高中數(shù)學(xué)必修二 6.2.4 向量的數(shù)量積的運算（含答案）

1、6.2.4平面向量的數(shù)量積2課時 向量數(shù)量積的運算律導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解數(shù)量積的運算律2.會用向量數(shù)量積的公式解決相關(guān)問題【自主學(xué)習(xí)】知識點1 向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量(1)aeea|a|cosa，b；(2)abab0且ab0ab；(3)aa|a|2或|a|eq r(a2)；(4)cosa，beq f(ab,|a|b|)；(5)|ab|a|b|.知識點2 向量數(shù)量積的運算律(1)abba(交換律)；(2)(a)b(ab)a(b)(結(jié)合律)；(3)(ab)cacbc(分配律)【合作探究】探究一 向量的數(shù)量積的

2、運算律【例1】已知|a|2，|b|3，a與b的夾角為120，試求：(1)ab；(2)(ab)(ab)；(3)(2ab)(a3b)分析根據(jù)數(shù)量積、模、夾角的定義以及數(shù)量積的運算，逐一進行計算即可解(1)ab|a|b|cos12023(eq f(1,2)3.(2)(ab)(ab)a2ababb2a2b2|a|2|b|2495.(3)(2ab)(a3b)2a26abab3b22|a|25ab3|b|224533934.歸納總結(jié)：求向量的數(shù)量積時，需明確兩個關(guān)鍵點：相關(guān)向量的模和夾角.若相關(guān)向量是兩個或兩個以上向量的線性運算，則需先利用向量數(shù)量積的運算律及多項式乘法的相關(guān)公式進行化簡.【練習(xí)1】已知向

3、量a與b的夾角為eq f(3,4)，且|a|eq r(2)，|b|2，則a(2ab)等于 .答案：2解析：a(2ab)2a2ab422.探究二 向量的?！纠?】已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|1，則|a3b|_.答案eq r(10)分析利用模的公式和數(shù)量積的運算律進行求解解析因為ab0，|a|1，|b|1，所以|a3b|eq r(a3b2)eq r(a26ab9b2)eq r(12912)eq r(10).歸納總結(jié)：1要求幾個向量線性運算后的模，可先求其平方，利用數(shù)量積的計算易解.2已知兩個向量線性運算后的模求某個向量的模，可把條件平方后化為所求目標(biāo)的方程求解.【練習(xí)2】已知單位向量

4、e1，e2的夾角為，且coseq f(1,3)，若向量a3e12e2，則|a| .答案：3解析：因為a2(3e12e2)29232cos49，所以|a|3.探究三 向量的夾角【例3】已知非零向量a，b滿足|b|4|a|，且a(2ab)，則a與b的夾角為()A.eq f(,3)B.eq f(,2)C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)答案C分析利用向量垂直的判定和數(shù)量積公式進行求解解析設(shè)a，b夾角為，由題意，得a(2ab)2a2ab0，即ab2a2，所以coseq f(ab,|a|b|)eq f(2a2,4|a|2)eq f(1,2)，所以eq f(2,3).歸納總結(jié)：求兩向量a，b的夾

5、角，通常借助于公式計算【練習(xí)3】設(shè)兩個向量e1、e2滿足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夾角為60，若向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍答案：(7，eq f(r(14),2)(eq f(r(14),2)，eq f(1,2)解：由向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，得coseq f(2te17e2e1te2,|2te17e2|e1te2|)0，(2te17e2)(e1te2)0，化簡得2t215t70，解得7teq f(1,2).當(dāng)夾角為時，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此時夾角不是鈍角設(shè)2te17e2(e1te2)，0，則eq blcrc (

6、avs4alco1(2t，,7t，,0，)eq blcrc (avs4alco1(r(14),tf(r(14),2).所求實數(shù)t的取值范圍是(7，eq f(r(14),2)(eq f(r(14),2)，eq f(1,2)探究四 向量垂直的判定【例4】已知|a|5，|b|4，且a與b的夾角為60，則當(dāng)k為何值時，向量kab與a2b垂直？答案：keq f(14,15)分析利用向量垂直的性質(zhì)，由(kab)(a2b)0可求出解(kab)(a2b)，(kab)(a2b)0，ka2(2k1)ab2b20，k52(2k1)54cos602420，keq f(14,15)，即k為eq f(14,15)時，向量

7、kab與向量a2b垂直歸納總結(jié)：解決向量垂直問題常用向量數(shù)量積的性質(zhì)ab,ab0.這是一個重要性質(zhì)，對于解平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效，應(yīng)熟練掌握.【練習(xí)4】P是ABC所在平面上一點，若eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()，則P是ABC的()A外心B內(nèi)心C重心D垂心答案：D解析：由eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()得eq o(PB,sup6()(eq o(PA,sup6()eq o

