電路與模擬電子技術20142-5非正弦分析

1、電路分析與電子技術基礎非正弦分析（8.1 8.2）非正弦分析實際應用中，以非正弦信號為主。非正弦周期信號級數(shù)分解有效值、平均值功率穩(wěn)態(tài)計算非正弦周期信號存在的現(xiàn)實：激勵（信號）源是非正弦的，或非理想的正弦；電路中存在非線性元件。特點：非正弦、周期性變化?？梢岳眉墧?shù)分解為一系列不同頻率的正弦分量。（直流信號和各次諧波信號的疊加）級數(shù)分解級數(shù)滿足狄條件的周期函數(shù)均可分解為級數(shù)。狄條件：在一個周期內(nèi)，具有有限個極值點、有限個間斷點和絕對可積。利用級數(shù)，可以將非正弦周期信號分解為一系列不同頻率的正弦分量（或者說：直流信號和各次諧波信號的疊加）。利用級數(shù)，可求得非正弦周期信號的頻譜。非周期信號，可以利

2、用積分變換作類似分析 .（假設非周期信號的周期為無窮大，將時間域信號轉(zhuǎn)換到頻率域中）級數(shù)（三角函數(shù)形式）定義一周期信號： f (t) f (t kT ) ，其中 T 為周期，k 為任意整數(shù)。對應的級數(shù)（三角函數(shù)形式）為：f (t) a0(acos n t b sin n t)n1n12n1 2其中，稱為基波角頻率， a 、a 、b 稱為系數(shù)。10T2nnT22TTT 0af (t) dtf (t) dt或0T2T222TTT 0af (dtf (dt或nT2T222TTT 0bf (dt或f (dtnT2級數(shù)（三角函數(shù)形式）利用級數(shù)，可以將非正弦周期信號分解為一系列不同頻率的正弦分量（或者說：

3、直流信號和各次諧波信號的疊加）。f (t) a0(acos n t b sin n t)n1n12n1級數(shù)的另種表示方式：f (t) A0 An cos(n1t n )n1 a0cos( t )其中，A稱為直流分量； A稱為基波分量；01112n 2 以后的分量分別稱為二次、三次 . （高次）諧波分量；bn和 tg 1a 2b2A分別是第 n 次諧波的幅值和初相角。nnnnan級數(shù)（三角函數(shù)形式）利用級數(shù)，可以將非正弦周期信號分解為一系列不同頻率的正弦分量（或者說：直流信號和各次諧波信號的疊加）。f (t) a0(acos n t b sin n t)n1n12n1級數(shù)的另種表示方式：f (t

4、) A0 An cos(n1t n )n1f (t) A0 An sin(n1t n )n1an tg 1其中， nbn諧波分析：將周期信號分解為直流、基波和高次諧波。級數(shù)（諧波分析）f(t)針對偶函數(shù)（偶對稱，縱軸對稱）： f (t) f (t)級數(shù)中的 bn = 0 。T0t42T 0af (dtf(t)n針對奇函數(shù)（奇對稱，原點對稱）：f (t) f (t)級數(shù)中的 a0 = 0 ，an = 0 。T0t42T 0bf (dtnf(t)針對橫軸半波對稱（鏡像對稱）：f (t) f (t T )2級數(shù)中只含奇次諧波，即 A2k = 0 。0tu(t)【例5.1】右圖所示（對稱U）信號波形。

5、波形表達式：T2T4t U t t T4 t T2u(t) T4T4U U求：此信號的T級數(shù)展開式。T4T4T22T2 T2TTTau(t) dt (U dt (U ) dt 0U ) dt解：0T2244T22Tau(dtnT2T4T4T22 TTTT( t) dt U cos n t dt (U cos n t) dtU cos n111244T20T2u(t)Ua0 0tT4TT2 42TTTa(U cos n t) dt U cos n t dt ( t) dtU cos nTn11T1T244T2 U2T4( sin)Tn124 2 U4 sin(n)1Tn1 4U sin(n) 2

6、n因此，當 n 為偶數(shù)時：an= 0 ； 4U當 n 為奇數(shù)時：aT（1,5,9.為正，3,7,11.為負）nn2T2bdt 0 （也可由偶函數(shù)推得）u(nT2 cos ax dx 1 sin axa 21TT20T2u(t)U 4Ua 0， a，b 0t0n（n 為奇數(shù)時）展開式為：nn所求信號的u(t) 4U cos t 1 cos 3 t 1 cos 5 t 1 cos 7 t 1111357展開為無窮級數(shù)，在工程實際應用中，應根據(jù)：展開后的收斂性、電路頻率特性以及精度要求等，確定項數(shù)?；?基波+3次諧波基波+3次諧波+5次諧波基波+3次諧波+5次諧波+7次諧波u(t)u(t)0t0t

