2023屆浙江省杭州市桐廬中學(xué)新高三暑期階段性測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 23 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 23 頁2023屆浙江省杭州市桐廬中學(xué)新高三暑期階段性測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知全集，集合，則（）ABCD【答案】D【分析】先求函數(shù)得，再解不等式得，再求集合交集運算即可.【詳解】解：因為的定義域為，所以函數(shù)的值域為，所以，又因為，所以故選：D2已知，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）ABCD【答案】B【分析】由題知，再計算即可.【詳解】解：因為，所以，所以，所以故選：B3ABC中，設(shè)， ，則（）A+BC+D【答案】B【分析】由向

2、量的線性運算法則計算【詳解】由題意故選：B4在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù)當基本傳染數(shù)高于時，每個感染者平均會感染一個以上的人，從而導(dǎo)致感染這種疾病的人數(shù)量指數(shù)級增長當基本傳染數(shù)持續(xù)低于時，疫情才可能逐漸消散廣泛接種疫苗可以減少疾病的基本傳染數(shù)假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，個感染者在每個傳染期會接觸到個新人，這人中有個人接種過疫苗(稱為接種率)，那么個感染者新的傳染人數(shù)為已知新冠病毒在某地的基本傳染數(shù)為了使個感染者傳染人數(shù)不超過，該地疫苗的接種率至少為（）ABCD【答案】C【分析】由題意列不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得：故選：C.5拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子

3、，若事件“向上的點數(shù)為”，“向上的點數(shù)為”，“向上的點數(shù)為或”，則有（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)事件的關(guān)系、和事件、積事件的定義逐一判斷四個選項的正誤，即可得出正確選項【詳解】對于A：事件“向上的點數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點數(shù)為”一定不發(fā)生，故選項A不正確；對于B：事件“向上的點數(shù)為或”發(fā)生，事件“向上的點數(shù)為”不一定發(fā)生，但事件“向上的點數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點數(shù)為或” 一定發(fā)生，所以 ，故選項B不正確；對于C：事件和事件不能同時發(fā)生，故選項C不正確；對于D：事件“向上的點數(shù)為”或事件“向上的點數(shù)為”發(fā)生，則事件“向上的點數(shù)為或”發(fā)生，故選項D正確；故選：D6純音數(shù)學(xué)模型是函數(shù)音有四

4、要素：音調(diào)、響度、音長和音色，它們都與函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，比如：響度與振幅有關(guān)，振幅越大響度越大，振幅越小響度越?。灰粽{(diào)與頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利像我們平時聽到樂音不只是一個音在響，而是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.我們聽到的聲音函數(shù)是.下列說法中正確的是（）A函數(shù)不具有奇偶性B函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C若甲對應(yīng)函數(shù)為，則甲響度一定比純音響度大D若甲對應(yīng)函數(shù)為，則聲音甲一定比純音更低沉【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性的概念、單調(diào)性的概念以及特值法進行判斷.【詳解】令，函數(shù)的定義域為R，對于選項A，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯誤；對于選項B，當時，在均為單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

5、，故B正確；對于選項C，令，令，有，所以甲響度不一定比純音響度大，故C錯誤；對于選項D，令，令，有，所以聲音甲不一定比純音更低沉，故D錯誤.故選：B.7設(shè)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)()可比較a，b，作出a與c的差，再構(gòu)造函數(shù)判定正負即可作答.【詳解】令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，即，于是得，令，則當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，令，則當時，即在上單調(diào)遞減，則，即，于是有，即成立，所以.故選：D8如圖，長方形中，點在線段（端點除外）上，現(xiàn)將沿折起為設(shè)，二面角的大小為，若，則四棱錐體積的最大值為（）ABCD【答案】A【分析】將棱錐的底面邊

6、長及高用含有的三角函數(shù)來表示，根據(jù)體積公式寫出棱錐體積，整理化簡后利用三角函數(shù)求最值.【詳解】設(shè)過與垂直的線段長為，則，則四棱錐的高，則，四棱錐體積的最大值為.故選：A.【點睛】求解立體幾何體積的最值時，一般需要將體積寫為函數(shù)關(guān)系式或者是三角函數(shù)關(guān)系式，進而利用函數(shù)求最值或三角函數(shù)求最值的方法求解其最值.二、多選題9已知正四棱柱的底面邊為1，側(cè)棱長為a，M是的中點，則（）A任意，B存在，直線與直線BM相交C平面與底面交線長為定值D當時，三棱錐外接球表面積為【答案】AC【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷A對；利用異面直線的判定可知B錯；確定平面與底面交線為，可求得為定值，從而得C正確；由球截面

7、所得圓半徑最大為球半徑，可判斷D錯誤.【詳解】對于選項A，平面，平面，平面，A對；對于選項B，平面，平面，平面與異面不相交，B錯；對于選項C，延長，交于點，為中點，平面平面，平面與底面交線為，其中P為中點，C對；對于選項D，是直角三角形，外接圓是以為直徑的圓，半徑，此時三棱錐外接球的半徑，可知外接球表面積應(yīng)大于等于，可知D錯；故選：AC.10已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2（ana）（其中a為常數(shù)），則下列說法正確的是（）A數(shù)列an一定是等比數(shù)列B數(shù)列an可能是等差數(shù)列C數(shù)列Sn可能是等比數(shù)列D數(shù)列Sn可能是等差數(shù)列【答案】BD【解析】結(jié)合已知可得an2an1，n1，然后結(jié)合a是否為0可

