北京高考數(shù)學(xué)理科試題及答案

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)(北京卷)本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié) 束后，將本試卷和答題卡一并收回。第一部分(選擇題共40分)、選擇題共8小題，每小題5分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。2已知集合A=x|x2x=0,B=0, 1, 2,若 AB(A) 00, 1(C) 0, 2(D) 0, 1, 2下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,土比上為增函數(shù)的是(A) y = x 1(B)2y=(x -1)y=2y=log0.5(x 1)x - -1 cos 二曲線a| y 二 2 sin 二(e為

2、參數(shù))的對(duì)稱中心(A)在直線y =2x上(B)在直線y = -2x上(C)在直線y =x 1上(D)在直線y =x+1上(4)當(dāng)m=7,n=3時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 s值為(A) 7(B) 42(C) 210(D) 840設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，則“ q1”是“ an”為遞增數(shù)列的(A)充分且不必要條件(B)必要且不充分條件(C)充分且必要條件(D)既非充分也非必要條件x y -2 -0(6)若x, y滿足4kx _y +2 0且z=y-x的最小值為 y -0(A) 2(B)-2(C)(D) 在空間坐標(biāo)系 Oxyz 中，已知 A(2,0,0) , B(2,2,0) , C(0,

3、2,0) , 口(1,1,0)，若 S , S2 ,S3分別表示三棱錐D-ABC在xOy, yOz , zOx則坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則(A) 81 = 82 = 83 (B)&=$2且83&(C) S = S3 且 S3#S2(D)S2 = S3 且S -S3A同學(xué)每科成績(jī)不低于 B同學(xué),(8)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績(jī)?cè)u(píng)定為“優(yōu)秀” “合格” “不合格”三種.若且至少有一顆成績(jī)比 B高，則稱 “A同學(xué)比B同學(xué)成績(jī)好，”現(xiàn)在若干同學(xué)，他們之中沒(méi)有一個(gè)人比另個(gè)人成績(jī)好，且沒(méi)有任意兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣，數(shù)學(xué)成績(jī)也一樣的。問(wèn)滿足條件的多少學(xué)生(A) 1(B) 3(C) 4 (D ) 5第二部分

4、(非選擇題 共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。一 i 1 2(9)復(fù)數(shù).=.i -144+彳 (10)已知向量a、b滿足|a|=1, b=(2,1)且Za+b=0,則|人尸.2(11)在設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),且 -x2 =1具有相同漸近線，則C的方程是 .4(12)若等差數(shù)列an滿足a7+a8+a90 ,a7+a100,6a0),若Jl JTf(x)在區(qū)間 上具有單調(diào)6 2性，且二 2 二f(2) = f(TJT)=-f (一),則f (x)的最小正周期為6三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，演算步驟。1(15)(本小題13分)如圖，在ABC中，/B

5、=一, AB=8,點(diǎn)D在BC邊上，且CD=2, cos/ADC= 37(1)求 sin/BAD. (n)求 BD , AC 的長(zhǎng).(16)(本小題13分)李明在10場(chǎng)籃球比賽中的投籃情況如下(假設(shè)各場(chǎng)比場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場(chǎng)12212客場(chǎng)1188A賽相互獨(dú)立)主場(chǎng)21512客場(chǎng)21312主場(chǎng)3128客場(chǎng)3217主場(chǎng)4238客場(chǎng)41815主場(chǎng)52420客場(chǎng)52512(I )從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求李明在該場(chǎng)比賽中投籃命中率超過(guò)0.6的概率；(n)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)，求李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.6,另一場(chǎng)不超過(guò) 0.6的概率；(m)記X是表中10個(gè)命

6、中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，記 X為李明在這場(chǎng)比賽中的命中次數(shù)，比 E(X) 和x的大小(17)(本小題14分)如圖，正方形 AMDE的邊長(zhǎng)為2, B, C分別為AM和MD的中點(diǎn)，在五棱錐 P-ABODE 中，F(xiàn)為PE的中點(diǎn)，平面 ABC與棱PD, PC分別相較于點(diǎn) G、H . ( I)求證： AB/FG;(n)若PA，平面ABODE ,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成的角，并求線段 PH的長(zhǎng)(18)(本小題13分)已知函數(shù)f ( x) = xcosx si nxx 0,2】(i)求證：f(x)M0； (n)若 a csin-x b 在(0,) x2恒成立，求a的最大值與

7、b的最小值.22(19)(本小題14分)已知橢圓 C ： x +2y =4. (i)求橢圓C的離心率；(n)設(shè)。為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓G上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA_LOB ,求直線AB與圓x2 + y2 = 2 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(20)(本小題13分)對(duì)于數(shù)對(duì)序列P(a1,b)，(a2,b2),，(an,bn),記(P)=a b Tk(P) =b maxTy(P), a a? Ill aj (2 k n) ,其中 maxTy(P), a1 +a2+川+aj表示Ty(P)和aI+a2 +川+ ak兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(i)對(duì)于數(shù)對(duì)序列P(2,5) , (4,1),求T1(P), Tz

8、(P);(n)記m為四個(gè)數(shù)a、b、c、d的最小值，對(duì)于兩個(gè)數(shù)對(duì)(a,b) , (c,d)組成的數(shù)對(duì)序列 P(a,b) , (c,d)和P(c,d), (a,b),試分別對(duì) m =a和m=b時(shí)的情況比較 Tz(P)和Tz(P)的大小;使T5(P)最小，并寫出T5(P)的值(只需寫出結(jié)論)絕密考試結(jié)束前2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)(理)(北京卷)參考答案一、選擇題(共 8小題，每小題5分，共40分) TOC o 1-5 h z (1) C(2) A(3) B(4) C(5) D(6) D(7) D(8) B二、填空題(共 6小題，每小題5分，共30分)(9) -1(10) J5 H