7、T20T2級數(shù)（頻譜）基于周期信號的級數(shù)（三角函數(shù)形式），定義：f (t) A0 An cos(n1t n )n1振幅頻譜：諧波（從 0 開始計）幅值 An 與角頻率 關系；相位頻譜：諧波（從 0 開始計）初相角n 與角頻率 關系。頻譜圖：包括振幅頻譜圖（幅頻特性圖）、相位頻譜圖（相頻特性圖）?？v坐標分別是諧波幅值、初相角；橫坐標是角頻率?！纠?.2】已知信號：f (t) 5 6 cos( t ) 2 cos(3 t )1122求：信號的頻譜圖。解：振幅頻譜圖和相位頻譜圖分別如下所示。n6An5231202121023111u(t)【例5.3】求：【例5.1】所示信號的頻譜圖。Ut解：所求信號

8、的展開式為：u(t) 4U cos t 1 cos 3 t 1 cos 5 t 1 cos 7 t 1111357 4U cos t 1 cos(3 t ) 1 cos 5 t 1 cos(7 t ) 1111357所以，振幅頻譜圖和相位頻譜圖分別如下所示。n4UAn4U4U4U3570011 31 51 7131 51 71T20T2級數(shù)（復指數(shù)形式）周期信號對應的f (t) a0級數(shù)（三角函數(shù)形式）為：n1(acos n t b sin n t)n1n12e jn1t e jn1tcos n1t 2利用公式：e jn t e jn tsin n t 11：f (t) 12 j Fn e j

9、n1t經(jīng)過計算，n復指數(shù)形式：將周期信號表示成一系列以 jn1t（周期信號的頻域表達式）為指數(shù)的函數(shù)形式；級數(shù)（復指數(shù)形式） Fn e jn1tn級數(shù)（指數(shù)形式）為：f (t) 周期信號對應的 an jbnAn頻譜函數(shù)：Fe jn可以表述各諧波分量的所有信息。n22模：等于對應諧波分量幅值的一半；幅角（n 為正時）：等于對應諧波分量的初相角。振幅頻譜： Fn 的幅值與角頻率 關系（偶函數(shù)）；相位頻譜： Fn 的幅角n 與角頻率 關系（奇函數(shù)）。雙邊頻譜 單邊頻譜（雙邊振幅頻譜負部以縱軸為對稱對折，對應振幅相加后得單邊振幅頻譜）級數(shù)（復指數(shù)形式） an jbn1頻譜函數(shù)的計算：FTT 0j si

10、n n t) dtf (n12T 1T1Tf (t)e jn1tdt0T2jn t或f (t)edt1T21TT 0Ff (t)dt0T21T或f (t) dtT2u(t)【例5.4】求：【例5.1】所示信號的U復指數(shù)形級數(shù)展開式及其頻譜圖。tT21T1T2U解：Fnjn tdt u(t)esin(n) 21Tn2T2Fu(t) dt 00T2因此，當 n 為偶數(shù)時：Fn 0； 2U當 n 為奇數(shù)時：F（1,5,9.為正，3,7,11.為負）nn Fn e jn1tn級數(shù)展開式：f (t) T20T2頻譜函數(shù)的計算過程？ eaxdx 1 eaxae jx e jx 2 cos xe jx e

11、jx j2 sin x 21T頻譜函數(shù)的計算過程？以1t 為積分變量 eaxdx 1 eaxae jx e jx 2 cos xe jx e jx j2 sin x 2UFF 00nn頻譜（雙邊）圖|Fn|tg 1Fn2U2U702U32U32U52U52U2U7771510317311551111（對應原單邊頻譜圖）n4UAn4U4U4U3570011 31 51 7131 51 71頻譜（雙邊）圖|Fn|tg 1Fn2U2U702U32U32U52U52U2U7771510317311551111Fn當為實數(shù)，且各諧波分量的相位為 0 或 時，可將頻譜圖合并。Fn7131317101 15

