分形之父芒德勃羅

1、分形之父芒德勃羅【內容提要】芒德勃羅在多種學科游蕩了二十多年，終于創(chuàng)立轟動科學界的分形理論，如今他已成為世界上最有名氣的大科學家之一。他擅長以幾何圖形方式考慮問題，早期從萊維那里學到了穩(wěn)定分布概念，將它用于語言學、經濟學和流體力學等。他使樸素的自相似觀念成為嚴格的科學，為形態(tài)發(fā)生學、復雜性研究以及藝術創(chuàng)作奉獻了一系列重要思想和方法。芒氏的“博物學成功道路也給人們留下諸多啟示?！娟P鍵詞】分形/萊維分布/芒德勃羅【正文】芒德勃羅benitb.andelbrt不是傳統(tǒng)意義上的數(shù)學家、科學家，1973年以前，他一直不被各領域的科學家所認同，“分形理論誕生后他的“政治地位他自己愿意用這樣的詞匯劇變，成為

2、世界上最有名氣的科學家之一通過因特網internet，可以很好地檢驗一個人的知名度?？茖W界曾兩次為他舉行國際范圍的祝壽活動，并相應出版了祝壽科學論文集。一次是1989年在其65歲生日時，紀念文集以?物理學d?physiad雜志專號出版1989年第38卷，登載了他的大幅照片及詳細學術經歷。另一次是1994年他70大壽會議拖到1995年舉行，紀念文集由新加坡的?分形?fratals雜志專號出版1995年第3卷第3期。對一位科學工作者而言，這是很不容易享受到的榮譽。這位在多種學科“漂泊了20余年才得到學界廣泛成認的分形之父，近些年來不斷得到各種榮譽和獎勵，但也到處與同行發(fā)生爭執(zhí)。1家庭背景與成長經歷

3、波努瓦芒德勃羅1924年11月20日生于波蘭華沙，祖籍是立陶宛猶太人。波努瓦的父親是成衣商，母親是牙科醫(yī)生。1936年在芒德勃羅11周歲時舉家遷往巴黎，這也部分是受其叔父佐列姆芒德勃羅伊szleandelbrjt,18991983的吸引，當時佐列姆是法國的一位數(shù)學家。1944年，芒德勃羅以班級第一名的身份通過了法國著名的“高等師范學院與“綜合工科學校入學考試。當時他的代數(shù)與分析根底并不好，但幾何直覺不錯，考試時他總是設法將代數(shù)與分析問題化成幾何問題，巧妙地將它們解決，他稱此為合法性“作弊heating。芒德勃羅與其叔叔佐列姆對數(shù)學有完全不同的口味。叔叔佐列姆是一位非常經典的分析學家，而波努瓦芒

4、德勃羅更傾向于幾何，他稱自己為幾何學家。叔叔佐列姆認為幾何是已死掉的學科，只對小孩子學數(shù)學還有一些意義，人們只有超越它才能獲得天才的學術奉獻。但是芒德勃羅不相信這種觀念，也不喜歡分析學派的那種“高雅風格。到美國后，他最先是作為麻省理工學院的一名研究助理，1958年成為ib約克郡高地沃森研究中心物理部研究人員。芒德勃羅因創(chuàng)造了原來根本不存在的分形學科而一舉成名。1975年以法文出版?分形對象：形、機遇與維數(shù)?，1977年以英文出版該書增補版，1982年出版?大自然的分形幾何學?。最后一部影響最大，它是分形學科的宣言書，包羅萬象，顯示了將分形用于自然現(xiàn)象描繪的重要性。他對自己的專著的描繪用詞是：“

