高中數學必修二 6.3.1 平面向量基本定理 教學設計新

1、【新教材】6.3.1 平面向量基本定理教學設計（人教A版）本節(jié)內容是學生在學習平面向量實際背景及基本概念、平面向量的線性運算（向量的加法、減法、數乘向量、共線向量定理）之后的又一重點內容，它是引入向量坐標表示，將向量的幾何運算轉化為代數運算的基礎，使向量的工具性得到初步的體現，具有承前啟后的作用。課程目標1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；3、能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達. 數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：平面向量基底定理理解；2.邏輯推理：用基底表示向量；3.數學建模：利用

2、數形結合的思想運用相等向量，比例等知識來進行轉換.重點：平面向量基本定理；難點：平面向量基本定理的理解與應用.教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。情景導入已知平面內一向量a是該平面內兩個不共線向量b，c的和，怎樣表達？問題：如果向量b與共線、c與共線，上面的表達式發(fā)生什么變化？根據作圖進行提問、引導、歸納，板書表達式：a=1e1+2e2要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本25-27頁，思考并完成以下問題1、平面向量基本定理的內容是什么？2、如何定義平面向量的基底？要求：學生獨立完成，以小

3、組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a ，有且只有一對實數1，2使a=1e1+2e2.注意：(1) 我們把不共線向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量a在給出基底、的條件下進行分解；(4) 基底給定時，分解形式惟一. 1，2是被a ，、唯一確定的數量.四、典例分析、舉一反三題型一 正確理解向量基底的概念例1例1設O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，給出下列向量組：eq o(AD,sup16()與eq o(AB,sup16()；

4、eq o(DA,sup16()與eq o(BC,sup16()；eq o(CA,sup16()與eq o(DC,sup16()；eq o(OD,sup16()與eq o(OB,sup16()，其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是()A BC D【答案】B【解析】eq o(AD,sup16()與eq o(AB,sup16()不共線；eq o(DA,sup16()eq o(BC,sup16()，則eq o(DA,sup16()與eq o(BC,sup16()共線；eq o(CA,sup16()與eq o(DC,sup16()不共線；eq o(OD,sup16()eq o(OB,sup16

5、()，則eq o(OD,sup16()與eq o(OB,sup16()共線由平面向量基底的概念知，只有不共線的兩個向量才能構成一組基底，故滿足題意解題技巧（基底向量滿足什么條件）考查兩個向量能否作為基底，主要看兩向量是否為非零向量且不共線此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面內任意一個向量都可以由這組基底唯一表示注意零向量不能作基底跟蹤訓練一1、設e1，e2是平面內一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()Ae1e2和e1e2 B3e12e2和4e26e1Ce12e2和e22e1 De2和e2e1【答案】B.【解析】4e26e12(3e12e2)，兩個向量共線，不能作為基底題型二 用基底

6、表示向量例2如圖，在平行四邊形ABCD中，設對角線eq o(AC,sup15()a，eq o(BD,sup15()b，試用基底a，b表示eq o(AB,sup15()，eq o(BC,sup15().【答案】eq o(AB,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b，eq o(BC,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b.【解析】 由題意知，eq o(AO,sup15()eq o(OC,sup15()eq f(1,2)eq o(AC,sup15()eq f(1,2)a，eq o(BO,sup15()eq o(OD,sup15()eq f(1,2)eq o(BD,su

7、p15()eq f(1,2)b.所以eq o(AB,sup15()eq o(AO,sup15()eq o(OB,sup15()eq o(AO,sup15()eq o(BO,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b，eq o(BC,sup15()eq o(BO,sup15()eq o(OC,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b.解題技巧： (用基底表示向量的方法)將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，一般是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化，直至用基底表示為止跟蹤訓練二如圖所示，梯形ABCD中，ABCD，M，N分別是DA，BC的中點，且eq f(DC,

8、AB)k，設eq o(AD,sup15()e1，eq o(AB,sup15()e2，以e1，e2為基底表示向量eq o(DC,sup15()，eq o(BC,sup15()，eq o(MN,sup15().【答案】eq o(DC,sup15()ke2.eq o(BC,sup15()e1(k1)e2.eq o(MN,sup15()eq f(k1,2)e2.【解析】法一：eq o(AB,sup15()e2，eq f(DC,AB)k，eq o(DC,sup15()keq o(AB,sup15()ke2.eq o(AB,sup15()eq o(BC,sup15()eq o(CD,sup15()eq o

