分叉理論和方法

1、分叉理論和方法對于含參數(shù)的系統(tǒng)，當參數(shù)變化并經(jīng)過某些臨界值時，系統(tǒng)的定性性態(tài)（如平衡態(tài)和或周期運動的數(shù)目和穩(wěn)定性等）會發(fā)生突然變化，這種變化稱為分叉。分叉是重要非線性現(xiàn)象，與其它非線性現(xiàn)象（如混沌、突變、分形、擬序結構等）緊密相關。主要研究：（a）相空間中軌線的集合；（b）控制參數(shù)空間中分叉集的性態(tài)。分叉包括兩類：（a）靜態(tài)分叉：討論平衡態(tài)數(shù)目和穩(wěn)定性的變化，常見有：極限點分叉（鞍結分叉）、叉形分叉、跨臨界分叉、滯后分叉、孤立點分叉等；（b）動態(tài)分叉：討論系統(tǒng)在相空間中軌線拓撲結構的變化，常見有：Hopf分叉、次諧和超諧分叉、概（準）周期分叉（不變環(huán)面分叉）、同異宿軌線分叉等。分叉問題起源于力

2、學失穩(wěn)現(xiàn)象的研究。18世紀中葉，D.Bernoulli和LEuler等人研究了桿件在縱向壓力下的屈曲問題。1834年CGJJacobi在研究自引力介質(zhì)的橢球形旋轉液體星的平衡圖形時,首次引進“分叉”術語。1885年，Poincare提出旋轉液體星平衡圖形演化過程的分叉理論。1883年，OReynods發(fā)現(xiàn)在臨界雷諾數(shù)時層流轉變?yōu)橥牧鞯默F(xiàn)象，從此開創(chuàng)了流動穩(wěn)定性的研究。本世紀20年代，vanderPol和安德羅諾夫等在非線性振動研究中即已發(fā)現(xiàn)大量分叉現(xiàn)象。本世紀70年代形成分叉的數(shù)學理論和方法。分叉揭示系統(tǒng)不同運動狀態(tài)之間的聯(lián)系和轉化，且與失穩(wěn)和混沌密切相關，是非線性動力學重要組成部分。主要應用

3、于：非線性振動、結構力學、流體力學、非線性波、飛行器動力學、機器人動力學、化學動力學、控制、非線性電學、非線性光學、生態(tài)學、經(jīng)濟學、交通動力學、轉子動力學等等。主要研究方法有：(1)奇異性方法奇異性研究可微映射的退化性和分類，首先將分叉問題化為較簡單的GS范式進行識別和分類，再通過“普適開折”得到一般擾動下可能出現(xiàn)的所有分叉性態(tài)，隨后討論分叉圖的保持性和轉遷集等?？梢蕴幚恚红o態(tài)分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。對于高維問題，理論上可借助LS約化方法降維，然后再應用奇異性方法。該方法思想及經(jīng)典作品參考：ArnoldVI.BifurcationandSingulariticsinMathema

4、ticsandMechanics.Proc.ofthe17thIUTAM,1988又見：ArnoldVI.數(shù)學和力學中的分叉和奇異性.力學進展，1989,19(2):59-66GolubitskyMandSchaefferDG.SingulariticsandGroupsinBifurcationTheory.Vol.1,Springer-Verlag,1985(2)Poincar-Birkhoff規(guī)范形方法如何求PB規(guī)范形方法：矩陣表示法、共軛算子法、李代數(shù)法、共振法等。對于高維系統(tǒng)需要應用計算機代數(shù)、定理機器證明等工具。如何確定規(guī)范形與原方程系數(shù)關系：直接比較法、計算機代數(shù)方法等(目前無其

5、它更好方法)。思想及經(jīng)典作品參考：(a)ArnoldVI.GeometricalMethodsintheTheoryofODE.Springer-Verlag,1983(b)WangD.AnintroductiontotheNormalFormtheoryofODE.AdvancesInMathematics,1990,30:38-71GuckernheimerJandHolmesP.NonlinearOscillators,DynamicalSystemsandBifurcationsofVectorFields.Springer-verlag,1983(3)冪級數(shù)法通過解的漸進展開，利用投

6、影關系和Fredholm擇一性進行分叉分析?？蓱糜冢红o態(tài)分叉、Hopf分叉、次諧分叉和概周期分叉領域。參考：(a)IoosGandJosephDD.ElementarystabilityandBifurcationTheory(2nded.).Springer-Verlag,1999(4)攝動法包括：平均法、多尺度法、KBM法、內(nèi)諧波平衡法等，應用于：周期或概周期領域。次諧Melnikov方法研究二維擾動Hamilton系統(tǒng)的m/n階次諧周期分叉。后繼函數(shù)法和Shilnikov法研究二維和高維系統(tǒng)的同宿分叉問題，此外還有隱函數(shù)定理、變分方法和拓撲度方法。見：(a)WigginsS.Globa

7、lBifurcationandChaos:AnalyticalMethods.Springer-Verlag,1988數(shù)值方法除攝動方法外，都屬于定性研究。數(shù)值方法和模擬方法進行定量研究，特別是在確定分叉點位置、追蹤分叉解等方面，數(shù)值方法是必要的。見：(a)KubicekMandMarkerM.ComputationalMethodsinBifurcationTheoryandDissipativeStructures.Springer-Verlag,1983關于最大LE求解的問題(b)蔡大用，白峰杉.現(xiàn)代科學計算.北京：科學出版社，2000(8)群論方法研究對稱分叉問題。金棟平教授，非線性動

8、力學課程講義重點關心問題，幾個基本概念：流形、相圖、軌跡、穩(wěn)定、不穩(wěn)定與分岔混沌、及LE討論等說明：1、流形、相圖、軌跡是否具有共同的概念呢？流形就是相圖？這3個概念一樣嗎？2、穩(wěn)定有好多種的定義，什么漸進穩(wěn)定，一致穩(wěn)定，全穩(wěn)定等等。這些概念，有沒個具體的形象的總結性呢？3、穩(wěn)定一分岔一不穩(wěn)定一混沌。這是一個系統(tǒng)隨著分岔參數(shù)變化的局部一般過程吧？首先從工程意義上講，分析了分岔之后有什么用？得到不穩(wěn)定的臨界點即是分岔點吧？研究了分岔之后再研究通過混沌的過程，有什么意義？為啥要做這個研究呢？那分岔之后的不穩(wěn)定和混沌之間有什么關系呢？是不是有些系統(tǒng)，在參數(shù)變化到某個值的時候，發(fā)生了分岔，然后可能有穩(wěn)

9、定周期解，也可能有不穩(wěn)定周期解，再者就是不穩(wěn)定了，但是就是沒有混沌發(fā)生呢？這個時候，是不是不穩(wěn)定不夠不穩(wěn)定”還沒達到混沌的程度呢？混沌意味著，系統(tǒng)的解是無規(guī)律發(fā)散，或者不動點是無規(guī)律發(fā)散。那么不穩(wěn)定呢？不穩(wěn)定和混沌之間到底是什么關系？如果是從最大lyapunov指數(shù)上看，大于0的，則為不穩(wěn)定，還是混沌出現(xiàn)呢？(我發(fā)現(xiàn)論壇里有講，最大LE大于0就發(fā)生混沌)。那這個時候，混沌應該怎么判斷呢？怎么綜合相圖，龐加萊圖和最大LE圖判斷呢？參閱了論壇的帖子。有幾個疑問。首先想知道的是，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的LE求解方法是否一樣？從定義上講，一個有限維的，雅克比矩陣可以求出來的，甚至發(fā)現(xiàn)這個雅克比矩陣是個只關于