全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題三角函數(shù)資料

1、精品文檔三角恒等式與三角不等式一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。角的大小是任意的。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。定義2角度制：把一周角360等分，每一等分為一度。弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|=Lr,其中r是圓的半徑。定義3三角函數(shù)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y），到原點(diǎn)的距離為r,則正弦函數(shù)sin=yrx,余弦函數(shù)cos=,r正切函數(shù)

2、tan=yxxrr，余切函數(shù)cot=，正割函數(shù)sec=,余割函數(shù)csc=.yxy111定理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan=,sin=，cos=；cotcscsec商數(shù)關(guān)系：tan=sincos,cotcossin；乘積關(guān)系：tancos=sin,cotsin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1,tan2+1=sec2,cot2+1=csc2.定理2誘導(dǎo)公式（）sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan,cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan,cot(-)=cot;（）sin(-)=sin,co

3、s(-)=-cos,tan=(-)=-tan,cot(-)=-cot;=cos,cos=sin,tan=cot（奇變偶不變，符號(hào)看象限）。（）sin222定理3正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinx（xR）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k2,2k2上為增函數(shù)，在區(qū)間2k,2k上為減函數(shù)，322最小正周期：2.奇偶性：奇函數(shù)有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+時(shí)，y取最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=3k-時(shí),y取最小值-1，值域?yàn)?1，1。22對(duì)稱性：直線x=k+2均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)（k,0）均為其對(duì)稱中心。這里kZ.定理4余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(xR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k,2k+上單調(diào)

4、遞減，在區(qū)間2k-,2k上單調(diào)遞增。最小正周期：2。奇偶性：偶函數(shù)。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2k時(shí)，y取最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2k-時(shí)，y取最小值-1。值域?yàn)?1，1。,0均為其對(duì)稱中心。這里kZ.對(duì)稱性：直線x=k均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)k2定理5正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xk+)在開區(qū)間(k-,k+)上為增函數(shù),222最小正周期為，值域?yàn)椋?，+），點(diǎn)（k，0），（k+，0）均為其對(duì)稱中心。2定理6兩角和與差的基本關(guān)系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin;tan()=(tantan)(1tantan).精品文檔精品文檔兩角和與差的變式：sin

5、2sin2cos2cos2sin()sin()cos2sin2cos2sin2cos()cos()tantantantantantan三角和的正切公式：tan()1tantantantantantan定理7和差化積與積化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,2222cos+cos=2coscos,cos-cos=-2sinsin,222211sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),2211coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).22定理8二倍角公式：sin2=2sinc

6、os,cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,tan2=三倍角公式及變式：sin33sin4sin3，cos34cos33cos2tan(1tan2).0ssin(6)in11n(0sin3si6)，cos(60)coscos(60)cos344(1cos)(1cos)定理9半角公式:sin=,cos=,2222(1cos)sin(1cos)tan=.2(1cos)(1cos)sin2tan1tan22tan,cos2,tan1tan21tan21tan2定理10萬(wàn)能公式:sin22222.定理11輔助角公式：如果a,b是實(shí)數(shù)且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過(guò)

7、點(diǎn)(a,b)的一個(gè)角為，ba則sin=,cos=，對(duì)任意的角.asin+bcos=(a2b2)sin(+).a2b2a2b2abc定理12正弦定理：在任意ABC中有2R，sinAsinBsinC其中a,b,c分別是角A，B，C的對(duì)邊，R為ABC外接圓半徑。定理13余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對(duì)邊。定理14射影定理：在任意ABC中有abcosCccosB，bacosCccosA，cacosBbcosA定理15歐拉定理：在任意ABC中，OI2R22Rr，其中O,I分別為ABC的外心和內(nèi)心。定理16面積公式：在任意ABC中，外接圓半徑為

8、R,內(nèi)切圓半徑為r，半周長(zhǎng)pabc2224R則S11abcahabsinCrp2R2sinAsinBsinCrR(sinAsinBsinC)a1)p)p(pa(pb(c4定理17與ABC三個(gè)內(nèi)角有關(guān)的公式：精品文檔2t22(acotAbcoBtccoC)精品文檔（1）sinAsinBsinC4cosABCcoscos;222ABC（2）cosAcosBcosC14sinsinsin;222（3）tanAtanBtanCtanAtanBtanC;ABBCCA（4）tantantantantantan1;222222（5）cotAcotBcotBcotCcotCcotA1;（6）sin2Asin2

9、Bsin2C4sinAsinBsinC.定理18圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位1變換）；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到y(tǒng)=sinx(0)的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，yy縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；=Asin(x+)(0)的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義4函數(shù)y=sinxx,的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x-