5、普及性的、“隨筆essay、“宣言書、“從頭到尾都是序言。據初步統(tǒng)計，到1989年底他已經發(fā)表了123篇論文，內容極其龐雜，涉及語言學、概率論、通訊工程、水利學、經濟理論、金融分析、布朗運動、湍流、復迭代、宇宙學、臨界現(xiàn)象與相變等等。芒德勃羅現(xiàn)為美國藝術與科學院院士，美國國家科學院外籍院士，歐洲藝術、科學與人文學院院士。他曾榮獲巴納獎章f.barnardedal,1985、富蘭克林獎章franklinedal,1986和物理學沃爾夫獎lfprize,1991，還有其他假設干獎勵。芒德勃羅創(chuàng)始的分形理論近年來非常紅火，據阿哈羅尼a.ahar-ny和費德j.feder1989年對inspe數(shù)據庫統(tǒng)

6、計，公開發(fā)表的分形論文累計數(shù)量符合指數(shù)規(guī)律expt19741.74，其中t代表年份，這說明每年論文數(shù)量以1.8的因子增加。2現(xiàn)代“博物學家進入20世紀，各門科學早已揚棄了博物學的傳統(tǒng)，如今很難找到某人因采用博物學方法而獲得重大成功，但芒德勃羅是個極大的例外，他是現(xiàn)代科學界最大的博物學家naturalist。他非常推崇?論生長與形式?ngrthandfr的作者達西湯普森，這也間接說明他的博物學傾向。他的思維方式很特別，喜歡幾何是一個特征，此外他更關心數(shù)學史和物理學史。多數(shù)研究人員總是找最新的學術來閱讀，以便能跟上科學技術日新月異的形勢。而他專門找一些破舊的、沒人翻看的，并且時常注意一些不起眼的非

7、核心刊物。芒氏特別重視那些當時非主流的思想，尤其是那些被稱作“病態(tài)的、“反直覺的東西。因此諸如如今人們熟悉的康托爾三分集、外爾斯特拉斯不可微曲線、可充滿正方形區(qū)域的皮亞諾曲線、謝爾賓斯基.sierpinski，18821969地毯與海綿、柯赫h.vnkh,18701924雪花曲線等等，都被他視為珍寶。而這些一直被正統(tǒng)科學視為少數(shù)的反例，只是在教學過程中作為一種邏輯可能性偶而提到。在分形如此流行的今天，本文沒有必要一個一個地仔細講述這些“怪物芒氏視其為“寶貝的詳細性質，從任何一本關于分形的書中都可以容易找到一些例子。長期的觀察、搜集與總結，使芒德勃羅獲得這樣一個印象：除了光滑的歐氏幾何廣義的，泛

8、指分形幾何以外的標準幾何以外，應該還有一種不光滑的幾何，這種幾何更適于描寫大自然的本來面目。巴塞羅斯anthnybarells采訪芒德勃羅時問他：“分形實例中你最喜歡哪一個？芒氏脫口而出：“當然是海岸線例子。4隨即他又補充說還有“血管分形構造以及“自平方龍復迭代中的一個例子等例子。他幽默地講，實際上他不知道最喜歡哪一個，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜歡，作為父親因為所有孩子而驕傲，所有孩子都為這個分形之家添了榮耀?！耙粋€人可以因為不同的理由愛不同的孩子，但他不可能有真正絕對的偏愛。不管怎么說，海岸線例子還是最容易說清楚的分形實例，芒氏到處演講，也總是提起它，在兩部專著中也把海岸線問題放

9、在前頭講述。3通過“萊維穩(wěn)定分布走向分形除了創(chuàng)立分形幾何學這樣一個總的題目，芒氏的主要科學成就詳細說來主要包括什么？假如去掉“主要兩字，羅列一長串也就齊了，但是限制列出幾項，考慮起來可不容易。有些如今看起來重要，可能不久后隨著科學的開展又不算什么了，有的如今一般，但也許以后會變得重要。無論怎樣，作者還是根據自己的粗淺理解初步列出幾項。1發(fā)現(xiàn)萊維paullevy,18861971穩(wěn)定分布的重要性；2用自相似觀點研究噪聲與湍流的陣發(fā)過程；3重新發(fā)現(xiàn)集合；4在前人根底上擴展了維數(shù)概念，并使各領域科學家廣泛理解；5提出“分形概念和“多分形ultifratal思想；6促進了科學的統(tǒng)一和數(shù)學的普及，有力推

