數(shù)學(xué)物理方法(第三版)

1、數(shù)學(xué)物理方法1概述數(shù)學(xué)物理方法是物理系物理教育本科的必修課，是銜接數(shù)學(xué)與物理學(xué)的一門重要的基礎(chǔ)課程。本課程在高等數(shù)學(xué)和普通物理學(xué)的基礎(chǔ)上論述古典數(shù)學(xué)物理中的常用方法，為后續(xù)的理論物理系列課程做準(zhǔn)備，打下用數(shù)學(xué)知識(shí)定量解決復(fù)雜物理問(wèn)題的基礎(chǔ)。課程的主要目的是，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述物理問(wèn)題的能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，提高運(yùn)算能力。課程的主要內(nèi)容有：復(fù)變函數(shù)論和數(shù)學(xué)物理方程兩大部分.2教材及指導(dǎo)書 一、教材：梁昆淼編.數(shù)學(xué)物理方法，第三版，高等教育出版社，1998年6月 二、主要的參考書：。胡嗣柱、倪光炯編，數(shù)學(xué)物理方法 高等教育出版社。陸全康編，數(shù)學(xué)物理方法上、下，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社。

2、陸全康編，數(shù)學(xué)物理方法自學(xué)輔導(dǎo)，上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社。郭敦仁編，數(shù)學(xué)物理方法，北京：人民教育出版社。胡嗣柱、倪光炯編，數(shù)學(xué)物理方法，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社3上篇 復(fù)變函數(shù)論主要內(nèi)容:復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)拉普拉斯變換與傅立葉變換線性常微分方程的級(jí)數(shù)解法及特殊函數(shù)等。4第一章 復(fù)變函數(shù)11 復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的基本概念2.復(fù)數(shù)及其表示形式3.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)4.復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算51、什么是復(fù)數(shù)一個(gè)復(fù)數(shù)可表示為 z=x + i y, 其中x, y為實(shí)數(shù)，分別為復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部，記為:x=ReZ, y=ImZ;(i即虛單位)。復(fù)數(shù)的上述表示 稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)式.1)實(shí)部為零的復(fù)數(shù)

3、稱為純虛數(shù),虛部為零的復(fù)數(shù)z=x 稱為實(shí)數(shù)。全體實(shí)數(shù)只是全體復(fù)數(shù)的一部分.2)若實(shí)部x=0 ,虛部y=0 ,則z=0復(fù)數(shù)零.3)如果把x，y看做是平面上的點(diǎn)，那么復(fù)數(shù)Z就與平面上的 點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，這個(gè)平面稱作復(fù)平面。6虛軸實(shí)軸幅角模7可見，對(duì)于同一個(gè)復(fù)數(shù)，有無(wú)窮多個(gè)幅角，我們記作ArgeZ，這些幅角彼此相差2的整數(shù)倍，我們規(guī)定：介于0， 2 ）區(qū)間內(nèi)的幅角為復(fù)數(shù)z的幅角主值，記作argZ，所以有： = ArgeZ= argZ+ 2K（K=0,+1,+2） 8零點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)平面上有些個(gè)點(diǎn)比較特殊,比如:零點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn). (1)復(fù)數(shù)零的幅角無(wú)意義,模為0. (2)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的模為,幅角沒有意義.

4、關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的定義需要借助測(cè)地投影法。9測(cè)地投影法定義無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)A10111-1 課堂練習(xí)121、下列各式在復(fù)平面上表示什么？ （1）|z-a|=|z-b| （2）Rez1/213答案(1)由表達(dá)式可知,這是一條直線,即a,b兩點(diǎn)的垂直 平分線.(2)設(shè)z=x+iy，則ReZ=x，故原式即為X1/2,它表示為X1/2的半平面。141.2 復(fù)變函數(shù)15 為了更好的理解這個(gè)定義，我們需要了解以下概念：區(qū)域、鄰域、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、境界線、閉區(qū)域、開區(qū)域等。16鄰域：以Zo為圓心，以任意小正數(shù)為 半徑作一圓，則圓內(nèi)所有點(diǎn)的集 合稱為Zo的鄰域。內(nèi)點(diǎn)： Zo及其鄰域均屬于點(diǎn)集E，則該 點(diǎn)叫作E的內(nèi)點(diǎn)。境界線：

5、若Zo及其鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)， 也有不屬于E的點(diǎn)，則該點(diǎn)為境界 點(diǎn)，境界點(diǎn)的全體稱為境界線。外點(diǎn)： Zo及其鄰域均不屬于點(diǎn)集E，則 該點(diǎn)叫作E的外點(diǎn)。17境界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn) 外點(diǎn)區(qū)域境界線18區(qū)域：（1）點(diǎn)集中的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn) （2）點(diǎn)集是連通的，即點(diǎn)集中的任何兩點(diǎn)都可以用一條曲線連接起來(lái)，且線上的點(diǎn)全屬于該點(diǎn)集。閉區(qū)域：包括境界線的區(qū)域叫閉區(qū)域。開區(qū)域：不包括境界線的區(qū)域叫閉區(qū)域。19復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù) 一般地，當(dāng)z=x+iy在復(fù)平面上變化時(shí)，如果對(duì)于z的每一個(gè)值，都有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)值相對(duì)應(yīng)，則稱為z的復(fù)變函數(shù)。寫作： =f（z）=u（x，y）+iv（x，y） 其中u和v是x，y的實(shí)函數(shù)，如

6、果對(duì)于z的每一個(gè)值各取一個(gè)值則稱之為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù)。20初等函數(shù)舉例212223242526272829注意 當(dāng)我們討論的范圍是復(fù)變函數(shù)范疇內(nèi)時(shí)，|sinz|和|cosz|完全可以大于1。原因是：3031顯然，由于ArgZ的周期性，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)， Z有無(wú)限多個(gè)值。而且在復(fù)數(shù)領(lǐng)域里，Z為負(fù)數(shù)時(shí)，lnz是有意義的！32.以z軸作實(shí)部,顏色作虛部在這個(gè)圖像中,為了把不同虛部表示出來(lái),我們將它畫成了4個(gè)圖像,它們分別具有不同的顏色,也就是虛部的值是不同的,而實(shí)部的形狀則相同.注意,在實(shí)軸的正方向,曲面的表現(xiàn)就是我們熟悉的實(shí)數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)曲線的圖像. 33以z軸作虛部,顏色作實(shí)部這個(gè)圖像很像一個(gè)螺旋和上一個(gè)圖像完全不同. 343536371.3 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)38 從定義形式上看，復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)是完全一樣的，所以實(shí)變函數(shù)論中的相關(guān)規(guī)則往往可以適用于復(fù)變函數(shù)。例如： 但是，復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)卻比實(shí)變函數(shù)復(fù)雜的多，因?yàn)閷?shí)變函數(shù)x只能沿實(shí)軸逼近0，而復(fù)變函數(shù)z則可以沿任何曲線逼近于0，因此，復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)有更嚴(yán)格的要求。39首先看z則沿實(shí)軸逼近于0的情形：40再看z沿虛軸逼近于0的情形：41既然與路徑無(wú)關(guān)，以上兩式應(yīng)該相等，即以上條件為復(fù)數(shù)z可導(dǎo)的必要條件，又稱為柯西黎曼條件（簡(jiǎn)稱C-R條件）。421.4 解析函數(shù)43定理：對(duì)于區(qū)域上的連