10、1,1)，函數(shù)y=tanxx2222函數(shù)y=cosx(x0,)的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x-1,1).,的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x-,+).函數(shù)y=cotx(x0,)的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x-,+).定理19三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina,nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa,kZ.如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana,kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.22（1）若x0

11、,【解】若x,，則-1cosx0，所以cosx,0，定理20若干有用的不等式：，則sinxxtanx.2sinxtanx（2）函數(shù)y在(0,)上為減函數(shù)；函數(shù)y在(0,)上為增函數(shù)。xx2（3）嵌入不等式：設(shè)A+B+C=，則對(duì)任意的x,y,zR，有x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法與例題1結(jié)合圖象解題。例1求方程sinx=lg|x|的解的個(gè)數(shù)?！窘狻吭谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=sinx與y=lg|x|的圖象，由圖象可知兩者有6個(gè)交點(diǎn)，故方程有6個(gè)解。2三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例2設(shè)x(0,),試比較cos(sinx

12、)與sin(cosx)的大小。22所以sin(cosx)0,又00，所以cos(sinx)sin(cosx).精品文檔精品文檔，則因?yàn)閟inx+cosx=2sin(x+若x0,2)2，所以0sinx-cosxcos(2-cosx)=sin(cosx).【解法一】令sinx=2cos,1cos2x2sin0,綜上，當(dāng)x(0,)時(shí)，總有cos(sinx)0,0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M,0對(duì)稱，且在區(qū)間0,上t121211，所以y-1.所以函數(shù)值域?yàn)閥1,因?yàn)閠-1，所以.6圖象變換：y=sinx(xR)與y=Asin(x+)(A,0).342是單調(diào)函數(shù)，求和的值?！窘狻坑蒮(x)是偶函數(shù)，

13、所以f(-x)=f(x)，所以sin(x+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對(duì)任意xR成立。又0，解得=，2精品文檔精品文檔333因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于M,0對(duì)稱，所以f(x)f(x)=0。44433取x=0，得f()=0，所以sin44320.所以k(kZ)，即=(2k+1)(kZ).2423又0，取k=0時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；22取k=1時(shí)，=2，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；2210取k=2時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(x+)在0，上不是單調(diào)函數(shù)，3222綜上，=或2。37三角公式的應(yīng)用。553例7已知sin(-)=，sin(+)=-

14、，且-,，+,2，求sin2,cos2的值。13132212【解】因?yàn)?,，所以cos(-)=-1sin2().213312又因?yàn)?,2，所以cos(+)=1sin2().213120所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,169cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例8eqoac(,已知)ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且112AC，試求cos的值。cosAcosCcosB2【解】因?yàn)锳=1200-C，所以cosAC2=cos(600-C)，1111cos(1200C)cosC又由于c

15、osAcosCcos(1200C)cosCcosCcos(1200C)=2cos600cos(600C)2cos(600C)11cos1200cos(12002C)cos(12002C)2222，所以42cos2ACAC2cos32=0。解得cos22AC2AC32或cos。2228ACAC2又cos0，所以cos。222例9求證：tan20+4cos70=3sin20sin204sin20cos20sin202sin40【解】tan20+4cos70=+4sin20cos20cos20cos20sin20sin40sin402sin30cos10sin40cos20cos20sin80sin

16、402sin60cos203.cos20cos20精品文檔zcosisin,則2cosz,從而,128cos7(z)7，展開即可.精品文檔例10證明：cos7x7cos5x21cos3x35cosx64cos7x分析：等號(hào)左邊涉及角7x、5x、3x、x右邊僅涉及角x，可將左邊各項(xiàng)逐步轉(zhuǎn)化為sinx、cosx的表達(dá)式，但相對(duì)較繁.觀察到右邊的次數(shù)較高，可嘗試降次.證明：因?yàn)閏os3x4cos3x3cosx,所以4cos3xcos3x3cosx,從而有16cos6xcos23x6cos3xcosx9cos2x3(cos4xcos2x)1cos6x9(1cos2x)2232cos6x1cos6x6c

17、os4x6cos2x99cos2x,64cos7x2cos6xcosx12cos4xcosx30cos2xcosx20cosxcos7xcos5x6cos5x6cos3x15cos3x15cosx20cosxcos7x7cos5x21cos3x35cosx.評(píng)述：本題看似“化簡(jiǎn)為繁”，實(shí)質(zhì)上抓住了降次這一關(guān)鍵，很是簡(jiǎn)捷.另本題也可利用復(fù)數(shù)求解.令11zz例11已知1tan2001,求證:sec2tan22001.1tan1tan1sin21cos(2)2證明：sec2tan2tan()1tan2001.1tan2001.有1證明：cotxcot2x,1tancos24sin(2)2n例12證明