10、動了科學與藝術的結合。在一般人看來，芒德勃羅的最主要奉獻是創(chuàng)造了一種新的幾何學。但是仔細研究他曲折的學術生涯會發(fā)現(xiàn)，他首先進入的并不是根底數(shù)理科學，而是“工程技術做廣義的理解。他在工程技術中或者用中國話來說，在消費理論中發(fā)現(xiàn)問題，總結出帶有規(guī)律性的東西，進而將它們上升為一般理論，最終創(chuàng)立“分形幾何學。這與當前物理學家、數(shù)學家改行的順序似乎正好相反，如今通常是由根底數(shù)理科學轉向經濟學、社會學和哲學等。直到最近人們對芒氏的理解還局限于確定論范式，90年代以后才有一些人注意到芒氏那里還有隨機論范式，并且在芒氏那里兩者本來是有機地結合在一起的。芒氏本人曾明確說過，假如將來寫關于分形方面的專著或者教科書

11、，倒是可以直接從隨機變量、隨機函數(shù)講起，而他之所以沒有這么做，主要是考慮：首次進入可以極大地吸引讀者的話題，應讓讀者立即產生幾何直覺。芒德勃羅從事的第一個科研理論實際上仍然理論氣十足是研究通訊中的噪聲和詞頻的分布，后來是河水的漲落以及經濟學中的收入分布規(guī)律。這幾項似乎一點不搭邊，但它們都指向一個不變的東西，這個線索如此重要，以致不理解它就無法理解芒德勃羅一生工作的統(tǒng)一性。這個線索溝通了自然科學中長期存在確實定論描繪體系與隨機論描繪體系，這個線索幫助人們理解宣言書?大自然的分形幾何學?中各個部分之間的內在聯(lián)絡。這個線索的潛在價值遠未開發(fā)完畢，它正在成為眾多新學科的生長點：如最近對分數(shù)布朗運動fb

12、的興趣，對萊維飛行l(wèi)evyflights的重新關注，對非高斯穩(wěn)定隨機過程的新認識等等。那么這個線索是什么呢？就是從他的教師萊維那里學來的“萊維穩(wěn)定分布levysstabledistributins。萊維是概率論少有的幾位著名的奠基人之一，雖然如今的學生幾乎不知道這個偉大人物了。當年在法國綜合工科學院，萊維教過芒德勃羅，芒氏師從萊維學習根本的數(shù)學分析。在概率論根底奠定之前，鐘型誤差分布定律就已廣為人知，這種分布具有各種想象得出的好性質，所以被冠以“正態(tài)分布，也稱高斯正態(tài)分布。言外之意，不滿足這些性質的分布都不是標準的也許多少有些“變態(tài)。特別是本世紀初對布朗運動的大量研究，更加深了人們對這種完美分

13、布的向往。數(shù)理科學中個別案例使用正態(tài)分布導致了空前成功，直接誘導人們將它推廣到一切物理現(xiàn)象，最終必然影響到社會科學界。在相當長時間里甚至到如今仍然如此，數(shù)理統(tǒng)計工作者言必稱正態(tài)分布，在相當程度上正態(tài)分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃羅發(fā)現(xiàn)這種流行觀念是錯誤的。4進出經濟學如今查到芒德勃羅一共發(fā)表18篇經濟學論文也許會有幾篇的出入，發(fā)表時間集中在1959年至1973年。綜觀芒氏的論文和專著，他只關心一個核心的經濟問題收入分布以及與之有關的價格問題。據他本人講，他對經濟學中的帕累托vilfredparet,18481923分布的研究從1957年在哥倫比亞大學和康奈爾大學的時期就開場了，然后在法

