北京中考數(shù)學復習課標解讀典例詮釋專題二圖形變換

1、專題二圖形變換圖形的平移、軸對稱、旋轉是近年中考的熱點題型，它主要考查學生的觀察與實驗 能力、探索與實踐能力，因此在解題時應注意：熟練掌握圖形的軸對稱、圖形的平移、 圖形的旋轉的基本性質和基本方法；結合具體問題大膽嘗試，動手操作，探究發(fā)現(xiàn)其內 在規(guī)律是解答操作題的基本方法.典例詮釋1.圖形變換平移例 (2014海淀二模)在 ABC中，/ABC=90, D為平面內一動點，AD=a, AC=b,其 中a, b為常數(shù)，且ab.將4ABD沿射線BC方向平移，得到 FCE,點A, B, D的對 應點分別為點 F, C, E.連接BE.(1)如圖2-2-1 ,若D在4ABC內部，請在圖中畫出 FCE;(2

2、)在(1)的條件下，若 ADXBE,求BE的長(用含a,b的式子表示)；(3)若/BAC=a,當線段BE的長度最大時，則/ BAD的大小為；當線段 BE的長度最小 時，則/ BAD的大小為(用含a的式子表示).圖 2-2-1【解】(1)如圖2-2-2.AFBC圖 2-2-2 (2)如圖2-2-3，連接BF.B圖 2-2-3將ABD沿射線BC方向平移，得到 FCE,：AD II EF,AD=EF,AB II FC,AB=FC.vZ ABC=90,：四邊形ABCF為矩形.：AC=BF.VADBE,.,.EFBE. AD=a, AC=b, ： EF=a, BF=b.：BE=.(3)180 - a；

3、a.提示：當線段 BE的長度最大時，點 E在BF的延長線上.由題意可知 ABDAFCE, 所以/ BAD=/EFC.又因為/ BFC=/BAC=%所以BE的長度最大時，/ BAD = 180 - a 當線段BE的長度最小時，點E在BF上.由題意可知 ABDFCE,所以/ BAD=/EFC. 又因為/ BFC=/BAC=a,所以BE的長度最小時，/ BAD= a【名師點評】本題主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性質、矩形的判定及性質、圖形平移的性質.解答本題關鍵是要掌握圖形平移后邊的大小，形狀不變把A, D向右平移BC的距離即可得到對應點 F, E,然后連接EF, FC , EC即可； (2

4、)易證四邊形ABCF為矩形，則 AC=BF.在直角 BEF中，利用勾股定理即可求解.當線段BE的長度最大時，點E在BF的延長線上；當線段 BE的長度最小時，點 E 在BF上.2.圖形變換軸對稱例1 (2016石景山一模)在正方形ABCD中，E為邊CD上一點，連接 BE.請你在圖2-2-4中畫出 BEM,使得 BEM與4BEC關于直線 BE對稱；若邊AD上存在一點 F,使得 AF+CE=EF,請你在圖2-2-4中探究/ ABF與/ CBE 的數(shù)量關系，并證明；在(2)的條件下，若點 E為邊CD的三等分點，且 CEDE,請寫出求cos/ FED的思 路.(可以不寫出計算結果).圖 2-2-4【解】

5、(1)補全圖形，如圖2-2-5所示.(2)/ABF 與/ CBE 的數(shù)量關系為/ ABF + Z CBE=45.證明如下：如圖2-2-6,連接BF,EF,延長DC到G,使得CG=AF,連接BG.E D圖 2-2-6V 四邊形 ABCD 為正方形，：AB=BC, Z A=Z BCG = Z ABC=90 . /. BAFABCG. .BF = BG, /ABF=/CBG. AF + CE=EF, ： EF=GE. /. BEFA BEG.：/ FBE= / GBE= / ABF+ / CBE, ： / ABF+ / CBE=45 .(3)求解思路如下：a.設正方形的邊長為 3a, AF為x,貝U