9、(DA,sup15()0，eq o(BC,sup15()eq o(AB,sup15()eq o(CD,sup15()eq o(DA,sup15()eq o(AB,sup15()eq o(DC,sup15()eq o(AD,sup15()e1(k1)e2.又eq o(MN,sup15()eq o(NB,sup15()eq o(BA,sup15()eq o(AM,sup15()0，且eq o(NB,sup15()eq f(1,2)eq o(BC,sup15()，eq o(AM,sup15()eq f(1,2)eq o(AD,sup15()，eq o(MN,sup15()eq o(AM,sup15(

10、)eq o(BA,sup15()eq o(NB,sup15()eq f(1,2)eq o(AD,sup15()eq o(AB,sup15()eq f(1,2)eq o(BC,sup15()eq f(k1,2)e2.法二：同法一得eq o(DC,sup15()ke2，eq o(BC,sup15()e1(k1)e2.連接MB，MC，由eq o(MN,sup15()eq f(1,2)(eq o(MB,sup15()eq o(MC,sup15()得eq o(MN,sup15()eq f(1,2)(eq o(MA,sup15()eq o(AB,sup15()eq o(MD,sup15()eq o(DC,

11、sup15()eq f(1,2)(eq o(AB,sup15()eq o(DC,sup15()eq f(k1,2)e2.題型三 平面向量基本定理的應用例3如圖，在ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點P，求APPM與BPPN的值【答案】APPM4，BPPNeq f(3,2).【解析】 設eq o(BM,sup15()e1，eq o(CN,sup15()e2，則eq o(AM,sup15()eq o(AC,sup15()eq o(CM,sup15()3e2e1，eq o(BN,sup15()eq o(BC,sup15()eq o(CN,sup15()2e1e2

12、.A，P，M和B，P，N分別共線，存在實數，使得eq o(AP,sup15()eq o(AM,sup15()e13e2，eq o(BP,sup15()eq o(BN,sup15()2e1e2.故eq o(BA,sup15()eq o(BP,sup15()eq o(PA,sup15()eq o(BP,sup15()eq o(AP,sup15()(2)e1(3)e2.而eq o(BA,sup15()eq o(BC,sup15()eq o(CA,sup15()2e13e2，由平面向量基本定理，得eq blcrc (avs4alco1(22，,33，)解得eq blcrc (avs4alco1(f(4

13、,5)，,f(3,5).)eq o(AP,sup15()eq f(4,5)eq o(AM,sup15()，eq o(BP,sup15()eq f(3,5)eq o(BN,sup15()，APPM4，BPPNeq f(3,2).解題技巧（平面向量基本定理應用時注意事項）若直接利用基底表示向量比較困難，可設出目標向量并建立其與基底之間滿足的二元關系式，然后利用已知條件及相關結論，從不同方向和角度表示出目標向量( 一般需建立兩個不同的向量表達式)，再根據待定系數法確定系數，建立方程或方程組，解方程或方程組即得跟蹤訓練三1在ABC中，eq o(AD,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,su

14、p16()，eq o(AE,sup16()eq f(1,4)eq o(AC,sup16()，BE與CD交于點P，且eq o(AB,sup16()a，eq o(AC,sup16()b，用a，b表示eq o(AP,sup16().【答案】eq o(AP,sup16()eq f(3,11) aeq f(2,11)b【解析】如圖，取AE的三等分點M，使AMeq f(1,3)AE，連接DM，則DM/BE.設AMt(t0)，則ME2t.又AEeq f(1,4)AC，AC12t，EC9t，在DMC中，eq f(CE,CM)eq f(CP,CD)eq f(9,11)，CPeq f(9,11)CD，DPeq f

15、(2,11)CD，eq o(AP,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(DP,sup16()eq o(AD,sup16()eq f(2,11)eq o(DC,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()eq f(2,11)(eq o(DA,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()eq f(2,11)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)o(AB,sup16()o(AC,sup16()eq f(3,11)eq o(AB,sup16()eq f(2,11)eq o(AC,sup16()eq f(3,11) aeq f(2,11)b五、課堂小結讓