數(shù)理之三補(bǔ)充習(xí)題數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)

1、一、集合的證明：1. 證明： (1) 任意閉集類的交集是閉集；(2) 有限閉集類的并集是閉集。證：（1）對(duì)于所有i I ， I 是一個(gè)指標(biāo)集， S 是閉集，即其補(bǔ)集SC 是開集。iiCS CS，根據(jù)德定律，有i i iIiI因?yàn)殚_集的并集是開集，即Si 是開集。iICCSi 是開集。 Si 是閉集，即任意閉集的交是閉集。iI iI（2）同理，對(duì)于所有的 i 1, 2,.n ， S 是閉集，即說(shuō)明其補(bǔ)集SC 是開集。iii 1根據(jù)德定律，有iii 1inSC因?yàn)槿魏斡邢迋€(gè)開集的交集是開集，即是開集。i 1i CnniS是開集。 S 是閉集，即有限個(gè)閉集的并集是閉集。i 1i 1續(xù)函數(shù)，其中 S

2、x 2 x 20,i 1, 2,., n ，2. 設(shè)函數(shù) f i：S T 是iT x 4 x 10 。證明： f i (x) x 0 有解。i證明：在 S 中任取兩點(diǎn) x1 ， x2 ，對(duì)于t 0,1 ，令t x2 ，即有 tx1 (1 t)x2 。依題意，有2 x1 20 ， 2 x2 20 。xtiiiii則 2t tx1 20t ， 2(1 t) (1 t)x2 20(1 t) ； 2 tx1 (1 t)x2 20 ，即 iiii2 xt 20 。i xt 也在S 中。 S 是凸集。又 S x 2 xi 20,i 1, 2,., n，顯然的， S 是緊集。令 F (x) ( f 1(x)

3、, f 2 (x), f n (x)T ，顯然，F(xiàn)（x）為連續(xù)函數(shù)，且4 f i (x) 8 2 f i (x) 20,i 1, 2, n ，這表明 F (x) S ，即 F 為S S 的連續(xù)。根據(jù)x* S ，使得不動(dòng)點(diǎn)定理，在 S 中至少有一個(gè) F 的不動(dòng)點(diǎn)，即至少存在一個(gè)*x f i (x*) 。i即 f i (x) x 0 有解。證明完畢。i二、函數(shù)凹性證明：n函數(shù)： f (x) Ax，其中 A 0 ， 0 ，對(duì)于i ，當(dāng) x 03.-iiii 1時(shí)，證明：該函數(shù) f (i) 是擬凹函數(shù)。 2x x 2 ：4. 有函數(shù)(1)f (11 22(2) 求其駐點(diǎn)，以及局部極值。該函數(shù)的凹凸性解

4、：依題意，f1 4 2x1 x2 ,f2 2 x1 2x2 f22 2. f ()的矩陣為： f11f1 212H f 12f 2122 H 的順序主子式為：D1 2 0D (2)2 1 3 02H 負(fù)定， f () 是嚴(yán)格凹函數(shù)。（2） 令 103x 0,x *21 83 解得駐點(diǎn)為 x* x 02210 8(x*, x*) (, )123 3又 f () 是嚴(yán)格的凹函數(shù)，10 8 (x*, x*) (, )為該函數(shù)的局部極大值點(diǎn)，同時(shí)也是該函數(shù)的全局最大值123 3點(diǎn)。相應(yīng)的，函數(shù)的極值為 84 。9三、函數(shù)&定理5. 證明下列函數(shù)是函數(shù)，并求其次數(shù)：n(C-D)函數(shù)： f (x) A x

5、i ；(1)-ii1nnnnii解： f (kx) A(kxi ) A k xi k f (x) ，i1i1iii 1i 1n f (x)是次的函數(shù)。ii 1i in)函數(shù)： g(x) A( x)， v/ (2) 不變替代彈性(i1n其中， A 0, v 0, 1且 0 ，對(duì)于所有的i, 0, 1。iii1v / v / nn (kx ) 解： g(kx) AA kxiiiii 1i 1i iv / n x k Av kv g(x) ，i 1 g(x)是 v 次的函數(shù)。f (x)n定理，即有 f (x) i 1 xi 。進(jìn)一步的，還可以出：驗(yàn)證xi四、定理&無(wú)約束單變量極值6. 令 f : 在

6、圍繞 x0 0 的區(qū)間中是m 1 階可微函數(shù)。假設(shè)對(duì)于某個(gè)m 1，f (m) (x0 ) 是第一個(gè)在 x0 0 處不等于 0 的 f 的導(dǎo)數(shù)，即：f (x0 ) f (x0 ) f (3) (x0 ) . 定理證明：f (m1) (x0 ) 且f (m) (x0 ) 0利用若m 是偶數(shù)，且 f (m) (x0 ) 0 ，則 f 在 x0 處取得局部極大值；(1)若m 是偶數(shù)，且 f (m) (x0 ) 0 ，則 f 在 x0 處取得局部極小值；(2)若m 是奇數(shù)，則 x0 既不是 f 的極大值點(diǎn)，也不是 f 的極小值點(diǎn)。(3)證：根據(jù)假設(shè)， f (m) 在 x0 0 處連續(xù)。因此，根據(jù)連續(xù)函數(shù)