18、：對(duì)任一自然數(shù)及任意實(shí)數(shù)xm(k0,1,2,n,m為任一整數(shù)），2k11cotxcot2nx.sin2xsin4xsin2nx思路分析：本題左邊為n項(xiàng)的和，右邊為2項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂”成兩項(xiàng)之差，并希冀能消去其中許多中間項(xiàng).12cos2xcos2x2cos2xcos2xsin2xsin2x2sinxcosxsin2x同理1sin4xcot2xcot4x1sin2nxcot2n1xcot2nx評(píng)述：本題裂項(xiàng)技巧也可通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法獲得.“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題：tantan2tan2tan3tan(n1)tanntannn.tantan2tan222tan2

19、22ntan2ncot2n1cot2n1.cos0精品文檔111cos1cot1cos1cos1cos2cos88cos89精品文檔例13設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊a,b,c成等比數(shù)列，則sinAcotCcosAsinBcotCcosB的取值范圍是（）)C.(,)D.(,)A.(0,)B.(0,515151512222解設(shè)a,b,c的公比為q，則baq,caq2，而sin(AC)qaaqaq2,q2q10,222q10.q51或q51.從而5151q，因此所求的取值范圍是(,)故選C222的值為（）sinAcotCcosAsinAcosCcosAsinCsinBcotCcosBsinBc

20、osCcosBsinCsin(B)sinBbsin(BC)sin(A)sinAa因此，只需求q的取值范圍因a,b,c成等比數(shù)列，最大邊只能是a或c，因此a,b,c要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需abc且bca即有不等式組1551q,即解得aqaq2aq2251512222例14ABC內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于A1、B1、C1，ABCAAcosBBcosCCcos111則sinAsinBsinCA2B4C6D8解：如圖，連BA1，則AA1=2sin(B+A2222222cos(B)sinCsinB,同理BBcosBsinAsinC,CCcosCsinAsinB,22

21、2222sinAsinBsinCABCBCBC)2sin()2cos()222222ABCAABCACBAAcos2cos()coscoscoscos(C)111ABC2(sinAsinBsinC)AAcosBBcosCCcos2(sinAsinBsinC),原式=2.選A.111例15若對(duì)所有實(shí)數(shù)x，均有sinkxsinkxcoskxcoskxcosk2x，則k（）.A、6；B、5；C、4；D、3kkxkksx解：記fxsinxsincosxcoksx2co，則由條件，fx恒為0，取x2，得1k，則k為奇數(shù)，設(shè)k2n1，上式成為sinn1，因此n為偶數(shù)，令n2m，則ksin22k4m1，故選

22、擇支中只有k3滿足題意故選D例16已知fxx2a2b21xa22abb2是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是A2B.2C.22D.4精品文檔精品文檔解：由已知條件可知，a2b210，函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a22abb2。令acos,bsin，則a22abb2cos22sincossin2cos2sin22。因此選A。例17已知,R，直線xyxy1與1sinsinsincoscossincoscos解：由已知可知，可設(shè)兩直線的交點(diǎn)為(x,x)，且sin,cos為方程xtsintcos的交點(diǎn)在直線yx上，則sincossincos。x001，00的兩個(gè)根，即為方程t2(cossi

23、n)tsincosx(cossin)0的兩個(gè)根。0因此sincos(sincos)，即sincossincos0。1、cos(1x25x7x25x6)。2、已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)215(x)，則f(x)的最小值為_。x443、已知sin(2)13，且k,n(n,kZ)。則sin22tan()tan的值是_.7、已知a0=1,an=1a212n2.(nN+)，求證：an8、已知sinAsin(),|A|1,求證:tan()4、設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1。若實(shí)數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則2(1cos)的最大值。5、設(shè)00，求證

24、：sincosxcosx2.2sin精品文檔精品文檔12、求證：cos6cos42cos66cos781161sin1sin2sin3sin89=()45610.42sin(x)215152、解：實(shí)際上f(x)(x)，設(shè)g(x)2sin(x)(x)，則g(x)0，g(x)444444444xxx44212全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題-三角恒等式與三角不等式實(shí)戰(zhàn)演練答案1、解：根據(jù)題意要求，x25x60，0 x25x71。于是有x25x71。因此cos(1x25x7x25x6)cos01。因此答案為1。4x444441335313在,上是增函數(shù)，在,上是減函數(shù)，且y=g(x)的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱，則對(duì)任