14、國里爾大學和綜合工科學校繼續(xù)了這項工作。1973年以后他義無返顧地分開了經濟學，專心開展“分形幾何學。與在其他學科一樣，經濟學界并沒有輕易承受他的非正統(tǒng)觀點，但芒德勃羅已經得到自己想得到的東西，他并不在乎經濟學界當時能否成認他。芒德勃羅的經濟學研究在經濟學團體內引起過兩次宏大風波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因為芒氏的觀點攻擊了當時占支配地位的計量經濟學和資產定價理論，第二次是因為芒氏在非線性動力學運動中出盡風頭，經濟學家受“混沌的影響，間接評論了芒氏的早期研究工作。兩次反響的主流都是疑心芒氏的理論和方法，即使有一些人受芒氏論文的鼓勵，轉而注意自己未曾考慮的方面，也不相信芒

15、氏的理論。簡單說來，穩(wěn)定分布的含義是，多個獨立同分布隨機變量序列經過適當?shù)木€性總和后，其分布仍然保持不變。穩(wěn)定分布是無窮可分的，對應于穩(wěn)定分布的隨機過程是穩(wěn)定過程。穩(wěn)定分布是比正態(tài)分布更廣泛的一類分布，其中包含了正態(tài)分布。標準正態(tài)分布與正態(tài)分布都是穩(wěn)定分布，柯西分布也是一種穩(wěn)定分布，除此之外還有沒有別的重要的穩(wěn)定分布呢？這正是芒德勃羅急于考慮的。芒德勃羅的經濟模型中具有尺度變換下的“不變性，他認為這非常關鍵，僅僅憑這一點就值得認真研究。他認為負冪律分布是除了高斯正態(tài)穩(wěn)定分布外最簡單、最值得考慮的一種穩(wěn)定分布。它就像玻意耳byle的氣體模型一樣，可能與實際有些差異，但它是一種重要類型，一種簡單的

16、理想情況，只有研究清楚了這種理想情況，才能推而廣之從而考慮更復雜的情形。正如我們不能說理想氣體idealgas模型沒有價值，也不能說帕累托萊維分布過于理想化而沒有實用價值一樣。從這種意義上看，經濟學界對他的反駁其實均不構成威脅。芒德勃羅是從邏輯分類的角度、從數(shù)學可能性的角度考慮問題的，其模型撇開經歷事實仍然具有理論價值。實際上1963年洛侖茲edardlrenz,1917的?確定性非周期流?一文在非線性科學史上具有重要地位也具有此性質，洛侖茲方程只是大氣運動的一種極度的理論抽象和簡化，它甚至可以與實際的大氣運動無關，但仍然具有重要理論意義和間接的實際意義。也正因為如此，芒德勃羅與洛侖茲的理想模

17、型的應用也就不限于什么經濟學或者氣象學，而具有普遍性，可以擴展到相當多的學科。芒德勃羅實際上也是這樣做的，他不久后就將萊維穩(wěn)定過程用于湍流研究，特別強調了“萊維飛行，如今看來他確實是先行者，歷史將公正地記錄下他的先驅性工作。以棉花價格波動為例來講，芒德勃羅的理論的特點在于，它不是考慮在某一個特定層次產生價格變動的規(guī)律，而是跨越層次，尋求尺度變換下的不變性。棉花價格是一種理想的數(shù)據源，經濟學家對其變動的傳統(tǒng)看法是，短期變化與長期變化沒有關聯(lián)，由快漲落導致的瞬間價格變化是隨機的，而長期的價格波動是由于顯然的宏觀經濟形勢和戰(zhàn)爭之類重要事件決定的。因此傳統(tǒng)經濟學處理此問題的方法是，在確定性的過程中加上

18、隨機的噪聲。芒德勃羅卻把不同層次統(tǒng)一起來，發(fā)現(xiàn)日變化曲線與月變化曲線的一致性。對于股票價格，他也作了類似的分析。這未必是最好的理論方法，但至少是一種可能的理論方法，而以前人們確實無視了它。但經濟學界由于長期習慣于自己那一套思路，對芒氏的做法自然有反感，攻擊他的最好方法就是指出其曲線擬合不理想。在研究股票價格變化中，芒氏極為反對“價格連續(xù)變化的模型，認為這種照搬牛頓力學于經濟學不濟于事。在經濟系統(tǒng)中，小的連續(xù)變化可以引起突然的不連續(xù)變化。基于這種考慮他否認了濾波預測方案和各種人為湊出高斯分布的方法。在經濟學研究中他提出了標度原理。設xt為價格，lgxt是獨立增量過程，即lgxtdlgxt具有獨立

