數(shù)學(xué)相關(guān)微積分

1、上節(jié)內(nèi)容回顧對(duì)面積的曲面積分的概念“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)對(duì)面積的曲面積分有與第一類曲線積分類似的性質(zhì)：注意兩點(diǎn)：可加性；線性性；對(duì)稱性等思考：質(zhì)量分布在曲面S上的物質(zhì)的1、質(zhì)心坐標(biāo)；2、對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；3、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力等第一類曲面積分有與第一類曲線積分類似的物理應(yīng)用。利用微元分析法思想！重積分二、第一類曲面積分的計(jì)算按照積分曲面的方程的不同形式分為以下四種：基本方法是轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算。否則，需對(duì)曲面進(jìn)行分割！將積分曲面向xoy面做投影！則一投、二代、三換。則則將積分曲面向zox面做投影！將積分曲面向yoz面做投影！4 若曲面為參數(shù)方程此時(shí)只需求出

2、參數(shù)形式下的dS表達(dá)式，也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的二重積分?？蓞⒁姾竺娴睦?，例8主要是在球面坐標(biāo)系和柱面坐標(biāo)系形式下的曲面面積元素的表示形式。1）球面坐標(biāo)系下2）柱面坐標(biāo)系下例1解解依對(duì)稱性知：例3解（左右兩片投影相同）利用對(duì)稱性！例4解 例5解：由輪換對(duì)稱性知，所以，思考：？例6解建立坐標(biāo)系例7解一采用球面坐標(biāo) 此時(shí)解二利用直角坐標(biāo)系利用曲面方程和對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算！例8 計(jì)算曲面積分解例9. 設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km,運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )

3、解: 建立坐標(biāo)系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 ,利用球坐標(biāo)系, 則衛(wèi)星覆蓋面積為故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球 以上的面積, 故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. 內(nèi)容小結(jié)1對(duì)面積的曲面積分的概念和性質(zhì)性質(zhì)：可加性；線性性；對(duì)稱性等2對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算思路：化為投影域上的二重積分計(jì)算. 按照積分曲面的方程的不同形式分別投影到相應(yīng)坐標(biāo)面上，參數(shù)方程形式一投、二代、三換單值函數(shù)曲面分塊注意：利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. 4). 若曲面為參數(shù)方程球面坐標(biāo)系下柱面坐標(biāo)系下作業(yè)P194 2 3 4 6 7 8 9 第五節(jié)

4、第二類曲面積分一、側(cè)的概念二、引例三、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)四、第二類曲面積分的計(jì)算五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系一、側(cè)的概念觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面 如果在曲面上任取一點(diǎn),當(dāng)該點(diǎn)在曲面上連續(xù)運(yùn)動(dòng)又回到出發(fā)點(diǎn)時(shí),其單位法線向量也回到原先的位置.雙側(cè)曲面的特征：莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:播播放放曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).指定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的側(cè)由單位法向量唯一確定！上、下側(cè)；左、右側(cè)；前、后側(cè)；封閉曲面：內(nèi)、外側(cè)。 曲面的投影問題:曲面上側(cè)曲面下側(cè)曲面與xoy面垂直有向投影！小測(cè)驗(yàn)3、驗(yàn)證在右半平面內(nèi)存在 原函數(shù) , 并求出原函數(shù). 1解1解2解3、驗(yàn)證在右半平面 內(nèi)存在 原函數(shù) , 并求出原函數(shù). 證: 令則由定理 可知存在原函數(shù)或練習(xí):計(jì)算曲面積分解練習(xí)3計(jì)算第二類曲線積分其中L為上半圓周積分沿從到的方向. 1. 解考查：第一類曲線積分的計(jì)算！2.設(shè) 是由曲面 和平面所圍成的立體, 其上質(zhì)量分布是均勻的(密度