于三角形的一些概念 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端

41、點叫三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內角，簡稱三角形的角。 1、三角形的角平分線。 三角形的角平分線是一條線段（頂點與內角平分線和對邊交線間的距離） 2、三角形的中線 三角形的中線也是一條線段（頂點到對邊中點間的距離） 3三角形的高 三角形的高線也是一條線段（頂點到對邊的距離） 注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內。 如圖 2l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分線，它們都在ABC內 如圖22，AD、BE、CF都是ABC的中線，它們都在ABC內 而圖23，說明高線不一定在 ABC內， 圖23（1） 圖23（2） 圖23一（3）圖23（1），中三條高線都在 ABC內， 圖2

42、3（2），中高線CD在ABC內，而高線AC與BC是三角形的邊； 圖23一（3），中高線BE在ABC內，而高線AD、CF在ABC外。 三、三角形三條邊的關系 三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。 等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項角。 三角形接邊相等關系來分類： 三角形 用集合表示，見圖24 推論三角形兩邊的差小于第三邊。 不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。 例如三條線段長分別為5，6，1人因為5612，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。 三、三角形的內角和 定理三角形三個內角的

43、和等于180 由定理可知，三角形的二個角已知，那么第三角可以由定理求得。 如已知ABC的兩個角為A90，B40，則C180904050 由定理可以知道，三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角。 推論1：直角三角形的兩個銳角互余。 三角形按角分類： 用集合表示，見圖 三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角。 推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。 推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。 例如圖26中 1 3；1=34；538；5378； 28；278；49；4910等等。 四、全等三角形 能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。 兩個全等三角形重合時

44、，互相重合的頂點叫對應頂點，互相重合的邊叫對應邊，互相重合的角叫對應角。 全等用符號“”表示 ABCA BC表示 A和 A， B和B， C和C是對應點。 全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。 如圖27，ABCA BC，則有A、B、C的對應點A、B、C；AB、BC、CA的對應邊是AB、BC、CA。 A，B，C的對應角是A、B、C。 ABAB，BCBC，CACA；AA， BB，CC 五、全等三角形的判定 1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”） 注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。 2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩

45、個三角形全等（可以簡寫成“角邊角“或“ASA”） 3、推論有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊域“AAS”） 4、邊邊邊公理有三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”） 由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質：三角形的穩(wěn)定性。 除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個三角形全等。 5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊，直角邊”或“HL”） 六、角的平分線 定理1、在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 定理2、一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線

46、上。 由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。 可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點（交于一點） 在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個做原命題，那么另一個叫它的逆命題。 如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫互逆定理，其中一個叫另一個的逆定理。 例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。 一個定理不一定有逆定理，例如定理：“對頂角相等”就沒逆定理，因為“

47、相等的角是對頂角”這是一個假命顆。七、基本作圖限定用直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作網最基本、最常用的尺規(guī)作圖通常稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。1、作一個角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），從而得到對應角相等；2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）從而得到對應角相等。3、經過一點作已知直線的垂線：（1）若點在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（2）若點在已知直線外，可用類似平分已知角的方法去做：已知點 C為圓心，適當長為半徑作弧交已知真線于A、B兩點，再以A、B為圓心，用相同的長為半徑分別作弧交于D點，連結CD即為所求垂線。4、作線段的垂直平分線：線段的垂直平分線也叫

48、中垂線。做法的實質仍是全等三角形（SSS）。也可以用這個方法作線段的中點。八、作圖題舉例重要解決求作三角形的問題 1、已知兩邊一夾角，求作三角形 2、已知底邊上的高，求作等腰三角形 九、等腰三角形的性質定理 等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”） 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60 例如：等腰三角形底邊中線上的任一點到兩腰的距離相等，因為等腰三角形底邊中線就是頂角的角平分線、而角平分線上的點到角的兩邊距離相等n 十、等腰

49、三角形的判定 定理：如果一個三角形有兩個角相，那這兩個角所對的兩條邊也相等。（簡寫成“等角對等動”）。 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形 推論2：有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形 推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于3O，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 十一、線段的垂直平分線 定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 就是說：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。 十二、軸對稱和軸對稱圖形 把一個圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形

50、關于這條直線軸對稱，兩個圖形中的對應點叫關于這條直線的對稱點，這條直線叫對稱軸。 兩個圖形關于直線對稱也叫軸對稱。 定理1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。 定理2：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。 定理3：兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長相交。那么交點在對稱軸上。 逆定理：如果兩個圖形的對應點連線被一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。 如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。 例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰

51、三角形的一條對稱軸，而等腰三角形是軸對稱圖形。 十三、勾股定理 勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方： 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系： 那么這個三角形是直角三角形例題： 例1、已知：AB、CD相交于點O，ACDB，OC=OD,E、F為AB上兩點，且AE=BF.求證：CE=DF分析：要證CE=DF，可證ACEBDF，但由已知條件直接證不出全等，這時由已知條件可先證出AOCBOD，得出AC=BD，從而證出ACEBDF.證明：略例2、已知：如圖，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上兩點，且AE=CF。求證：BF=DE分析：觀察圖形，BF和DE分別在