8、(PC,sup6()0，即eq o(PB,sup6()eq o(CA,sup6()0，PBCA.同理PABC，PCAB，P為ABC的垂心探究五 向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例5】在ABC中，eq o(AB,sup6()c，eq o(BC,sup6()a，eq o(CA,sup6()b，且abbcca，試判斷ABC的形狀答案：等邊三角形分析易知abc0，分別將a、b、c移至等號右邊，得到三個等式，分別平方后選取兩個等式相減，即可得到a、b、c中兩個向量的長度之間的關(guān)系解在ABC中，易知eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()0，即abc0，因此acb，abc

9、，從而eq blcrc (avs4alco1(ab2c2，,ac2b2，)兩式相減可得b22abc22acc2b2，則2b22(abac)2c2，因為abcaac，所以2b22c2，即|b|c|.同理可得|a|b|，故|eq o(AB,sup6()|eq o(BC,sup6()|eq o(CA,sup6()|，即ABC是等邊三角形歸納總結(jié)：依據(jù)向量數(shù)量積的有關(guān)知識判斷平面圖形的形狀，關(guān)鍵是由已知條件建立數(shù)量積、向量的長度、向量的夾角等之間關(guān)系，移項、兩邊平方是常用手段，這樣可以出現(xiàn)數(shù)量積及向量的長度等信息，為說明邊相等、邊垂直指明方向.【練習(xí)4】若O是ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|eq o(O

10、B,sup6()eq o(OC,sup6()|eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()2eq o(OA,sup6()|，則ABC的形狀為()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形 D等邊三角形答案：B解析：eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()2eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o

11、(AC,sup6()，于是|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，所以|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2，即eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，從而ABAC，故ABC為直角三角形.課后作業(yè)A組 基礎(chǔ)題一、選擇題1下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A1 B2 C3 D4答案C解析正確，錯誤，錯誤，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2c

12、os2 a2b2，選C.2設(shè)向量a，b滿足|ab|eq r(10)，|ab|eq r(6)，則ab等于()A1 B2 C3 D5答案A解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，將上面兩式左右兩邊分別相減，得4ab4，ab1.3已知|a|1，|b|eq r(2)，且ab與a垂直，則a與b的夾角是()A60 B30C135 D45答案C解析(ab)aa2ab0，aba21，cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(1,1r(2)eq f(r(2),2).a，b135.4若|a|1，|b|2，cab，且ca，則向量a與b的夾角為()A30 B60C12

13、0 D150答案C解析設(shè)向量a與b的夾角為，ca，ca0.又cab，(ab)a0，即a2ba0|a|2|a|b|cos 0.又|a|1，|b|2，cos eq f(1,2).故120.5已知向量a，b的夾角為120，|a|1，|b|5，則|3ab|等于()A7 B6C5 D4答案A解析|3ab|eq r(3ab2)eq r(9|a|2|b|26ab) eq r(92565blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq r(49)7.故選A.6在邊長為1的等邊ABC中，設(shè)eq o(BC,sup6()a，eq o(CA,sup6()b，eq o(AB,sup6()c，則abbcca等于()A

14、eq f(3,2) B0C.eq f(3,2) D3答案A解析abeq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()|eq o(CB,sup6()|eq o(CA,sup6()|cos 60eq f(1,2).同理bceq f(1,2)，caeq f(1,2)，abbccaeq f(3,2).7在四邊形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，且eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()0，則四邊形ABCD是()A矩形 B菱形C直角梯形 D等腰梯形答案B解析eq o(AB,sup6()eq

15、o(DC,sup6()即一組對邊平行且相等，eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()0即對角線互相垂直，四邊形ABCD為菱形8設(shè)為兩個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數(shù)t，|bta|的最小值為1.()A若確定，則|a|唯一確定B若確定，則|b|唯一確定C若|a|確定，則唯一確定D若|b|確定，則唯一確定答案B解析|bta|2b22abtt2a2|a|2t22|a|b|cos t|b|2.因為|bta|min1，所以eq f(4|a|2|b|24|a|2|b|2cos2,4|a|2)|b|2(1cos2)1.所以|b|2sin21，所以|b|sin 1，即|b|eq f(1,s

16、in ).即確定，|b|唯一確定二、填空題9已知a，b，c為單位向量，且滿足3ab7c0，a與b的夾角為eq f(,3)，則實數(shù)_.答案8或5解析由3a HYPERLINK b7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c為單位向量，則a2b2c21，則49926coseq f(,3)，即23400，解得8或510已知|a|3，|b|4，求|ab|的取值范圍_答案1,7解析方法一|a|b|ab|a|b|，1|ab|7，即|ab|的取值范圍是1,7方法二設(shè)為兩向量a，b的夾角，則0，|ab|2a2b22aba2b22|a|b|cos 2524cos ，|ab|21,49，

