新教材2021-2022學年人教A版必修第一冊-　不同函數(shù)增長的差異 課件（14張）

1、4.4.3不同函數(shù)增長的差異學習本節(jié)內(nèi)容,體會常見函數(shù)的變化異同,提升數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析的能力.要注意以下幾點:1.掌握常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì),并體會其增長速度的差異.2.理解直線上升、對數(shù)增長、指數(shù)爆炸的含義以及三種函數(shù)模型的比較.性質(zhì)函數(shù)y=ax(a1)y=logax(a1)y=kx(k0)在(0,+)上的增減性增增增圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定增長速度固定增長特點隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,即增長速度急劇隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩直線上升,其增長速度不變增長速度y=ax(a1)的增長速度遠遠快于y=kx(k

2、0)的增長速度,y=kx(k0)的增長速度快于y=logax(a1)的增長速度結(jié)果存在一個x0,當xx0時,有axkx,logax1)和冪函數(shù)y=xn(n0)在區(qū)間(0,+)上,總存在一個x0,當xx0時,logaxxn.()提示:根據(jù)圖象可知結(jié)論正確.3.在函數(shù)y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中,增長速度最快的是y=3x.()提示:在這幾類函數(shù)中,指數(shù)函數(shù)的增長速度最快.4.當0a1,n1)與y=kx(k0)都是增函數(shù),隨著x的增大,指數(shù)函數(shù)的增長速度越來越快,相比指數(shù)函數(shù),一次函數(shù)增長得較慢.常見的函數(shù)模型及增長特點1.線性函數(shù)模型y=kx+b(k0)的增長特點是直線上升,其增

3、長速度不變.2.指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,即增長速度急劇,形象地稱為“指數(shù)爆炸”.3.對數(shù)函數(shù)模型y=logax(a1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩.甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一個方向運動,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時間x(x0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=x, f4(x)=log2(x+1),有以下結(jié)論:當x1時,甲在最前面;當x1時,乙在最前面;當0 x1時,丁在最后面;丙不可能在最前面,也不可能在最后面;如果它們

4、一直運動下去,那么最終在最前面的是甲.其中,正確結(jié)論的序號為.思路點撥確定函數(shù)的類型,在同一坐標系中作出各函數(shù)圖象,比較各個函數(shù)的變化趨勢.解析路程fi(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時間x(x0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=x, f4(x)=log2(x+1),它們相對應的函數(shù)模型分別是指數(shù)型函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)和對數(shù)型函數(shù).當x=2時, f1(2)=3, f2(2)=4,不正確;當x=5時, f1(5)=31, f2(5)=25,不正確;根據(jù)四種函數(shù)的變化特點,對數(shù)型函數(shù)的增長速度是先快后慢,畫出四個函數(shù)的圖象(圖略),可知當x=1時,甲、

5、乙、丙、丁四個物體的路程相等,從而當0 x1時,丁在最后面,正確;結(jié)合對數(shù)型函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,正確;指數(shù)函數(shù)的增長速度是先慢后快,若運動的時間足夠長,則最前面的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)運動的物體,即一定是甲,正確.答案不同的函數(shù)模型能刻畫現(xiàn)實世界中不同的變化規(guī)律(1)線性函數(shù)增長模型適合描述增長速度不變的變化規(guī)律;(2)指數(shù)型函數(shù)增長模型適合描述增長速度急劇的變化規(guī)律;(3)對數(shù)型函數(shù)增長模型適合描述增長速度平緩的變化規(guī)律;(4)冪函數(shù)型增長模型適合描述增長速度一般的變化規(guī)律.因此,需抓住題中蘊含的數(shù)學信息,恰當、準確地建立相應變化規(guī)律的函

6、數(shù)模型來解決實際問題.幾種常見的函數(shù)模型的選擇某皮鞋廠今年1月份開始投產(chǎn),并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬雙,1.2萬雙,1.3萬雙,1.37萬雙.由于產(chǎn)品質(zhì)量好、款式新穎,前幾個月的銷售情況良好.為了推銷員在推銷產(chǎn)品時接受訂單不至于過多或過少,需要估計以后幾個月的產(chǎn)量,且廠里暫時不準備增加設備和工人.假如你是廠長,就月份為x,產(chǎn)量為y給出三種函數(shù)模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=abx+c,其中a0,你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產(chǎn)量?思路點撥結(jié)合函數(shù)模型的增長速度選擇合適的模型求解.解析由題意知,將產(chǎn)量隨時間變化的離散量分別抽象為A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3

7、),D(4,1.37)4個點.(1)令模擬函數(shù)為y=ax+b,將B,C兩點的坐標代入函數(shù)解析式,得解得y=0.1x+1.由此可得結(jié)論:在不增加工人和設備的條件下,產(chǎn)量會每月增加1 000雙,這是不太可能的.(2)令模擬函數(shù)為y=ax2+bx+c,將A,B,C三點的坐標代入函數(shù)解析式,得解得y=-0.05x2+0.35x+0.7.由此得出結(jié)論:由此式計算得4月份的產(chǎn)量為1.3萬雙,比實際產(chǎn)量少700雙,而且由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,產(chǎn)量自4月份開始每月下降(圖象開口向下,對稱軸為x=3.5),不符合實際.(3)令模擬函數(shù)為y=abx+c,將A,B,C三點的坐標代入函數(shù)解析式,得由得ab=1-c,代入,得則解得則a=-0.8,y=-0.80.5x+1.4.由此得出結(jié)論:把x=4代入,得y=-0.80.54+1.4=1.35.比較上述三個模擬函數(shù)的優(yōu)劣時,既要考慮誤差最小,又要考慮生產(chǎn)的實際,如:增產(chǎn)的趨勢和可能性.經(jīng)過篩選,以y=-0.80.5x+1.4模擬為最佳,一是誤差小,二是由于廠房新建,