19、于d的分布，其中只需引入一個標度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意義的結果，但首先要面對的是這種模型的奇怪性質實際上這竟是他所期望的。芒氏大膽地假設lgxtdtgxt“無窮方差！他第一次用符號v表示方差。以前人們想當然地假設方差是有限量，發(fā)散的情況根本不予考慮，也不應該考慮。用芒氏語言講，人們似乎患了“無窮方差綜合癥。具有反叛色彩的芒氏假定v自有他的考慮：“不用說，假定的成功后果是，“我就很容易使曲線具有無窮長度、曲面具有無窮面積。于是后來提到的“英國海岸線長度、皮亞諾曲線填充、柯赫雪花曲線長度等問題都有了理論根底，當然其他思想淵源也曾幫助他得到了那些結果。但作者認為，海岸線問題是后來的事。

20、那時他已經有了根本結論，他不斷翻閱數(shù)學“故紙堆，也不斷發(fā)現(xiàn)一些闡述得更佳的闡述，但這些新發(fā)現(xiàn)的材料當初對于他形成根本的分形思想并未產生影響。在撰寫專著時，他當然要重新規(guī)劃，以一種更直接、更通俗、更符合邏輯順序發(fā)現(xiàn)過程并不符合通常的邏輯的方式表達出來，甚至更多的是考慮讀者的反響。到了80年代經濟學界受非線性動力學的影響不得不對芒氏的早期研究作出評介，在此之前克拉克p.lark的博士論文以及后來的自回歸條件異方差arh、廣義自回歸條件異方差garh模型回避了芒德勃羅創(chuàng)始的道路，仍然假設噪聲服從于一種根本的高斯分布，但有一個變化的二階矩。他們的文章引用了芒氏的假設，但設法防止那類假設。但這種處理方法

21、仍然沒有逃出分數(shù)階自回歸滑動平均aria的套路。到后來，許多經濟學家更多地采用gp關聯(lián)積分算法求時間序列的分維數(shù)，用bds統(tǒng)計brkdehertsheinkan三人在關聯(lián)積分的根底上創(chuàng)造的檢查經濟系統(tǒng)中是否存在非線性構造。但是正如米諾夫基指出的，經濟學界的這些人物并沒有認真吸收芒德勃羅的思想，而是應付、回避矛盾，他們既排擠萊維穩(wěn)定分布也排擠混沌。芒德勃羅早已摒棄了“不是決定論就是隨機論的兩極化選擇，他認為經濟現(xiàn)象比擬復雜，應當用更精致的隨機過程或者混沌動力學描繪，應當放棄牛頓經典力學的套路：由原子運動推出一切。本質上在經濟學問題上芒德勃羅采用的是一種類似統(tǒng)計物理熱力學的現(xiàn)象學的方法，這一性質還

22、未被經濟學界深化理解。當芒德勃羅分開經濟學時，他得到了什么？他似乎快樂地帶走了價格變動的自相似觀點、標度律的觀點，以及一種似乎無人注意但有著各種潛在應用價值的“萊維穩(wěn)定分布。5布朗運動萊維飛行陣發(fā)湍流1905年愛因斯坦用分子運動論闡述清楚布朗運動。實際上龐加萊的一個學生巴歇列l(wèi).bahelier,18701946，早在1900年就已經開展了一種布朗運動理論，只因為他的論文是關于股票市場漲落問題的，未引起物理學家的注意。巴歇利導出了隨機過程的擴散方程，指出概率可以像熱一樣擴散。由于巴歇利的論文不為數(shù)理學界所知，它對后來布朗運動的物理學沒有產生直接影響。愛因斯坦預測，布朗粒子隨機行走randalk