6、 EF=x+a, DF=3a-x;b.在RtAEFD中，由，可得，從而得到x與a的關系2x=3a；c.根據cos/ FED=,可求得結果.【名師點評】本題主要考查了軸對稱的性質、正方形的性質以及勾股定理和全等三角形的判定、全等三角形的性質等知識，解答本題關鍵是利用軸對稱的性質得出對應邊相根據題意直接畫出圖形即可；（2）方法一：連接BF, EF,延長DC至I G,使得CG=AF, 連接BG.可證 BAFBCG,從而可證 BEFABEG,可得答案；方法二：連接BF, EF,在EF上截取EH=CE,連接BH ,再證明三角形全等，此題得解.設正方形的邊長 為3a, AF為x,則可表示EF, DF;在R

7、tAEFD中，利用勾股定理得出 x與a的關系， 可求得結果.提示：要求寫思路的題，要寫清關鍵步驟.例2 （2015懷柔一模）在等邊 ABC外側作直線AP,點B關于直線AP的對稱點為D, 連接BD,CD,其中CD交直線AP于點E.（1）依題意補全圖2-2-7；若/ PAB=30,求/ ACE的度數(shù)；（3）如圖2-2-7，若60/FAB120,判斷由線段 AB,CE,ED可以構成一個含有多少度圖 2-2-7【解】（1）補全圖形，如圖2-2-8所示.圖 2-2-8(2)如圖2-2-8，連接 AD.點 D 與點 B 關于直線 AP 對稱，：AD=AB, Z DAP = Z BAP=30.,. AB=A

8、C,Z BAC=60,：AD=AC,/DAC=120.：2/ACE+60 +60 =180, ：/ACE=30.(3)線段 AB,CE,ED 可以構成一個含有60角的三角形.證明如下：連接 AD, EB,如圖2-2-8.點D與點B關于直線AP對稱，：AD=AB, DE = BE,可證得/ EDA = Z EBA. ,.AB=AC,AB=AD,：AD=AC,ADE=/ACE.ABE=/ACE.設 AC， BE 交于點 F,又AFB=/CFE, BAC=/ BEC=60,二線段AB,CE,ED可以構成一個含60角的三角形.【名師點評】 本題主要考查了軸對稱作圖以及等腰三角形的性質.解答本題的關鍵是

9、根據軸對稱的性質作出對應點的位置以及掌握等腰三角形的性質.(1)根據題意作出圖形；根據題意可得/ DAP=/BAP=30,然后根據 AB=AC, /BAC=60,得出AD=AC, / DAC=120 ，最后根據三角形的內角和公式求解；由線段AB, CE, ED可以構成一個含有60度角的三角形，連接 AD , EB,根據對稱 可得/ EDA=/EBA,然后證得 AD=AC,最后即可得出/ BAC=ZBEC=60.3.圖形變換 旋轉例1 (2015朝陽二模)數(shù)學活動課上，老師提出這樣一個問題：如果AB=BC,Z ABC=60,/APC=30,連接PB,那么FA,PB,PC之間會有怎樣的等量關系呢？

10、經過思考后，部分同學進行了如下的交流：小蕾：我將圖形進行了特殊化，讓點 P在BA的延長線上(如圖2-2-9)，得到了一個猜 想:.小東：我假設點P在/ABC的內部，根據題目條件，這個圖形具有 共端點等線段”的特 點，可以利用旋轉解決問題，旋轉FAB后得到 PCB,并且可推出 PBPAPCP分別是等邊三角形、 直角三角形， 就能得到猜想和證明方法 .這時老師對同學們說， 請大家完 成以下問題：(1)如圖 2-2-9 ，點 P 在/ABC 的內部， FA=4, PC=2, PB=.用等式表示PA ， PB ， PC 之間的數(shù)量關系，并證明 .對于點P的其他位置，是否始終具有中的結論？若是，請證明；

