自動控制理論-典型環(huán)節(jié)的頻率特性

1、第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與開環(huán)頻率特性8/23/20221實頻特性 ： ；虛頻特性： ；ReImK 比例環(huán)節(jié)： ;幅頻特性： ；相頻特性： 比例環(huán)節(jié)的極坐標圖為實軸上的K點。一、奈奎斯特圖8/23/20222積分環(huán)節(jié)的奈氏圖頻率特性：ReIm 積分環(huán)節(jié)的頻率特性：積分環(huán)節(jié)的極坐標圖為負虛軸。頻率w從0特性曲線由虛軸的趨向原點。8/23/20223慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：8/23/20224慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖極坐標圖是一個圓，對稱于實軸。證明如下：整理得：下半個圓對應于正頻率局部，而上半個圓對應于負頻率局部。8/23/20225實頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性 振蕩環(huán)節(jié)的

2、頻率特性：討論 時的情況。當K=1時，頻率特性為：8/23/20226當 時， ，曲線在3，4象限；當 時，與之對稱于實軸。 振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖實際曲線還與阻尼系數有關8/23/20227振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的根本形狀是相同的。當過阻尼時，阻尼系數越大其圖形越接近圓。8/23/20228 微分環(huán)節(jié)的頻率特性： 微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性8/23/20229 純微分環(huán)節(jié)：純微分環(huán)節(jié)的奈氏圖ReIm微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為正虛軸。頻率w從0特性曲線由原點趨向虛軸的+。8/23/202210一階微分環(huán)

3、節(jié)的奈氏圖 一階微分：ReIm一階微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為平行于虛軸直線。頻率w從0特性曲線相當于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個單位。8/23/202211二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性 二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：8/23/2022121極坐標圖是一個圓心在原點，半徑為1的圓。延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖 延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：8/23/2022137、開環(huán)系統(tǒng)極坐標頻率特性的繪制繪制奈氏圖 開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性或由典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合而成，或是一個有理分式，不管那種形式，都可由下面的方法繪制。 使用MATLAB工具繪制。 將開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性寫成 或 的形式，根據不同的

4、 算出 或 可在復平面上得到不同的點并連之為曲線。手工畫法。或直接用經驗法繪制。繪制方法：8/23/202214例5-1設開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為： 試列出實頻和虛頻特性的表達式。當 繪制奈氏圖。解：當 時， 找出幾個特殊點（比如 ，與實、虛軸的交點等），可大致勾勒出奈氏圖。為了相對準確，可以再算幾個點。8/23/202215 0-1.72-5.770 0-0.79 03.8510.80.20相角： -180-114.62 -90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖。8/23/202216以下圖是用 Matlab工具繪制的奈氏圖。8/23/202217例5-2設開環(huán)系統(tǒng)的頻率

5、特性為：試繪制極坐標特性曲線。解：分析1、當 時，顯然，當 時， 的漸近線是一條通過實軸 點，且平行于虛軸的直線。2、與實軸的交點。令： ，解得： ，這時：3、當 時， ，漸近線方向向下。8/23/2022188/23/202219具有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的頻率特性的特點：頻率特性可表示為：其相角為：當 時，當 時， 顯然，低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數有關，高頻段的頻率特性與n-m有關。8/23/202220以下圖為0型、型和型系統(tǒng)在低頻和高頻段頻率特性示意圖：（0型）（型）（型）低頻段頻率特性n-m=3n-m=1n-m=2高頻段頻率特性至于中頻局部，可計算一些特殊點的來確定。如與坐標的交點等。8/2

6、3/202221幅頻特性： ；相頻特性： 比例環(huán)節(jié)： ;對數幅頻特性： 相頻特性： 比例環(huán)節(jié)的bode圖二、對數頻率特性曲線波德圖，Bode圖8/23/202222 積分環(huán)節(jié)的頻率特性：頻率特性：積分環(huán)節(jié)的Bode圖可見斜率為20/dec 當有兩個積分環(huán)節(jié)時，斜率為 -40/dec 8/23/202223慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：對數幅頻特性： ，為了圖示簡單，采用分段直線近似表示。方法如下：低頻段：當 時， ，稱為低頻漸近線。高頻段：當 時， ，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/Dec的直線（表示 每增加10倍頻程下降20分貝）。 當 時，對數幅頻曲線趨近于低頻漸近線

7、，當 時，趨近于高頻漸近線。低頻高頻漸近線的交點為： ，得： ，稱為轉折頻率或交換頻率。 可以用這兩個漸近線近似的表示慣性環(huán)節(jié)的對數幅頻特性。8/23/202224慣性環(huán)節(jié)的Bode圖圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍線是實際曲線。8/23/202225慣性環(huán)節(jié)的Bode圖波德圖誤差分析實際頻率特性和漸近線之間的誤差：當 時，誤差為：當 時，誤差為：最大誤差發(fā)生在 處，為wT0.1 0.2 0.5 1 2 510L(w),dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 漸近線,dB 0 000-6 -14 -20 誤差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.