23、均方位移e-ansquareddisplaeent隨時間線性增長，乘以一個與阿佛加得羅常數(shù)有關的因子：附圖用如今的符號表示那么有x2t2dt。1908年這一結果立即被佩蘭用來測定阿佛加德羅常數(shù)，進而為“原子的存在性提供了重要證據。佩蘭1926年榮獲諾貝爾物理學獎。從那時起，布朗運動成為重要的研究對象。但是問題并沒有徹底解決，或者說研究才剛剛開場。從數(shù)學上看，布朗運動涉及許多艱深的內容。對于離分布朗軌跡，可以在固定步長的格子上研究簡單的隨機行走，但對于連續(xù)情形卻遇到了嚴重的困難；布朗粒子運動途徑處處不可微，粒子的速度無法定義。這時已有了勒貝格的測度理論，而又恰好出現(xiàn)了一個偉大的人物維納，維納抓住

24、這個時機大約于1921年，利用測度理論，開展了一整套漂亮的隨機過程理論，后來稱之為維納過程或者布朗運動。芒德勃羅早就把布朗運動視為分形的一個典型，并將布朗運動軌跡視為二維分形。芒氏1968年的文章通過引入“記憶推廣了布朗運動，對于關系2tt2h，h的取值范圍一般限制在1，12之間，當h12時，正好對應于布朗運動。這一推廣意味著隨機行走的均方位移隨t2h而增加。當h較小時擴散較慢，當h較大時擴散較快。在湍流中h可以取非常大的值。假如隨機行走發(fā)生在分形體上如逾滲格子，那么運動行為不同于一般的布朗運動，運動由于空間背景的不同可以時快時慢，表現(xiàn)出不均勻跳躍。h的取值可以分成兩類。當h小于12，均方根位

25、移慢于線性增長，當h大于12時，均方根位移快于線性增長。其中后者非常有趣，涉及著名的“萊維飛行。布朗運動的根本思想是隨機行走，所使用的根本數(shù)學是高斯正態(tài)分布，隨機行走者t時間后的位置分布是高斯型的，方差正比于時間。對于一維的n步隨機行走，每一步的步長x是一隨機變量，其概率分布為px，具有0均值。法國數(shù)學家萊維提出這樣的問題：什么時候n步的總和的分布仍然具有與單步相似的乘以一個標度因子分布？這等于問，整體與部分何時有相似性，因此很自然與分形有關。對此問題通常的想當然的答復是高斯過程，因為n步高斯分布加起來仍然是高斯分布。但是萊維一般地證明了，此問題還有其他解。廣義的萊維穩(wěn)定過程sd,1sd,2s

26、d，s,1x,1s,2x,2sx常數(shù)，僅對三種極特殊的情況，可以解析地求出穩(wěn)定概率分布。除了在高斯情形中，隨機行走飛行沒有特征尺度。正是這一性質決定此類隨機行走是標度不變的分形。這種隨機行走好的性質在于自相似；壞的性質在于具有無窮矩infiniteents，于是均方位移發(fā)散。矩發(fā)散長期以來被認為是一個致命缺點，物理學家不愿意看到發(fā)散性。只是由于芒德勃羅的大力鼓吹，萊維的思想才一點一點被物理學界所理解，90年代中期“萊維飛行成了時髦的研究課題。在早些時候，在鼓吹、傳播萊維不變分布方面，芒德勃羅當然是唯一的代表人物，這一點應特別提及。萊維飛行的軌線是典型的分形，雖然不是處處不可微。但跳躍的步長可以

27、變化。經過一番處理，均方位移的發(fā)散性可以回避掉。特別地，一個隨機變量x具有無窮方差，并不能否認x以概率1取有限值。例如柯西密度11x2變量幾乎總是有限的，但它具有無窮方差和無窮期望。萊維飛行的宏觀軌跡是一系列折線或者孤立的康托爾塵埃點集。一般情況下不考慮粒子在兩個端點之間飛行的中間過程，假如考慮兩次跳躍之間具有某種速度，這種過程又叫作萊維行走lvyalk。人們可以問在不同的飛行片段中，在時間t粒子的飛行速度是多少，這一定是某個與時間有關的有限值。但是平均飛躍狀況是發(fā)散的。從1977年的?分形?一書可以看出，芒德勃羅已經自如地將“萊維飛行運用于各種場合，包括布朗運動、分形集團和星際物質分布，并且