17、|ab|1,711在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60，E為CD的中點若eq o(AC,sup6()eq o(BE,sup6()1，則AB的長為_答案eq f(1,2)解析在平行四邊形ABCD中，取AB的中點F，則eq o(BE,sup6()eq o(FD,sup6()，eq o(BE,sup6()eq o(FD,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，又eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()eq o(BE,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(AB,

18、sup6()(eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()2eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()2|eq o(AD,sup6()|2eq f(1,2)|eq o(AD,sup6()|eq o(AB,sup6()|cos 60eq f(1,2)|eq o(AB,sup6()|21eq f(1,2)eq f(1,2)|eq o(AB,sup6()|eq f(1,2)|eq o(AB,sup6()|21.

19、eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)|o(AB,sup6()|)|eq o(AB,sup6()|0，又|eq o(AB,sup6()|0，|eq o(AB,sup6()|eq f(1,2).三、解答題12已知非零向量a，b，滿足|a|1，(ab)(ab)eq f(1,2)，且abeq f(1,2).(1)求向量a，b的夾角；(2)求|ab|.解(1)(ab)(ab)eq f(1,2)，a2b2eq f(1,2)，即|a|2|b|2eq f(1,2)；又|a|1，|b|eq f(r(2),2).abeq f(1,2)，|a|b|cos eq f(1,2)，cos eq f(r(

20、2),2)，向量a，b的夾角為45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos |b|2eq f(1,2)，|ab|eq f(r(2),2).13設(shè)n和m是兩個單位向量，其夾角是eq f(,3)，求向量a2mn與b2n3m的夾角解|n|m|1且m與n的夾角是eq f(,3)，mn|m|n|cos eq f(,3)11eq f(1,2)eq f(1,2).|a|2mn|eq r(2mn2)eq r(4114mn) eq r(4114f(1,2)eq r(7)，|b|2n3m|eq r(2n3m2)eq r(419112mn) eq r(419112f(1,2)eq r(7)，ab(2m

21、n)(2n3m)mn6m22n2eq f(1,2)6121eq f(7,2).設(shè)a與b的夾角為，則cos eq f(ab,|a|b|)eq f(f(7,2),r(7)r(7)eq f(1,2).又0，eq f(2,3)，故a與b的夾角為eq f(2,3).14已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|和|ab|.解(1)(2a3b)(2ab)61，解得ab6.cos eq f(ab,|a|b|)eq f(6,43)eq f(1,2)，又0，eq f(2,3).(2)|ab|2a22abb213，|ab|eq r(13).|ab|2a22abb23

22、7.|ab|eq r(37).15已知非零向量a，b，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角解由向量垂直得eq blcrc (avs4alco1(a3b7a5b0，,a4b7a2b0，)即eq blcrc (avs4alco1(7a216ab15b2，,7a230ab8b2，)化簡得eq blcrc (avs4alco1(abf(1,2)|b|2，,|a|b|，)cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(f(1,2)|b|2,|b|2)eq f(1,2)，a與b的夾角為eq f(,3).B組 能力提升一、選擇題1.已知向量，且與的夾角為，則（ ）AB2CD14【答

23、案】A【解析】，又，且與的夾角為，所以.故選：A2.設(shè)，若單位向量，滿足：且向量與的夾角為，則（ ）ABCD1【答案】A【解析】由題意得，又向量與的夾角為，得，又，則，所以.故選：A.3.在邊長為3的菱形中，則=（ ）AB-1CD【答案】C【解析】.故選:C.4已知平面上三點,滿足,則( )ABCD【答案】D【解析】,故為直角三角形,且故選:D.5.（多選）下列命題中，結(jié)論正確的有（ ）AB若，則C若，則ABCD四點共線；D在四邊形中，若，則四邊形為菱形.【答案】BD【解析】對于A，故A錯誤；對于B，若，則，所以，故，即B正確；對于C，則或與共線，故C錯誤；對于D，在四邊形中，若，即，所以四邊

24、形是平行四邊形，又，所以，所以四邊形是菱形，故D正確；故選：BD6（多選）若內(nèi)接于以為圓心，為半徑的圓，且，則下列結(jié)論正確的是( )ABCD【答案】BD【解析】由于內(nèi)接于以為圓心，為半徑的圓，且，所以，兩邊平方并化簡得，兩邊平方并化簡得，兩邊平方并化簡得.所以，A選項錯誤；，B選項正確.，C選項錯誤.，D選項正確.故選：BD二、填空題7已知向量eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()的夾角為120，且|eq o(AB,sup6()|3，|eq o(AC,sup6()|2.若Aeq o(P,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，且eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，則實數(shù)的值為_答案eq f(7,12)解析由eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()知 HYPERLINK eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()0，即eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()(eq o(A