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文檔簡介
1、7.1條件概率與全概率公式7.1.1條件概率第1課時條件概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合古典概型,了解條件概率的定義.2.掌握條件概率的計算方法.3.利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題導(dǎo)語集市上,有這樣一個游戲很受孩子們的喜歡,游戲規(guī)則是:袋中有兩個球,一個白球,一個黑球,從袋中每次隨機摸出1個球,現(xiàn)有兩種方案:(1)若兩次都取到黑球,攤主送給摸球者10元錢,否則摸球者付給攤主5元錢;(2)若已知第一次取到黑球的條件下,第二次也取到黑球,攤主送給摸球者10元錢,否則摸球者付給攤主5元錢你覺得這個游戲公平嗎?攤主會不會賠錢?一、條件概率的理解問題拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次(1)兩次都是正面向上的概率是多
2、少?(2)在已知有一次出現(xiàn)正面向上的條件下,兩次都是正面向上的概率是多少?(3)在第一次出現(xiàn)正面向上的條件下,第二次出現(xiàn)正面向上的概率是多少?提示(1)兩次拋擲硬幣,試驗結(jié)果的樣本點組成樣本空間eq blcrc(avs4alco1(正正,正反,反正,反反),其中兩次都是正面向上的事件記為B,則Beq blcrc(avs4alco1(正正),故P(B)eq f(1,4).(2)將兩次試驗中有一次正面向上的事件記為A,則Aeq blcrc(avs4alco1(正正,正反,反正),那么,在A發(fā)生的條件下,B發(fā)生的概率為eq f(1,3).在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率產(chǎn)生了變化(3)將第一次
3、出現(xiàn)正面向上的事件記為C,則Ceq blcrc(avs4alco1(正正,正反),那么,在C發(fā)生的條件下,B發(fā)生的概率為eq f(1,2).在事件C發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率產(chǎn)生了變化知識梳理條件概率:一般地,設(shè)A,B為兩個隨機事件,且P(A)0,則P(B|A)eq f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率注意點:A與B相互獨立時,可得P(AB)P(A)P(B),則P(B|A)P(B)例1判斷下列幾種概率哪些是條件概率:(1)某校高中三個年級各派一名男生和一名女生參加市里的中學(xué)生運動會,每人參加一個不同的項目,已知一名女生獲得冠軍,則該名女生是高一的概率
4、(2)擲一枚骰子,求擲出的點數(shù)為3的概率(3)在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張,已知抽到梅花的條件下,再抽到的是梅花5的概率解由條件概率定義可知(1)(3)是,(2)不是反思感悟判斷是不是條件概率主要看一個事件的發(fā)生是否是在另一個事件發(fā)生的條件下進行的跟蹤訓(xùn)練1下面幾種概率是條件概率的是()A甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,各投籃一次都投中的概率B甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率C有10件產(chǎn)品,其中3件次品,抽2件產(chǎn)品進行檢驗,恰好抽到一件次品的概率D小明上學(xué)路上要過四個路口,每個路口遇到紅燈的概率都是eq f(2,5),則
5、小明在一次上學(xué)中遇到紅燈的概率答案B解析由條件概率的定義知B為條件概率二、利用定義求條件概率例2現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽,其中4個舞蹈節(jié)目,2個語言類節(jié)目,如果不放回地依次抽取2個節(jié)目,求:(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率;(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率;(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率解設(shè)“第1次抽到舞蹈節(jié)目”為事件A,“第2次抽到舞蹈節(jié)目”為事件B,則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個,總的樣本點數(shù)n()Aeq oal(2,6)30.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,得n(A)Aeq oal(1,4)Aeq oal(1,5
6、)20,所以P(A)eq f(nA,n)eq f(20,30)eq f(2,3).(2)因為n(AB)Aeq oal(2,4)12,所以P(AB)eq f(nAB,n)eq f(12,30)eq f(2,5).(3)由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率P(B|A)eq f(PAB,PA)eq f(f(2,5),f(2,3)eq f(3,5).延伸探究本例條件不變,試求在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到語言類節(jié)目的概率解設(shè)“第1次抽到舞蹈節(jié)目”為事件A,“第2次抽到語言類節(jié)目”為事件C,則第1次抽到舞蹈節(jié)目、第2次抽到語言類節(jié)目為事件AC.P(A)eq