28、給出占7頁篇幅的圖形說明。遺憾的是，科學界直到90年代才認識到這部分工作的重要性。1963年秋季他在哈佛大學聽了斯圖爾特r.steart的一次講座，理解到流體力學研究中討論陣發(fā)間歇interitteny現(xiàn)象，同時知道了蘇聯(lián)學派關于湍流研究的一些最新結果，如柯爾莫哥洛夫1941年與19611962年兩個階段的創(chuàng)造性工作。芒德勃羅立即有一種沖動，試圖轉向湍流研究。他覺得這些觀念對于自己并不算新穎事，大約10年前自己在研究通訊噪聲時，就碰到過類似的現(xiàn)象。他認為湍流中的許多問題與分形有關當時還沒有“分形這個概念。他迫不急待地想把自己在其他領域做的工作“翻譯成流體力學的語言。1967年他才發(fā)表關于湍流的

29、文章?偶發(fā)湍流?spraditurbulene，1968年發(fā)表?論陣發(fā)自由湍流?ninterittentfreeturbulene，1972年發(fā)表?有關陣發(fā)湍流能量耗散的對數(shù)正那么假設的可能細化?，1974年發(fā)表?自相似級聯(lián)陣發(fā)湍流、高階矩的發(fā)散性與載體的維數(shù)?，1975年發(fā)表?論各向同性湍流?，1976年發(fā)表?陣發(fā)湍流與分維?，1977年發(fā)表?分形與湍流：吸引子與彌散?等。芒德勃羅對湍流的研究不是從根本方程入手進展嚴格數(shù)學分析，而是從宏觀上、從幾何角度觀察，先獲得幾何直覺，構造核心概念，再一層一層作定性分析。這一思路是“將自相似技術應用于湍流的幾何學。芒氏明顯地受柯爾莫哥洛夫1941年文章風

30、格的影響，作出“湍流運動的奇異性本質上是分形的重要猜測。他說：“納維葉斯托克斯方程的解假如存在，就是事實上的極限分形。法國尼斯天文臺的弗里茨urielfrish教授1995年在專著?湍流：柯爾莫哥洛夫的遺產?中高度評價了芒德勃羅關于陣發(fā)湍流的思想，實際上弗氏是較早就認識到芒氏思想重要性的少數(shù)人之一。6個性與成功之路芒德勃羅始終生活、工作在逆境中，在70年代中期以前，世界上沒有幾個人知道他，更談不上真正理解他了。他幾乎是打一槍換一個地方，在不同學科中竄來竄去，哪一個學科似乎也沒有特別注意他。維納在?人有人的用處?中兩次提到他算是個例外，維納那時搞的“控制論也是新穎事物，理解的人也不多。芒德勃羅發(fā)

31、表了許多論文，但他回憶說，當初發(fā)表每一篇都非常困難。他不斷投稿，審稿人對文章的批評毫不留情面那時他沒有名氣，稿件被一次次退回。關于星系構造的論文始終難以發(fā)表，“我關于星系的工作在別人知道它之前是不可承受的，而在它成為可承受的之前，人們又不知道它。發(fā)表出來的也做了一些修改，特別是編輯命令他刪除“可疑的哲學部分。在寫作風格上，芒氏后來坦率地成認，他不得不裝成某個領域的內行的樣子，在論文中成心加進一大堆數(shù)學公式和推演細節(jié)。雖然也不是特別成功，因為他始終帶有極強的“異國口音，“但是這種方法對于把我的論文發(fā)表在一些好的學術雜志是必要的和充分的。芒德勃羅把科學界對他的學說的態(tài)度分成四個階段。在第一階段，人