7、的符號(hào)保持性，存在某個(gè)圍繞 x0 0 的開區(qū)間 I ， f (m) 在這個(gè)區(qū)間中不改變符號(hào)。根據(jù)定理，對(duì)于 I 中的每個(gè) x ，有：f (m) ( x)f (m) ( x)f (k) (0)f (x) f (0) m 1 f (0) xkxmxmk 1k !m!m!其中， (0,1) ，則 x I 。因此，對(duì)于任意 x I ，有：f (m) ( x)其中 f (m) ( x) 與 f (m) (0) 的符號(hào)相同。f (x) f (0) xm ，m!考慮上式右邊的符號(hào)。(1) 若m 是偶數(shù)，對(duì)于不等于 0 的所有 x I , xm 0 。若 f (m) (0) 0 ，則有 f (m) ( x)

8、0 ，對(duì)于 I 中所有不同于 0 的點(diǎn) x ，f (x) f (0) 0 。 f 在 x0 0 處取得局部極大值。(2) 同理，若m 是偶數(shù)，但 f (m) (0) 0 ，則有 f (m) ( x) 0 ，對(duì)于 I 中所有不同于0 的點(diǎn) x ， f (x) f (0) 0 。 f 在 x0 0 處取得局部極小值。xm 0,若x 0(3)若m 是奇數(shù)，對(duì)于不等于 0 的所有 x I , 有兩種情形，即x 0,若x 0m因此，對(duì)于 I 中所有不同于 0 的點(diǎn) x ，無(wú)法得出 f (x) f (0) 0或是f (x) f (0) 0 。 x0 0 既不是 f 的極大值點(diǎn)，也不是 f 的極小值點(diǎn)。七、

9、導(dǎo)數(shù)&積分 17. 消費(fèi)者的邊際消費(fèi)傾向是收入 Y 的函數(shù)： f (Y ) 0.8 0.2Y 2 ，并且當(dāng)他的收入 Y=100 時(shí)，他會(huì)將其全部收入用于消費(fèi)，求他的消費(fèi)函數(shù) 11解： C(Y ) f (Y )dY (0.8 0.2Y 2 )dY 0.8Y 0.4Y 2 c由題意得 Y=100 時(shí)，C=100代入上式 c=161該消費(fèi)者的消費(fèi)函數(shù)C(Y ) 0.8Y 0.4Y 2 16八、無(wú)約束極值問(wèn)題x 2x2 5 的極值8. 求 f12 12九、等式約束極值問(wèn)題9. max（x 8 y）, 受約束于x 4 y 4 1日函數(shù) L (x 81y )(x4 y4）解：構(gòu)造Lx LY L FONC：

10、0 1 1 1 14得到： x 17, y 2 17,或x 17, y 2 17444(x，y) (17；37 4(x，y) (17十、不等式約束靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題0 5 x0 5 ，其中 x 和 x10. 已知消費(fèi)者的效用函數(shù)為 u(分別表示對(duì)甲、乙1212p1x1 p2 x2 I ，試求消費(fèi)者的均衡點(diǎn)，并兩種商品的量。假定約束為驗(yàn)證二階條件成立。解：該問(wèn)題為：maxU (0 5 x0 5s.t. p x p x I121 12 2構(gòu)造日函數(shù)：L xx (I p x p x )0 5 0 5121 12 2由 Kuhn-Tucker 條件 0 51 xLx p 0 2 (1)12x1 1 0 5L

11、1 x p 0 1 (2)x22x2 2 * L 0 I L p x p x01 122 *0 x2p1 ，1* 由(1)、(2)得，p x px即；1 12 2xp2 p p121 2 * 0 ，根據(jù)松弛互補(bǔ)條件， * L 0得L 0 L I p x p x I 2 p x 01 12 21 1I2 pI x x .122 p12II消費(fèi)者的均衡點(diǎn)是（x , x ）=(,).122 p2 p12L 0 * 0 ,問(wèn)題同等式約束條件下的極值問(wèn)題。即消費(fèi)者使其效用最大化問(wèn)題。下面二階條件：g(x1, x2 ) pg(x1, x2 ) p .設(shè) g(x , x ) I p x p x, 則，121

12、 12 2x1x212L ； L L L 5.；11121221122212444加邊矩陣1p1p2H 2410 50 50 5 Dp2 0 5034 21121I2211242I（x ,x ）=(,)是極大值點(diǎn)，即為消費(fèi)者的消費(fèi)均衡點(diǎn)。122 p2 p12類似的，可以出這樣：一個(gè)消費(fèi)者面對(duì)價(jià)格分別為 p1 和p2 的商品 1 和商品 2 的效用函數(shù) 2x )U (12其中0 1(1) U (x1, x2 )如果該消費(fèi)者面對(duì)的預(yù)算約束是p1 x1 p2 x2 y ，那么當(dāng)他實(shí)現(xiàn)其效用最大化的時(shí)候，求其需求函數(shù)。當(dāng)商品1價(jià)格增加的時(shí)候，商品2的需求將發(fā)生怎樣的變化？這表明它們之間的關(guān)系是替代還是