8、進行判定是否滿足等差或等比【詳解】Sn2（ana），當n1時可得，Sn12（an1a），兩式相減可得，an2an1，n1，又n1時，S12（a1a）可得，a12a，若a0時，數(shù)列an不是等比數(shù)列，而是等差數(shù)列，其各項都為0，和也為等差數(shù)列當a0時，數(shù)列an是等比數(shù)列，不是等差數(shù)列，而非常數(shù)的等比數(shù)列的前n項和不是等比，故選：BD【點睛】本題考查了項和轉(zhuǎn)換、等差等比數(shù)列的判定，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.11已知拋物線C：y24x，其焦點為F，P為直線x2上任意一點，過P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，斜率分別為k1，k2，則（）AB|k1k2|2CAB過定

9、點D的最小值為8【答案】AC【解析】設(shè)，則y124x1，y224x2，對拋物線的方程兩邊求導(dǎo)，可得切線的斜率、切線的方程，聯(lián)立兩切線方程求得P的橫坐標，可判斷A；由切線的斜率相減，化簡可判斷B；求得AB的直線方程，結(jié)合恒過定點，可判斷C；由拋物線的定義和基本不等式可判斷D【詳解】由題意可得，拋物線的準線方程為，設(shè)，則，由y24x得，求導(dǎo)得，所以，所以過A的切線的方程為xx1，化為xy ，同理可得過B的切線方程為xy ，由解得x，由P的橫坐標為，即，則，k1k2，故A正確；因為|k1k2|不為定值，故B錯誤；因為AB的直線方程為yy1，即yy1+x，整理得y，所以AB恒過定點，故C正確；將轉(zhuǎn)化為

10、到準線的距離，即（x1+1）（x2+1）x1x2+（x1+x2）+1+1+5+5+29，當且僅當|y1|y2|時取得等號，所以的最小值為9，故D錯誤故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是找到過A、B兩點的切線斜率與方程得到，然后利用此結(jié)論表示各個選項可得出判斷，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.12設(shè)函數(shù)，下列說法正確的是（）A若，是奇函數(shù)B若，在單調(diào)遞減C若，在有且僅有一個零點D若，【答案】BC【分析】取不同的值時，對每一個選項逐個判斷.【詳解】選項A，若時，又，故A不下正確；選項B，時，故B正確；選項C，時，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在有

11、且僅有一個零點；選項D，取，當時，若成立，即成立.令，所以，故在是單調(diào)遞增，所以時，不成立.故選：BC.三、填空題13若的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是_【答案】180【分析】寫出二項展開式通項公式，由只有第六項二項式系數(shù)最大求得，再確定常數(shù)項【詳解】，由題意，此不等式組只有一解，因此（），所以常數(shù)項為故答案為：18014已知數(shù)列，滿足，則_.【答案】【分析】根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化式子得出，進而求出數(shù)列的通項公式即得數(shù)列的通項公式，再求出數(shù)列的通項公式，進一步求出答案即可.【詳解】，即：，是以首項為，公差為的等差數(shù)列，.故答案為：.15已知函數(shù)，若，則的最大值為_【答案】【

12、分析】根據(jù)，得到，由在上單調(diào)遞增，得到，進而得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】由題意，得，所以，即，又，得，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以故答案為：16如圖，橢圓：的離心率為，F(xiàn)是的右焦點，點P是上第一角限內(nèi)任意一點，若，則的取值范圍是_【答案】【解析】由于點在橢圓上運動時，與軸的正方向的夾角在變，所以先設(shè)，又由，可知，從而可得，而點在橢圓上，所以將點的坐標代入橢圓方程中化簡可得結(jié)果【詳解】設(shè)，則，由，得，代入橢圓方程，得，化簡得恒成立，由此得，即，故故答案為：【點睛】此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個點的關(guān)系求離心率，綜合性強，屬于難

13、題 四、解答題17已知函數(shù)(1)，為銳角，求及的值；(2)已知，求及的值【答案】(1)，(2)【分析】（1）由平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系即可求得；由結(jié)合平方關(guān)系求得，進而求得，同理求得，再由正切差角公式求出即可；（2）由結(jié)合平方關(guān)系及余弦和角公式化簡得，進而得到及，即可求出及的值（1），為銳角，即，綜上，；（2），所以，即，且，又，當時，；當時，與相矛盾，不符合題意綜上所述，181.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和【答案】(1)(2)【分析】（1）通過等比數(shù)列的基本量運算求出，再求出，進而通過等差數(shù)列的基本量運算求出；（2）結(jié)合（1），通過錯位相減法求得