32、們總是問：你是誰？你為什么對我們的領域感興趣？第二階段那么是，這與我們所做的有什么聯(lián)絡？你為什么不用我們所知道的知識來作解釋呢？第三個階段是：你能保證這是標準的數(shù)學嗎？我們怎么不知道？第四階段是：這些領域的數(shù)學家怎樣評價你的工作？芒氏對后兩個問題的答復是：“我能保證這是標準的數(shù)學，只是人們很少知道。他們無所謂，因為我的工作并沒有增加什么數(shù)學。1964年他參加了在耶路撒冷舉行的“邏輯學與科學哲學大會，在會上作了“嘗試性的分形宣言tentativefratalanifest的報告，可惜沒有正式發(fā)表出來。到了70年代初芒德勃羅手邊已經積累了不少未發(fā)表的和退回的稿子，據說已經堆成了堆90年代時他不斷地

33、抽出一些略加修改就發(fā)表了。芒德勃羅一直在考慮著，當今學科分化嚴重，學科壁壘森嚴，像他這樣東一榔頭西一掃帚，在不同學科進進出出的，很難站穩(wěn)腳根，別人不會成認自己。假如要生存下去，就不能與正統(tǒng)對著干。短期策略是，要獲得別人的信任，盡量隱藏自己的真正意圖，爭取多發(fā)表一些論文，審稿人和編輯希望怎樣修改，自己就怎樣修改。而長期戰(zhàn)略是，要學會自我推銷，最終建立自己是“教皇ppe的一塊陣地：即創(chuàng)立一個屬于自己的新學科。1973年芒德勃羅終于找到了一個絕好的時機。這一年他到巴黎去休假，此時他叔叔佐列姆已經退休，正好可以邀請他在法蘭西學院llegedefrane作一場重要的報告。這對于自己發(fā)表一篇一般性宣言以及

34、解釋清楚自己多種不同興趣的內在統(tǒng)一性，是一個黃金時機。他作了精心準備，在準備過程中他發(fā)現(xiàn)自己的整套工作比以前自己所知道的更完備、更協(xié)調了。講座在1973年1月進展，極其成功，一個朋友告訴他，這是他聽到過的最具自傳色彩的科學講演。看芒德勃羅的論文和專著，會注意到他大量引用前人的工作，他自己聲稱擅長在數(shù)學垃圾筒和故紙堆中找金子。但一些人并沒有因此而表揚他，反而說他經常引用一些名不見經傳、多半已經“平安地死去了的人物，為的是突出他自己，以使他自己成為學術領域的中心人物。有人甚至懷著嘲笑的語氣說，他只會從一個領域拿來一些東西，當成他自己的，然后販賣到另一個領域。有人一面吸收著芒德勃羅的思想，一面盡力防

35、止使用“分形與“分維這樣的詞匯，成心用“豪斯多夫貝塞克維奇維數(shù)等等。當然大多數(shù)科學家還是可以充分理解芒德勃羅的，他們考慮芒氏曾克制的重重困難，便原諒了他的強烈個性。畢竟科學就是科學，看的是科學內容而不是當事人的人品和個性。由于不喜歡一個人的個性而不喜歡他的實實在在的有價值的科學工作，是不明智的，到頭來也證明是個性偏執(zhí)的。對于芒德勃羅的風格，數(shù)學界還有一個反感。純數(shù)學家認為他只是到處宣布一些猜測，而不是下力氣去嚴格證明它們。發(fā)現(xiàn)周期倍分岔普適常數(shù)的費根鮑姆.feigenbau，1945也遇到過這種情況，有位數(shù)學家指責他是講數(shù)字呢還是講嚴格證明。這是數(shù)學家與物理學家之間的一個老矛盾了，不過如今由于計算機大量用于科學研究，此問題顯得更加突出。假如某人宣布某一事情也許為真，而另一位嚴格證明它為真，試問哪一位科學家的奉獻更大，誰的工作才算真正的科學發(fā)現(xiàn)？這個問題很復雜，不可一概