焦點(diǎn)三角形的面積公式（解析版）備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)必備考試技能高分領(lǐng)先方案

1、第PAGE 頁碼16頁/總NUMPAGES 總頁數(shù)16頁Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.專題13 焦點(diǎn)三角形的面積公式一、結(jié)論1、橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式在橢圓()中,分別為左、右焦點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),的面積記為，則：,其中.2、雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式在雙曲線(,)中,分別為左、右焦點(diǎn),為雙曲線上一點(diǎn),，的面積記為，則：注意：在求圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，根據(jù)題意選擇適合的公式，注意結(jié)合圓錐曲線的定義，余弦定理，基本不等式等綜合應(yīng)用.二、典型例題1（2022湖北天門市教育科學(xué)研究院高二

2、期末）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，則的面積是（ ）ABCD【答案】D【詳解】由橢圓的方程可得，則，因?yàn)?，則，即，即，解得，因此，.故選：D.另解：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式，求,其中，由題意知，代入【反思】焦點(diǎn)三角形問題，常規(guī)方法往往涉及到圓錐曲線的定義，利用定義，余弦定理求解，特別提醒，在圓錐曲線中，定義是解題的重要工具.另外作為二級(jí)結(jié)論，要特別注意記憶表示的是哪個(gè)角.2（2022吉林吉林高三期末（理）已知P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)線段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上時(shí)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【詳解】設(shè).在中，當(dāng)時(shí)，由橢圓的定義，余弦定理得：整理得

3、：由三角形的面積公式得：，解得：.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上，又O為的中點(diǎn)，所以軸，即.由，得，解得：，所以，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得：.又有，解得：，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.所以.因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以.故選：A.另解：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式，求,其中，由題意知，代入公式，又當(dāng)線段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上時(shí)，可知，從而有，且，進(jìn)一步有：所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.所以.因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以.故選：A.【反思】解析幾何中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問題一般的求解思路：幾何法：利用圖形作出對(duì)應(yīng)的線段，利用幾何法求最值；代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來，利用函數(shù)求最值.3（2022安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段

4、練習(xí)）已知雙曲線，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）ABC2D【答案】B【詳解】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，圓心為，半徑為，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得四邊形是矩形，設(shè)，則，由可得，所以，所以，所以.故選：B. 另解：解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，且,根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式：得：，結(jié)合，得.【反思】在雙曲線中，涉及焦點(diǎn)三角形，優(yōu)先聯(lián)想到定義，即,結(jié)合余弦定理求解，對(duì)于適合利用焦點(diǎn)三角形公式的題目，可直接利用公式.4(多選）（202

5、2廣東模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)雙曲線C右支上，若，的面積為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A若，則SB若，則C若為銳角三角形，則D若的重心為G，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G的軌跡方程為【答案】ACD【詳解】由，得，則焦點(diǎn)三角形的面積公式，將代入可知，故A正確當(dāng)S4時(shí)，由，可得，故 B錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，S4，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，故C正確設(shè)，則，由題設(shè)知，則，所以，故D正確故選：ACD【反思】在雙曲線中，涉及焦點(diǎn)三角形，優(yōu)先聯(lián)想到定義，即,結(jié)合余弦定理求解，對(duì)于適合利用焦點(diǎn)三角形公式的題目，可直接利用公式.三、針對(duì)訓(xùn)練 舉一反三一、單選題1（2022福建漳州高二期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分

6、別為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則的面積為（）ABCD【答案】B【詳解】在橢圓中，則，所以，由橢圓的定義可得，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.2（2022福建南平高二期末）橢圓兩焦點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若的面積的最大值為12，則此橢圓上使得為直角的點(diǎn)有（）A個(gè)B個(gè)C個(gè)D個(gè)【答案】A【詳解】解：因?yàn)榈拿娣e的最大值時(shí)，點(diǎn)P在短軸的頂點(diǎn)處，所以，即，又，所以，所以，則，所以，所以此橢圓上使得為直角的點(diǎn)有個(gè)，故選：A.3（2022江西鷹潭高二期末（文）橢圓C：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在橢圓上，若，則的面積為（）A48B40C28D24【答案】D【詳解】橢圓C：的半焦距，長半軸長，由橢圓定義得，而

7、，且，則有是直角三角形，所以的面積為24.故選：D4（2022安徽省亳州市第一中學(xué)高二期末）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.則的面積為（）A6BC8D【答案】B【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，在中，由余弦定理可得，而，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故選：B5（2022甘肅永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末（理）橢圓的左右焦點(diǎn)為，為橢圓上的一點(diǎn)，則的面積為（）A1BCD2【答案】C【詳解】點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，即，在中，-得：，.故選：C.6（2021北京市第五十七中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓：，分別為它的左右焦點(diǎn)，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A離心率B

8、的周長為18C直線與直線斜率乘積為定值D若，則的面積為8【答案】D【詳解】由，可得，A，離心率，故A正確；B，的周長為，故B正確.C，設(shè)，故C正確；D，又因?yàn)?，所以，即，解?所以，故D錯(cuò)誤.故選：D7（2021黑龍江大慶中學(xué)高二期末）已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得，設(shè)的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）ABCD【答案】D【詳解】由題意，故為直角三角形，又，又為直角三角形，故，即，.故選：D.8（2022山西運(yùn)城高二期末）已知點(diǎn)是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則（）A與雙曲線的實(shí)軸長相等B的面積為C雙曲線的離心率為D直線是雙曲線

9、的一條漸近線【答案】B【詳解】因?yàn)椋钟深}意及雙曲線的定義可得：， 則，所以A不正確；因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上，所以，所以，所以B正確；在中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B9（2022內(nèi)蒙古赤峰高三期末（理）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，為雙曲線上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，則（）ABCD【答案】A【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，為雙曲線上一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，解得，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，則，所以，所以故選：A10（2022廣東執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線C的離心率為是C的兩個(gè)焦

10、點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線C的實(shí)軸長為（）A1B2C3D4【答案】B【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，可得：又：解得：，雙曲線C的離心率為，則有：在中，由余弦定理，可得：則有：的面積為，可得：解得：故雙曲線C的實(shí)軸長為：2故選：B11（2022廣西玉林模擬預(yù)測（文）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，I是的內(nèi)心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A是直角三角形B點(diǎn)I的橫坐標(biāo)為1CD的內(nèi)切圓的面積為【答案】D【詳解】由已知可得，設(shè)，則，得，所以，即，所以，所以A正確；設(shè)內(nèi)接圓半徑為，則，得，所以I的坐標(biāo)為，面積為所以B正確，D錯(cuò)誤；由題意，所以C正確；故選：D.12（2022天津和平高二期末）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)且滿足，