11、若不是，請舉例圖229【解】2;.證明如下：如圖 2-2-10,作/ PBP= / ABC = 60,且使 BP=BP,連接 PC, PP,. Z 1=Z 2.VAB=CB, A ABPA CBP；. PA= P C, / A= / BCP .在四邊形ABCP中，vZ ABC = 60 , Z APC = 30 , Z A+Z BCP=270.Z BCP + Z BCP = 270 . Z POP = 360 - (Z BCP + Z BCP)=90. PBP是等邊三角形PP =PB.在 RtaPCP中，.(2)點P在其他位置時，不是始終具有中猜想的結論，舉例：如圖2-2-11,當點P在CB的

12、延長線上時，結論為.(說明：答案不唯一)圖 2-2-11【名師點評】本題主要考查了旋轉變換問題.解答本題的關鍵是正確作出旋轉后的圖形、熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性質(1)根據結論代入即可填寫；(2)根據ABPCBP得出PA=PC, /A=/BCP,即可得出PA, PB, PC之間的數(shù)量關系；當點P在CB的延長線上時，得出結論.(說明：答案不唯一)備用圖圖 2-2-12例2 (2015海淀一模)如圖2-2-12,在菱形 ABCD中，/ ADC=120 ,點E是對角線 AC上一點，連接DE, /DEC=50,將線段BC繞點B逆時針旋轉50并延長得到射線 BF, 交ED的延長線于點

13、G.依題意補全圖形；(2)求證：EG=BC;(3)用等式表示線段 AE, EG, BG之間的數(shù)量關系:(1)【解】補全圖形，如圖2-2-13所示.BB圖 2-2-13【證法一】連接BE,如圖2-2-13.v四邊形ABCD是菱形，：AD/BC. / ADC=120,：/ DCB=60 .AC 是菱形 ABCD 的對角線,DCA = Z DCB=30.EDC=180 -Z DEC / DCA=100.由菱形的對稱性可知，/ BEC=/DEC=50 ,ZEBC=Z EDC=10O.：/ GEB= / DEC+ / BEC=100, ： / GEB= / CBE.vZ GBC=50, ： / EBG=

14、 / EBC / GBC=50 , ： / EBG= / BEC.在4 68與4 CBE中，： GEBA CBE,/. EG=BC.【證法二】連接BE,設BG與EC交于點H,如圖2-2-13.v四邊形ABCD是菱形，：AD/BC. / ADC=120,：/ DCB=60 .AC 是菱形 ABCD 的對角線，DCA = /DCB=30,EDC=180 -Z DEC / DCA=100.由菱形的對稱性可知，/ BEC=/DEC=50 ,ZEBC=Z EDC=100. /GBC=50, EBG=/EBC / GBC=50=/BEC. ：BH = EH.在 GEH 與乙 CBH 中，GEH CBH，:

15、 EG=BC.(3)AE+BG=EG.【名師點評】本題主要考查了旋轉變換問題、菱形的性質.解答本題的關鍵是正確作出旋轉后的圖形，根據題意證明三角形全等.(1)根據題意可以補全圖形；連接BE,根據已知條件和圖形可以證明 GEBACBE,得到答案.根據GEBCBE,得到EC=BG, EG=BC,根據等腰三角形的性質和/ BAC=30, 求出AB,BC的關系，得到答案.真題演練1.(2016北京)在等邊 ABC中：(1)如圖2-2-14，P, Q是BC邊上兩點，AP=AQ, /BAP=20,求/ AQB的度數(shù)； 點P, Q是BC邊上的兩個動點(不與點B, C重合)，點P在點Q的左側，且AP=AQ,

16、點Q關于直線AC的對稱點為M ,連接AM , PM.依題意將圖2-2-14補全；小茹通過觀察、實驗，提出猜想：在點 P, Q運動的過程中，始終有 PA=PM.小茹把 這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法： 想法1:要證FA=PM,只需證 APM是等邊三角形；想法2:在BA上取一點 N,使得BN=BP,要證明FA=PM,只需證 ANPA PCM ;想法3:將線段BP繞點B順時針旋轉60,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM = CKFA=PM（一種方法即可）.請你參考上面的想法，幫助小茹證明圖 2-2-14【解】(1) . AP=AQ, Z AQB= /