9、YPERLINK l bookmark144 o Current Document 22x y HYPERLINK l bookmark89 o Current Document 11 3 -12 =1 y = 12x(12)8(13) 36( 14)兀三、解答題(共 6小題，共80分)(15)(共 13 分)解：(I)在 MDC 中，因?yàn)?COS/ADCsin ADC4.37所以 sin BAD = sin( ADC 一 B)(n)在MBD中，由正弦定理得H 33二 AB sin . BADsin ADB8 _14_ _34a e7在MBC中，由余弦定理得所以AC =7(16)(共 13 分

10、)解:(I)根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，李明投籃命中率超過(guò) 0.6的場(chǎng)次有5場(chǎng)，分別是主場(chǎng) 2,主場(chǎng)3,所以在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)比賽中，李明的投籃命中率超過(guò)0.6的概率是0.5.(n)設(shè)事件 A為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)主場(chǎng)比賽中李明的投籃命中率超過(guò)事件B為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)客場(chǎng)比賽中李明的投籃命中率超過(guò) 事件C為“在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)中，李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)則 C=AB JAB , A,B 獨(dú)立。 32根據(jù)投籃統(tǒng)at數(shù)據(jù)，P(A) =_,P(B)=-55所以，在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)中，李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.6 , 一場(chǎng)不超過(guò)一場(chǎng)不超過(guò) 0.6的概率為(田)EX =X(

11、17)(共14分)25解:(I)在正方形中，因?yàn)?B是AM的中點(diǎn)，所以AB II DE o又因?yàn)锳B二平面PDE,所以AB II 平面 PDE,因?yàn)?n)所以因?yàn)锳B II FG oPA_L底面 ABCDE所以 PA_LAB, PA.L AE.如圖建立空間直角坐標(biāo)系 Axyz,則A(0,0,0) ,B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2), F(0,1,1),BC =(1,1,0).CM xAB U平面ABF,且平面 ABF n平面PDF = FG設(shè)平面ABF的法向量為 n = (x, y, z),則n AB = 0, 口 x = 0, T 即 4,n AF =0, y z =0.

12、令 z=1,則y = 1。所以n = ( 0： 1 ,1設(shè)直線 BC與平面 ABF所成角為a,則sin a = cos n, BCn BC In| BC設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（U,V, W）.。因?yàn)辄c(diǎn)H在本底PC上，所以可設(shè)ph* = zpC（0 Z 1）,即(u, v, w 2)=人(2,1, 2).。所以 u=2九,v =九,w = 2 2九。因?yàn)閚是平面ABF的法向量，所以n AH =0,即（0,1,1） 2九，九,2 2九）= 0。解得2，4 2 2、一,所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（一，一，一）.33 3 3所以PH =, (4)2 (2)2 (-4)2 =2, 333(18)(共13分)解:(I)由

13、f (x) = xcosx-sinx得f (x) =cosx -xsin x - cosx = -xsin x。o,一一 2nj- n I因?yàn)樵趨^(qū)間（0 ）上f （x） =xsinx30,所以f （x）在區(qū)間i0, 上單調(diào)遞減。22從而 f(x) Wf (0) = 0。sinx b ” 等價(jià)于 “ sin x- bx 0時(shí)， a” 等價(jià)于 “ sin xax a0”x令 g(x) =sin x -cx ,則 g (x) = cosx -c ,當(dāng)cE0時(shí)，g（x） 0對(duì)任意xW（0,一）恒成立。2當(dāng)c21時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意 x-(0,1), g(x) =cosx - c- n10 ,所以g(x)在區(qū)

14、間|0,-上單調(diào)遞減。冗從而g（x） g（0） =0對(duì)任意xe （0,一）恒成立。231當(dāng) 0 c g(0) = 0。進(jìn)一步， g(x)0對(duì)一 一 、一 一 2任意xw (0,)恒成立”當(dāng)且僅當(dāng) g(-) =1 c0,即00對(duì)任意xw(0,一)恒成立;2g(x) 0對(duì)任意xw (0,三)恒成立。2 TOC o 1-5 h z sin x2所以，右a b對(duì)任意x=(0,)恒成立，則a最大值為 一，b的年小值為1.x2二(19)(共 14 分)解：22(I )由題意，橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 人 +匕=1。 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 422.2

15、22. 2所以 a =4,b =2,從而 c = a -b = 2。因此 a = 2, c = J2。一 、 c -.2故橢圓C的離心率e =。a 222.(n)直線AB與圓x +y =2相切。證明如下:設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x0,y0) , (t,2)，其中x0 00因?yàn)镺A _L OB ,所以 OA OB = 0 ,即 tx0 +2y0 = 0 ,解得 t 二2yoox0t2_當(dāng)x0 =t時(shí)，y =,代入橢圓C的方程，得t =J22故直線AB的方程為x=J2。圓心O到直線AB的距離d =J2。此時(shí)直線AB與圓x2 +y2 =2相切。y0 -2當(dāng)X0#t時(shí)，直線 AB的方程為y-2 =(xt),x0 -t即(yo -2)x -(xo -t)y +2x ty0 =0 ,圓心0到直線AB的距離又 xo2 +2y。2 =4, t =_紅故 xo此時(shí)直線AB與圓x2 +y2 =2相切。(20)(共 13 分)解：(I) T1(P)=2+5=7Ti(P) -1 maxi1(P),2 4max：7,6? =8() T2(P) = max ia b d,a c d)T2(P)二 max ic d b, c a b .當(dāng) m=a 時(shí)，T2(P) = max1c+d +b,c + a+b = c + d +b因?yàn)?c+d +b4c + b+d ,且 a+c+d Ec + b+ d ,所以