12、151u(t)【例5.5】右圖所示（周期脈沖）信號波形。U波形表達式：T2T2T2 t 20220t22T2u(t) t U t 20求：此信號的頻譜函數(shù)，并作頻譜圖。T21T1TUT1解：F2u(t)e jn tUe jn te jn tdt dt 2111nTjn1222n1T2sin U1T1 U2Tu(t) dt TU dt F02n1TT222u(t)UT4令： nT2T2sinU4U4則：F0 Fn 4 n4 220tn1sin由此可作出頻譜圖。 U U F2n1F|F |0nnTT2121 8141tg 1Fn41041811210121 814181121u(t)UT8令： n

13、T2T2sinU8U8則：F0 8Fnn8 220tn1sin U U F2n1F|F |0nnTT281810tg 1Fn81令： T m？810u(t)u(t)UU T2T2T2t 20t2sin nsin n 2U U2 U 2|Fn|UFF2nF 0n sin(n 2 )F0n0nn220 21611014181121tg 1Fn0T20T2級數(shù)（頻譜特征）離散性：頻譜圖由一系列的離散譜線組成的，所有譜線都出現(xiàn)在基波頻率1的整數(shù)倍頻率上（即：譜線間隔為1 ）。包絡性和收斂性（針對振幅頻譜）：包絡性：譜線高度受 sinc 函數(shù)制約；收斂性：頻率增加時，譜線高度總體趨勢逐漸減小，最后收斂于

14、零。頻譜函數(shù)代表的是一個時域信號，信號分析常對頻譜函數(shù)進行。級數(shù)（頻譜特征）零振幅頻率：當 2k (k 1， 2），即 k T 時，振幅為零。1有效頻譜寬度（信號的占有頻率）： 0 2T （或）是信號能量的主要分布區(qū)；1這是研究信號與系統(tǒng)頻率特性的重要內(nèi)容。在保持脈沖寬度不變的情況下，若增大脈沖周期 T ，則基波頻率1變小，譜線變密，同時振幅減小，收斂速度降低；若無限增大脈沖周期 T ，則譜線間隔趨于零，振幅趨于零；（此時，離散頻譜過渡為連續(xù)頻譜，周期信號過渡為非周期信號）在保持脈沖周期 T 不變的情況下，若減少脈沖寬度，則振幅減小，收斂速度降低，但有效頻譜寬度及相鄰零振幅頻率間隔增大。級數(shù)（

15、功率譜）周期信號的平均功率（在 1電阻上的消耗），即：T1T2f 2 (t) dtP T2根據(jù)周期信號的復指數(shù)表達方式，有：P | Fn|2n說明：周期信號在時域的平均功率等于頻域中各分量（包括直流和各次諧波）平均功率之和。功率譜：| Fn |2 與角頻率 關系（離散頻譜）。u(t)【例5.6】求：【例5.5】所示信號在有效頻譜寬度內(nèi)，U諧波分量平均功率占信號總平均功率的百分比。T2T2 220t T解：定義，則信號的平均功率為：n1msinT22 U U T22FP 1 UT U22Ff(t) dt t0nn1TTTm22有效頻譜寬度為 m1 ，諧波分量平均功率為：2m1m1m1nUU|(n

16、12222P| () 2()mminc)smxnn(m1)n1以 m 分別為 3、5、7 為例，111222U， U， U信號功率分別為：357諧波功率分別為：0.3011U 2 ，0.1806U 2 ，0.1290U 2功率比為 90% 。有效值有效值：從能量等效的概念出發(fā)，衡量周期流信號大小的量。1TTf (t)2 dt周期信號的有效值：F 0非正弦周期信號：f (t) A0 An sin(n1t n )n1n02有效值：F An非正弦周期函數(shù)的有效值：直流分量與各次諧波分量有效值平方和的均。平均值1TT 0周期信號的平均值：ff (t)dtAV非正弦周期信號：f (t) A0 An si

17、n(n1t n )n1 0正弦周期信號的平均值：fAV非正弦周期信號的平均值：fAV A01TT|（整流）平均值：ff (t) | dtAVR0 2 Am正弦周期信號的（整流）平均值：fAVRu(t) U 0 U n sin(n1t un )n1功率瞬時功率：p(t) u(t) i(t)i(t) I0 n1 in )1Tn1T 0P p(t)dt UIIcos P 平均功率：UP00nnn0nn1非正弦周期信號的平均功率：直流分量與各次諧波分量平均功率之和。不同次諧波不能產(chǎn)生功率。穩(wěn)態(tài)計算非正弦周期信號激勵的穩(wěn)態(tài)電路，無法直接采用直流或正弦電路的分析方法?；舅悸罚海?）將非正弦周期信號分解為