13、互補(bǔ)？十一、單變量一階微分方程11. 在一個(gè)動(dòng)態(tài)市場(chǎng)里，存在：QdPdt P PD，Q S假設(shè)這一市場(chǎng)在每一個(gè)時(shí)點(diǎn)都是出清的， t 0 時(shí)，價(jià)格為 P(0) ；求其時(shí)間路徑P(t) 。dP解：由于市場(chǎng)在每一個(gè)時(shí)點(diǎn)都是出清的， P Pdt dP ( ) P dt解這個(gè)微分方程得時(shí)間路徑： P(t) P(0) exp( t) 十二、微分方程系統(tǒng)12. 求解下列微分方程系統(tǒng)，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。y 1 y1 2 y2（1） y 6 y 3y； 212 x x2 y（2） y x xy解：（1）當(dāng) y 1 0, y 2 0 時(shí)，再看該方程組的系數(shù)矩陣為：y1 0，y2 0 。A 12 63由(I A)

14、 X 0 ，得特征行列式 126 3I A ( 1)( 3) 12 2 2 15 ( 5)( 3) 0解得， 1 5 ， 2 3由系數(shù)矩陣特征根分析，知， 1 2 tr( A) 2 0 ， 1 2 15 0A該系統(tǒng)存在一條鞍點(diǎn)穩(wěn)定路徑。在( y *, y *) (0, 0) 處，系統(tǒng)達(dá)到鞍點(diǎn)穩(wěn)態(tài)。12（2）當(dāng) x 0, y 0 時(shí)，(x, y) (0,0) 或 (x, y) (1,1) 。對(duì)原微分方程系統(tǒng)，在均衡點(diǎn)附近進(jìn)行 Taylor 展開：*f (x*, y*) x*) ( y y*)xg(x*, y*)y f (x, y) x2 y，其中， g(x, y) x xy ；g(x*, y*)

15、 y (x x*) ( y y*)xyx 0 y(i) 在(x, y) (0,0) 處，Taylor 展開后，有 y x 0對(duì)于這個(gè)線性微分方程系統(tǒng)，其系數(shù)矩陣為 A 1 ，可解得對(duì)應(yīng)的特征根0 10 為1 i, 2 i 。 1 2 tr( A) 0 ， 1 2 det A 1 0在(x, y) (0, 0) ，均衡點(diǎn)是中心點(diǎn)，且系統(tǒng)是極限環(huán)式穩(wěn)定。x 2x y 1(ii) 在(x, y) (1,1) 處，Taylor 展開后，有 y 2x y 3對(duì)于這個(gè)線性微分方程系統(tǒng)，其系數(shù)矩陣為 A 1 ，則對(duì)應(yīng)的trA 3 0 ，2 21det A 4 0 ， tr2 A 4det A 7 0 對(duì)應(yīng)的

16、特征根為復(fù)數(shù)根，且實(shí)部不為 0，可以判斷，該均衡點(diǎn)是螺線點(diǎn)，且系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。十三、線性規(guī)劃13. 已知下列線性規(guī)劃：Min. C x1 4x212 x1 8 2 x 12s.t. 3 2 且 x1 , x2 0的最優(yōu)解是 x1 8, x2 0 ：（1）（2）（3）求 s1, s2和C ； 寫出對(duì)偶規(guī)劃；根據(jù)上面（1）的， y2 的值應(yīng)等于多少？根據(jù)已給的最優(yōu)解，哪一個(gè)對(duì)偶約束條件是嚴(yán)格等式？（4） 用（3）的解出 y1 。解：(1) 可以將此線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為：Min.C x1 4x2s.t.x1 2x2 s1 83x1 2x2 s2 12x1, x2 02 分將已知條件中的最優(yōu)解代入上述約束條件和目標(biāo)函數(shù)，可以解得：s1 0 ， s2 12 ， C 83 分(2) 寫出該線性規(guī)劃的對(duì)偶規(guī)劃：用C* 表示對(duì)偶規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)，相應(yīng)的對(duì)偶變量用 y1, y2 表示：依題意，原規(guī)劃的對(duì)偶規(guī)劃可以寫成以下形式：Max.C* 8 y 12 y12 1 3y11s.t. 22 y 4 2 y1, y2 0或者，可以相應(yīng)地表示為：Max.C* 8 y 12 y12y1 3y2 t1 1,2 y1 2 y2 t2 4,y1, y2 0s.t. (3) 根據(jù)對(duì)偶定理，如果線性規(guī)劃中某個(gè)虛擬變量的最