25、意x,，存在135g(x)2g(x)2g(x)235122x,，使g(x)=g(x)。于是f(x)f(x)，而f(x)在,上是減21112函數(shù)，所以f(x)f(5)44551545，即f(x)在,上的最小值是。445tan()sin()cos3122.3、解：1sin(2)sin(2)sin1sin1sin(2)tancos(ab)sin31sin(2)sin12sin由已知條件，上式對(duì)任意xR恒成立，故必有bsinc0(2)，ab10(3)14、解：令c=，則對(duì)任意的xR，都有f(x)+f(xc)=2，于是取ab，c=，則對(duì)任意的xR，af(x)+bf(xc)=1，2bcosc由此得1。a2

26、一般地，由題設(shè)可得f(x)13sin(x)1，f(xc)13sin(xc)1，其中0且tan，23于是af(x)+bf(xc)=1可化為13asin(x)13bsin(xc)ab1，即13asin(x)13bsin(x)cosc13bsinccos(x)(ab1)0，所以13(abcosc)sin(x)13bsinccos(x)(ab1)0。abcosc0(1)若b=0，則由(1)知a=0，顯然不滿足(3)式，故b0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2k+或c=2k(kZ)。當(dāng)c=2k時(shí)，cosc=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2k+(kZ)，cosc=1。由(1)、(3)知ab1b

27、cosc，所以2a1。，所以sin5、【解】因?yàn)?0,cos0.22所以sin（1+cos）=2sincos2=22sin2cos2cos2222222精品文檔2cos2sin32=1643.2精品文檔當(dāng)且僅當(dāng)2sin22cos222327922243=cos2,即tan=,=2arctan時(shí)，sin(1+cos)取得最大值。2222296、思路分析：等式左邊同時(shí)出現(xiàn)tan18tan12、tan18tan12，聯(lián)想到公式tan()tantan1tantan.證明：3tan18tan18tan123tan123(tan18tan12)tan18tan123(tan18t3tan(187、【證明】

28、由題設(shè)知an0，令an=tanan,an0,，3(tan18tan12)tan18tan123tan(1812)(1tan18tan12)tan18tan1213tan(1812)(1tan18tan12)1tan18tan121評(píng)述：本題方法具有一定的普遍性.仿此可證(1tan1)(1tan2)(1tan43)(1tan44)222等.2seca2則an=1tan2an1tanan11tanasina11cosan1n1n1n1tanan1tana.n因?yàn)閚1，an0,，所以an=a，所以an=a.222又因?yàn)閍0=tana1=1，所以a0=，所以a。4241a1nn101nn22n22n2

29、又因?yàn)楫?dāng)0 xx，所以atann.注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng)x0,時(shí)，有tanxxsinx，這是個(gè)熟2知的結(jié)論，暫時(shí)不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。8、分析：條件涉及到角、，而結(jié)論涉及到角，.故可利用()或()消除條件與結(jié)論間角的差異，當(dāng)然亦可從式中的“A”入手.證法1：sinAsin(),sin()Asin(),|sin()coscos()sinAsin(),A|1,sin()(cosA)sincos(),|A|1,cosA0,從而cos()0,|A|1,|A|1,cosA0,cosA0,從而cos()0,sintan().cosA證法2：sincos從而

30、sin)0,sin()sinsinsin從而Acos()sintan()cos)sincossin(cossinA)Acos(0,tan()sin(cosAtan()cosA精品文檔sin()sin精品文檔sin()cos()sin22sin2,9、【解】因?yàn)閟inA+scos(=2sin)sincossin()sincossin()sin()sin()sincossin()sin()sinsin()sintan().cossin()sin()cos()sinBsin(A)sinABABtan().23cos32sin3tan().CCCsinC+sin2sin3222,CABCABC32si

31、n3cos32sinAB又因?yàn)閟insin22443，所以sinA+sinB+sinC3sin=,當(dāng)A=B=C=時(shí)，（sinA+sinB+sinC）max=.10、證明：sinsin1由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin,3323333332注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。cos()cos(),2222類似地sin()sin13cos()cos(),22222sinsin()sin(12)21sin(n)各項(xiàng)相加得,sin)sin(n)sinn1.22所以，sinsin()sin(n).153sin(2)sincos()cos(),222212n12n1sin(n)sincos()cos(),2222ncos()cos()22212n1cos()cos(222nn1sin()sin.nn122sin()sin22sin2評(píng)述：類似地，有coscos()cos(n)sinn1ncos()22sin2.利用上述公式可快速證明下列各式：coscos2cos3cosncoscoscos.coscoscoscos等.nn1sincos22351sincoscoscos