14、答案.（1）解：設(shè)的公差為d，的公比為q，則，所以，則，即，所以（2）解：由（1），記的前n項和為，所以則，-，得：，所以.19某校數(shù)學(xué)興趣小組由水平相當?shù)膎位同學(xué)組成，他們的學(xué)號依次為1，2，3，n.輔導(dǎo)老師安排一個挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)填空題的活動，活動中有兩個固定的題，同學(xué)們對這兩個題輪流作答，每位同學(xué)在四分鐘內(nèi)答對第一題及四分鐘內(nèi)答對第二題的概率都為，每個同學(xué)的答題過程都是相互獨立的挑戰(zhàn)的具體規(guī)則如下：挑戰(zhàn)的同學(xué)先做第一題，第一題做對才有機會做第二題；挑戰(zhàn)按學(xué)號由小到大的順序依次進行，第1號同學(xué)開始第1輪挑戰(zhàn)；若第號同學(xué)在四分鐘內(nèi)未答對第一題，則認為第輪挑戰(zhàn)失敗，由第號同學(xué)繼續(xù)挑戰(zhàn)；若第號同學(xué)在四分

15、鐘內(nèi)答對了第一題，滿四分鐘后，輔導(dǎo)老師安排該生答第二題，若該生在四分鐘內(nèi)又答對第二題，則認為挑戰(zhàn)成功挑戰(zhàn)在第輪結(jié)束；若該生在四分鐘內(nèi)未答對第二題，則也認為第輪挑戰(zhàn)失敗，由第號同學(xué)繼續(xù)挑戰(zhàn)；若挑戰(zhàn)進行到了第輪，則不管第n號同學(xué)答對多少題，下輪不再安排同學(xué)挑戰(zhàn).令隨機變量表示n名挑戰(zhàn)者在第輪結(jié)束.（1）求隨機變量的分布列；（2）若把挑戰(zhàn)規(guī)則去掉，換成規(guī)則：挑戰(zhàn)的同學(xué)先做第一題，若有同學(xué)在四分鐘內(nèi)答對了第一題，以后挑戰(zhàn)的同學(xué)不做第一題，直接從第二題開始作答.令隨機變量表示n名挑戰(zhàn)者在第輪結(jié)束.（）求隨機變量的分布列；（）證明.【答案】（1）分布列見解析；（2）（）分布列見解析；（）證明見解析.【分析

16、】（1）由題知，兩道題都答對的概率為，至少有一道不能答對的概率為，故有，即可求出概率分布列；（2）（i）根據(jù)題意先考慮時，第k人必答對第二題，故有故，再考慮當時，故，于是得到其概率分布列；（ii）由（i）求得期望，在考慮的單調(diào)性，即可證明成立，再用錯位相減法和不等式放縮得即可證明.【詳解】（1），因此的分布列為1234P（2）（）時，第k人必答對第二題，若前面人都沒有一人答對第一題，其概率為，若前面人有一人答對第一題，其概率為，故.當時，若前面人都沒有一人答對第一題，其概率為，若前面人有一人答對第一題，其概率為，故.的分布列為：123P（）.法1：，故，求得，故，.故.法2：令，則，因此：.又

17、，故.【點睛】本題考查離散型隨機變量的概率分布列，考查數(shù)學(xué)運算能力與分析解決問題能力，是難題.20如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（）證明MN平面PAB;（）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】（）詳見解析；（）【詳解】（）由已知得.取的中點，連接，由為中點知，. 又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面. （）取的中點，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標原點， 的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意知， ，.設(shè)為平面 的一個法向量，則即 可取.

18、于是. 【解析】空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角【技巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^建立空間直角坐標系，利用空間向量中的夾角與距離來處理21已知橢圓經(jīng)過點，且焦距，線段分別是它的長軸和短軸(1)求橢圓E的方程；(2)若是平面上的動點，從下面兩個條件中選一個，證明：直線經(jīng)過定點，直線與橢圓E的另一交點分別為P，Q；，直線與橢圓E的另一交點分別為P，Q【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由已知可得：，解得：，即可求橢圓E的方程；（2）選，則，設(shè)， 所

19、以聯(lián)立直線和橢圓的方程，求出的坐標，進一步得到直線的方程，令，故直線恒過定點.選，則，設(shè)，所以聯(lián)立直線和橢圓的方程，求出的坐標，進一步得到直線的方程，令，故直線恒過定點.（1）由已知，點在橢圓上，所以，又因為，所以，所以橢圓的方程為：.（2）選，則，設(shè)，所以消去得：，所以，所以，則，所以，消去得：，所以，所以，則，所以，所以，所以直線的方程為：，所以，所以，故直線恒過定點.選，則，設(shè)，所以消去得：，所以，所以， 所以同理：，所以，所以所以直線的方程為：令，則故直線恒過定點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力，解題的關(guān)鍵是求出的坐標，進一步得到直線

20、的方程，即可得出直線恒過的定點，屬于難題.22（1）已知函數(shù)，.（i）記.證明：（ii）若，記此時的兩個零點為.證明：；（2）某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為若關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式與抗生素計量相關(guān)，其中是不同的正實數(shù)，滿足，對任意的，都有（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）