52、CFB和AED（或ABF和CDE）中，由已知條件不能直接證明這兩個三角形全等。這時可由已知條件先證明ABCCDA,由此得1=2，從而證出CFBAED。證明：略例3、已知：CAE是三角形ABC的外角, 1=2， ADBC 。求證：AB=AC證明：略例4、已知：如圖 3 89，OE平分AOB，ECOA于 C，EDOB于 D求證：（1）OCOD；（2）OE垂直平分CD分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到OECOED，再利用角平分線的性質定理得到 OCOD這樣處理，可避免證明兩個三角形全等證明：略幾何部分第三章：四邊形知識點：一、多邊形 1、多邊形：由一些線段首尾順次連結組成的圖形，叫

53、做多邊形。 2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。 3、多邊形的頂點：多邊形每相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點。 4、多邊形的對角線：連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。 5、多邊形的周長：多邊形各邊的長度和叫做多邊形的周長。 6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長，如果多邊形的其他各邊都在延長線所得直線的問旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。 說明：一個多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形；有四條邊的叫做四邊形；有幾條邊的叫做幾邊形。今后所說的多邊形，如果不特別聲明，都是指凸多邊形。 7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角

54、。 8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做多邊形的外角。 注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點的內角的鄰補角。 9、n邊形的對角線共有條。 說明：利用上述公式，可以由一個多邊形的邊數計算出它的對角線的條數，也可以由一個多邊形的對角線的條數求出它的邊數。 10、多邊形內角和定理：n邊形內角和等于（n2）180。 11、多邊形內角和定理的推論：n邊形的外角和等于360。 說明：多邊形的外角和是一個常數（與邊數無關），利用它解決有關計算題比利用多邊形內角和公式及對角線求法公式簡單。無論用哪個公式解決有關計算，都要與解方程聯系起來，掌握計算方法。 二、平行四邊形 1、平

55、行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 2、平行四邊形性質定理1：平行四邊形的對角相等。 3、平行四邊形性質定理2：平行四邊形的對邊相等。 4、平行四邊形性質定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。 5、平行四邊形性質定理3：平行四邊形的對角線互相平分。 6、平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 7、平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 8、平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 9、平行四邊形判定定理4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 說明：（1）平行四邊形的定義、性質和判定是研究特殊平行四邊形的基礎。

56、同時又是證明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。 （2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個性質，又是平行四邊形的一個判定方法。 三、矩形 矩形是特殊的平行四邊形，從運動變化的觀點來看，當平行四邊形的一個內角變?yōu)?0時，其它的邊、角位置也都隨之變化。因此矩形的性質是在平行四邊形的基礎上擴充的。 1、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長方形） 2、矩形性質定理1：矩形的四個角都是直角。 3矩形性質定理2：矩形的對角線相等。 4、矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。 說明：因為四邊形的內角和等于360度，已知有三個角都是直角，那么第四個角必定是直角。 5、矩形

57、判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。 說明：要判定四邊形是矩形的方法是： 法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明） 法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1） 法三：只需證出三個角都是直角。（這是判定定理2） 四、菱形 菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發(fā)生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。 1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 2、菱形的性質1：菱形的四條邊相等。 3、菱形的性質2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。 4、菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。 5、菱形判定定理2：對

58、角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 說明：要判定四邊形是菱形的方法是： 法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。 法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理2） 法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1） （五）正方形 正方形是特殊的平行四邊形，當鄰邊和內角同時運動時，又能使平行四邊形的一個內角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。 1、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。 2、正方形性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。 3、正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角

59、線平分一組對角。 4、正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。 5、正方形判定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。 注意：要判定四邊形是正方形的方法有 方法一：第一步證出有一組鄰邊相等； 第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明） 方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1） 方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理2） 六、梯形 1、梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。 2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的邊叫做下底） 3、梯形的腰：梯形中不平行的兩

60、邊叫做梯形的腰。 4、梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。 5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 6、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。 7、等腰梯形性質定理1：等腰梯形在同一底上的兩個角相等。 8、等腰梯形性質定理2：等腰梯形的兩條對角線相等。 9、等腰梯形的判定定理l。：在同一個底上鉤兩個角相等的梯形是等腰梯形。 10、等腰梯形的判定定理2：對角線相等的梯形是等腰梯形。 研究等腰梯形常用的方法有：化為一個等腰三角形和一個平行四邊形；或兩個全等的直角三角形和一矩形；或作對角線的平行線交下底的延長線于一點；或延長兩腰交于一點。 七、中位線 1、三角形的中位線連結三角形兩邊中點