17、 APC.而/ APC=Z B+Z BAP=60 +20 =80 ,： / AQB=80.AB P Q C圖 2-2-15(2)補全圖如圖2-2-15.證明：: ABC為等邊三角形：/ ABC=Z ACB=Z BAC=60.又 AP=AQ,/.Z APQ=Z AQB.vZ BAP+ / ABC= / APQ, / AQB= / CAQ+ / ACB, BAP=Z CAQ.v 點 Q,M 關于直線 AC 對稱，：AQ=AM , C CAQ=Z MAC.FAM = ZFAC+ZMAC=Z PAC+Z BAP=Z BAC=60 ,且 AP=AQ=AM,： APM為等邊三角形.：PA=PM.2.（20

18、15北京）在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點 P在射線CD上（與點C, D不 重合），連接AP,平移 ADP,使點D移動到點C,得到 BCQ,過點Q作QH BD 于H,連接AH, PH.若點P在線段CD上，如圖2-2-16.依題意補全圖；判斷AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明；若點P在線段CD的延長線上，且/ AHQ=152,正方形 ABCD的邊長為1,請寫出 求DP長的思路.（可以不寫出計算結果）圖 2-2-16【解】（1）如圖2-2-17.圖 2-2-17如圖2-2-17,連接CH.v 四邊形 ABCD 是正方形，QHXBD, ： / HDQ=45 ,： DHQ是等腰直角三角形

19、，, HD=HQ,Z HQD = Z HDQ =45. BCQ是由 ADP平移得到的，：DP=CQ.在 HDP與 HQC中，： HDPA HQC(SAS),.PH=CH, / HPC=ZHCP.,. BD是正方形ABCD的對稱軸，.AH=CH, /DAH = /HCP, ： / HPC = /DAH . / HPD+/HPC=180,：/ HPD+Z DAH=180,ADP+Z AHP=360 -(Z HPD+Z DAH)=360 180 =180 ,：/ AHP=180 / ADP =180 - 90 =90,：AH=PH, AHXPH.(2)如圖 2-2-18,連接 CH.P D R Q圖

20、 2-2-18v 四邊形 ABCD 是正方形，QHXBD, ： / HDQ=45 ,： DHQ是等腰直角三角形. BCQ 由 ADP 平移得到，：PD=QC.過點H作HR PC于點R.VQHBD,.,.Z BHQ=90. /AHQ=152 ,AHB=/AHQ / BHQ=15290 =62. / ABD=45，又 / ABH+/AHB + / HAB=180,：/ HAB=180 / AHB / ABH =180 - 62 - 45 =73 .又DAH + Z HAB=90,DAH=90 -Z HAB=90 -73 =17.由(1)同理可得/ HCD = ZDAH=17.設 DP=x,則 DR

21、=HR=RQ=, .CR=CQ+RQ=x+=.在 RtHRC 中，tan/HCR=，即 tan 17 =,即 tan 17 =, : x=.3.(2014北京)在正方形ABCD外側作直線AP,點B關于直線AP的對稱點為E,連接 BE, DE,其中DE交直線AP于點F.(1)依題意補全圖2-2-19；若/ PAB=20,求/ ADF的度數(shù)；(3)如圖2-2-19，若45/PABV90,用等式表示線段 AB, FE , FD之間的數(shù)量關系， 并證明.B圖 2-2-19【解】(1)補全圖形如圖2-2-20所示.圖 2-2-20 圖 2-2-21(2)如圖 2-2-21 ,連接 AE.V四邊形ABCD是正方形，點B和點E關于直線AP對稱,：AB=AD=AE, / PAB=Z PAE.vZ PAB=20,：/ EAD=Z BAD+ / BAE=90 +40 =130. AD=AE, ：/ADF=25.證明如下：如圖2-2-22,作點D關于直線 AP的對稱點D ；