8、2-0.048/23/202226 相頻特性： 作圖時先用計算器計算幾個特殊點：由圖不難看出相頻特性曲線在半對數坐標系中對于( w0, -45)點是斜對稱的，這是對數相頻特性的一個特點。當時間常數T變化時，對數幅頻特性和對數相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據轉折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。慣性環(huán)節(jié)的波德圖wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76

9、-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.48/23/202227 振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論 時的情況。當K=1時，頻率特性為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性幅頻特性為：相頻特性為：對數幅頻特性為：低頻段漸近線：高頻段漸近線：兩漸進線的交點 稱為轉折頻率。斜率為-40dB/Dec。8/23/202228相頻特性：幾個特征點：由圖可見：對數相頻特性曲線在半對數坐標系中對于( w0, -90)點是斜對稱的。對數幅頻特性曲線有峰值。振蕩環(huán)節(jié)的波德圖8/23/202229對 求導并令等于零，可解得 的極值對應的頻率 。該頻率稱為諧振峰值頻率。可見，當 時， 。當 時，無諧振峰值。當 時，有諧振峰值

10、。諧振頻率，諧振峰值當 ， ， 。因此在轉折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數與實際曲線可能有很大的誤差。 8/23/202230振蕩環(huán)節(jié)的波德圖左圖是不同阻尼系數情況下的對數幅頻特性和對數相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數情況下的對數幅頻特性實際曲線與漸近線之間的誤差曲線。8/23/202231 微分環(huán)節(jié)的頻率特性： 微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性8/23/202232純微分環(huán)節(jié)的波德圖 純微分：8/23/202233 一階微分：這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸進線的交點為相頻特性：幾個特殊點如下相角的變化范圍從0到 。低

11、頻段漸進線：高頻段漸進線：對數幅頻特性（用漸近線近似）：一階微分環(huán)節(jié)的波德圖8/23/202234一階微分環(huán)節(jié)的波德圖8/23/202235幅頻和相頻特性為： 二階微分環(huán)節(jié)：低頻漸進線：高頻漸進線：轉折頻率為： ，高頻段的斜率+40dB/Dec。相角：可見，相角的變化范圍從0180度。二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性8/23/202236二階微分環(huán)節(jié)的波德圖8/23/202237 延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖8/23/2022387、開環(huán)系統(tǒng)對數坐標頻率特性的繪制繪制波德圖 開環(huán)系統(tǒng)對數頻率特性曲線的繪制方法：先畫出每一個典型環(huán)節(jié)的波德圖，然后相加。8/2

12、3/202239例：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數為： ，試畫出該系統(tǒng)的波德圖。解：該系統(tǒng)由四個典型環(huán)節(jié)組成。一個比例環(huán)節(jié)，一個積分環(huán)節(jié)兩個慣性環(huán)節(jié)。手工將它們分別畫在一張圖上。然后，在圖上相加。8/23/202240 實際上，畫圖不用如此麻煩。我們注意到：幅頻曲線由折線漸進線組成，在轉折頻率處改變斜率。 確定 和各轉折頻率 ，并將這些頻率按小大順序依次標注在頻率軸上； 確定低頻漸進線： ，就是第一條折線，其斜率為 ，過點（1，20logk）。實際上是k和積分 的曲線。具體步驟如下：8/23/202241 高頻漸進線的斜率為：-20(n-m)dB/dec。 相頻特性還是需要點點相加，才可畫出。遇到 （一階慣

13、性）時，斜率下降-20dB/Dec;遇到 （二階慣性）時，斜率下降-40dB/Dec; 畫好低頻漸進線后，從低頻開始沿頻率增大的方向，每遇到一個轉折頻率改變一次分段直線的斜率：遇到 （一階微分）時，斜率增加+20dB/Dec;遇到 （二階微分）時，斜率增加+40dB/Dec;8/23/202242例5-3系統(tǒng)開環(huán)特性為：試畫出波德圖。解：1、該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，所以則，2、低頻漸進線：斜率為 ，過點（1，20）3、波德圖如下：8/23/202243紅線為漸進線，蘭線為實際曲線。8/23/202244例5-4已知，試畫波德圖。解：1、2、低頻漸進線斜率為 ，過（1，-60）點。4、畫出波德圖如下頁

14、：3、高頻漸進線斜率為 ：8/23/202245紅線為漸進線，蘭線為實際曲線。8/23/202246三、非最小相位系統(tǒng)的頻率特性 在前面所討論的例子中，當 時，對數幅頻特性的高頻漸進線的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相頻都趨于 。具有這種特征的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。在最小相位系統(tǒng)中，具有相同幅頻特性的系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）其相角（位）的變化范圍最小，如上表示的 。相角變化大于最小值的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。結論：在s右半平面上沒有零、極點的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，相應的傳遞函數為最小相位傳遞函數；反之為非最小相位系統(tǒng)。8/23/202247例有兩個系統(tǒng)，頻率特性分別為：轉折頻率都是：幅頻特性相同，均為：相頻特性不同，分別為：顯然， 滿足 的條件，是最小相位系統(tǒng)；而 不滿足 的條件，是非最小相位系統(tǒng)。可以發(fā)現：在右半平面有一個零點。8/23/202248最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng) 該兩個系統(tǒng)的波德圖如下所示：8/23/202249奈氏圖為：最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)8/23/202250 對于最小相