18、項收斂性，確定高次諧波的項數(shù)；級數(shù)表達式，根據(jù)所需精度及各分別計算在直流和各次諧波分量激勵作用下的電路響應；直流作用：直流電路分析法（電感短路，電容開路）；諧波作用：正弦交流電路分析法（電感/感抗 . 電容/容抗 . ）應用疊加定理將相應響應進行疊加。疊加原則：按頻率疊加；疊加對象：有效值、瞬時值（不能是相量）。【例5.7】右下圖所示電路。已知：u(t) 180 sin(1t 30 ) 18sin31t 9 sin(51t 30 )VCRL*1iR 61L 2 18* W C1求：電壓表、電流表和功率表的讀數(shù)。Vu(t)解：激勵源中僅包含 1、3、5 次諧波。針對 1 次諧波單獨分析，有：A

19、UI1 7.45 39.4 A16 j2 jR j L j CYwZBTU0tuIu(t) 180sin(1t 30 ) 18sin31t 9 sin(51t 30 )VCRL*1iR 61L 2 18* W C1#IT.AThAi?AG/70Vu(t)dQ*&1#$ 35 klm*9IA U 3I 2.120 A3R j 1L j6 j3 2 j C31U 5I 0.73 16.8 A5R j5 L j右下圖所示電路。已知：u(t) 180 sin(1t 30 ) 18sin31t 9 sin(51t 30 )VCRL*1iR 61L 2 18* W C1求：電壓表、電流表和功率表的讀數(shù)。V

20、u(t)I1 I3I5 7.45 39.4 A 2.120 A 0.73 16.8 AA2 sin( 1t 39.4 ) 2.122 sin(51t 16.8 )A疊加：i(t) 7.452 sin31t 0.73I 2 I 2 I 2 7.78AI 所以：U P 135U 2 U 2 U 2 128.97V135 Ucos Ucos Ucos5 363.16WR1R3L4i1i2*【例5.8】右圖所示電路。已知：R1 R2 10，R 20 ， L L AA*W21M*L1*L2uS1(t)RCVL3uS2(t)21L 20， 2.5 ， M 10L CuS1 (t) 10 602 sin 1

21、t V ，uS2 (t) 402 sin 1t 302 sin 31t V求：電壓表、電流表和功率表的讀數(shù)。解：電路中有兩個激勵源，包含直流、1、3 次諧波。R1R3I10I20單獨分析直流（電路圖如右所示）：US10I 0.5A10R R1 0A2uS10R2I 20U IR 5V0101R1R3L4i1i2*AA*W21右圖所示電路。已知：M*L1*L2uS1(t)RVuS2(t)R R 10122R 20 L L 1L 20 L 2.5 M 10 CuS1 (t) 10 602 sin 1t VuS2 (t) 402 sin 1t 302 sin 31t V1單獨分析 1 次諧波時：j

22、L / 13j C1即，L C 發(fā)生并聯(lián)諧振（如上）。3US11600有：I2 45 A 1.511R R j20 j20L1 0A211I21U1 I11 (R1 j1L1 ) 1.52 45 (10 j20) 47.418.4 VR1R3L4i1i2*AA*W21右圖所示電路。已知：M*L1*L2CVL3uS2(t)R R 10R122R 201 L L L 20 L 2.5 M 10 CuS1 (t) 10 602 sin 1t VuS2 (t) 402 sin 1t 302 sin 31t V1單獨分析 3 次諧波時：j3 L j3 L / 01413j3 C1即，L 與 L C 發(fā)生

23、串聯(lián)諧振（如上）。43根據(jù)回路電流方程：IIj3 1M 0M US23解得：I 0.27 44 A 0.57 62.4 A I13 R2 2.7136 V13I23U 3R1R3L4i1i2*AA*W21M*L1*L2uS1(t)RCVL3uS2(t)2i1(t) 0.5 3sin(1t 45 ) 0 27i2 (t) 0 572 sin(3. 1t 62.4 ) A2 sin(3. 1t 44 ) AnoIu(t) 5 47.42 sin(1t 18.4 ) 2.72 sin(31t 136 )V I 2 I 2 I 2 2.2 A9:;II1101113I 2 I 2 I 2I 2 U 0.57 A 47.7 V202123U 2 U 2 U 2013?AIP P