7、f(2,3),P(AC)eq f(8,30)eq f(4,15),P(C|A)eq f(PAC,PA)eq f(2,5).反思感悟利用定義計算條件概率的步驟(1)分別計算概率P(AB)和P(A)(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)eq f(PAB,PA),這個公式適用于一般情形,其中AB表示A,B同時發(fā)生跟蹤訓(xùn)練2從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張,將其中一張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔,求兩張都是假鈔的概率解設(shè)A“抽到的兩張都是假鈔”,B“抽到的兩張中至少有一張是假鈔”,則所求概率為P(A|B)P(AB)P(A)eq f(Coal(2,5),Coal(2,20),P(B)eq f
8、(Coal(2,5)Coal(1,5)Coal(1,15),Coal(2,20),P(A|B)eq f(PAB,PB)eq f(Coal(2,5),Coal(2,5)Coal(1,5)Coal(1,15)eq f(10,85)eq f(2,17).三、縮小樣本空間求條件概率例3集合A1,2,3,4,5,6,甲、乙兩人各從A中任取一個數(shù),若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇數(shù)的條件下,求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率解將甲抽到數(shù)字a,乙抽到數(shù)字b,記作(a,b),甲抽到奇數(shù)的樣本點有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3
9、,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15個在這15個樣本點中,乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的樣本點有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9個,所以所求概率Peq f(9,15)eq f(3,5).延伸探究1在本例條件下,求乙抽到偶數(shù)的概率解在甲抽到奇數(shù)的樣本點中,乙抽到偶數(shù)的樣本點有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9個,所以所求概率Peq f(9,15)eq f(3,5).2若甲先取(放回),乙后取,若事件A為“甲
10、抽到的數(shù)大于4”,事件B為“甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7”,求P(B|A)解甲抽到的數(shù)大于4的樣本點有(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12個,其中甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7的樣本點有(5,2),(6,1),共2個,所以P(B|A)eq f(2,12)eq f(1,6).反思感悟利用縮小樣本空間法求條件概率的方法(1)縮:將原來樣本空間縮小為事件A,原來的事件B縮小為事件AB.(2)數(shù):數(shù)出A中事件AB所包含的樣本點(3)算:利用P(B|A)eq f(nAB,nA)求得結(jié)果跟蹤訓(xùn)練3(
11、1)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,記A兩次的點數(shù)均為奇數(shù),B兩次的點數(shù)之和為4,則P(B|A)等于()A.eq f(1,12)B.eq f(1,4)C.eq f(2,9)D.eq f(2,3)答案C解析由題意知,事件A包含的樣本點是(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9個,在A發(fā)生的條件下,事件B包含的樣本點是(1,3),(3,1),共2個,所以P(B|A)eq f(2,9).(2)5個乒乓球,其中3個新的,2個舊的,每次取一個,不放回地取兩次,則在第一次取到新球的條件下,第二次取到新球的概率為_答案eq f(1,2)解析
12、設(shè)第1次取到新球為事件A,第2次取到新球為事件B,則P(B|A)eq f(nAB,nA)eq f(32,34)eq f(1,2).1知識清單:(1)條件概率的理解(2)利用定義求條件概率(3)縮小樣本空間求條件概率2方法歸納:定義法、縮小樣本空間法3常見誤區(qū):分不清“在誰的條件下”,求“誰的概率”1設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)0,若P(AB)eq f(1,3),P(A)eq f(2,3),則P(B|A)等于()A.eq f(1,2)B.eq f(2,9)C.eq f(1,9)D.eq f(4,9)答案A解析P(B|A)eq f(PAB,PA)eq f(f(1,3),f(2,3)eq f(1,
13、2).2某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A0.8B0.75C0.6D0.45答案A解析根據(jù)條件概率公式得所求概率為eq f(0.6,0.75)0.8.3甲、乙、丙三人到三個景點旅游,每人只去一個景點,設(shè)事件A為“三個人去的景點不相同”,B為“甲獨自去一個景點”,則概率P(A|B)等于()A.eq f(4,9)B.eq f(2,9)C.eq f(1,2)D.eq f(1,3)答案C解析由題意可知n(B)Ceq oal(1,3)2212,n(AB)Aeq oal(3,3)6,P(A|B)eq f(nAB,nB)eq f(6,12)eq f(1,2).4從標(biāo)有1,2,3,4,5的五張卡中,依次抽出2張(取后不放回),則在第一次抽到偶數(shù)的情況下,第二次抽到奇數(shù)的概率為_答案eq f(3,
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