學習數(shù)字信號處理dsp講義

1、中國科學技術(shù)大學16 FIR數(shù)字濾波器設(shè)計中國科學技術(shù)大學26.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性中國科學技術(shù)大學36.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性在線性相位條件下，（偶對稱） （奇對稱）群延遲均為中國科學技術(shù)大學4濾波器幅度響應(yīng)6.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性4種情況：中國科學技術(shù)大學5 h(n) 偶對稱，N 奇數(shù)6.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性H()以2k為周期，關(guān)于k 偶對稱中國科學技術(shù)大學66.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性中國科學技術(shù)大學76.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性 h(n) 偶對稱，N 偶數(shù)H()以4k為周期關(guān)于2k 偶對稱，關(guān)于(2k

2、+1) 奇對稱H(2k+1) =0，不能用來逼近高通中國科學技術(shù)大學86.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性中國科學技術(shù)大學96.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性 h(n) 奇對稱，N 奇數(shù)必有H(k)=0，可逼近帶通H()以2k為周期，關(guān)于k 奇對稱中國科學技術(shù)大學106.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性中國科學技術(shù)大學116.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性 h(n) 奇對稱，N 偶數(shù)H()以4k為周期關(guān)于2k 奇對稱，關(guān)于(2k+1) 偶對稱H(2k)=0，不能用來逼近低通中國科學技術(shù)大學126.1 線性相位下FIR濾波器的頻率特性中國科學技術(shù)大學136.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)

3、計FIR濾波器（窗函數(shù)法）中國科學技術(shù)大學146.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）一、基本設(shè)計方法對 hd(n) 截取有限個值形成h(n)給定Hd(ej)導出hd(n)故， H(ej)對Hd(ej)的逼近程度隨截取長度而增加因基于頻域特性的解析表達與窗函數(shù)中國科學技術(shù)大學15理想低通的逼近6.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）n中國科學技術(shù)大學16為構(gòu)造一個物理可實現(xiàn)的，長度為 N 的 FIR， 把hd(n)移動 個采樣點（設(shè)N為奇數(shù)） 截取N個點，得到矩形窗即6.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）中國科學技術(shù)大學17nnN-16.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波

4、器（窗函數(shù)法）中國科學技術(shù)大學18h(n)的頻率響應(yīng)，頻域卷積6.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）中國科學技術(shù)大學19過沖6.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）中國科學技術(shù)大學20 因為截短，產(chǎn)生過渡帶，寬度為窗函數(shù)的主瓣寬度。對矩形窗， 增加N，可使過渡帶變得陡峭，但對一個固定的窗函數(shù)不能改變肩峰值大小。 Gibbs效應(yīng)。6.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）中國科學技術(shù)大學216.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）中國科學技術(shù)大學22二、窗函數(shù)的選擇過渡帶的寬度：與窗函數(shù)的主瓣寬度有關(guān)肩峰值大?。号c窗函數(shù)的旁瓣大小有關(guān)選擇窗函數(shù)的原則： 主瓣窄，使

5、過渡帶陡峭 旁瓣低，減小肩峰和余振6.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）中國科學技術(shù)大學23 過渡帶與肩峰值的折中處理 或增加系統(tǒng)復(fù)雜度，兩者同時改善 選擇低旁瓣窗函數(shù)，大的止帶衰減。 選擇大的 N ， 控制過渡區(qū)寬度 選擇對稱的窗函數(shù)，可設(shè)計線性相位 FIR 6.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）中國科學技術(shù)大學24 主瓣 旁瓣 最小阻帶衰減矩形 4/N -13dB -21dB三角 8/N -25 -25Hanning 8/N -32 -44Hamming 8/N -42 -53Blackman 12/N -57 -74 6.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）常

6、用窗函數(shù)中國科學技術(shù)大學256.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）Hamming窗，低通中國科學技術(shù)大學266.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）Blackman窗，帶通中國科學技術(shù)大學276.2 傅立葉級數(shù)法設(shè)計FIR濾波器（窗函數(shù)法）Kaiser窗，帶阻中國科學技術(shù)大學286.3 頻率抽樣設(shè)計方法中國科學技術(shù)大學296.3 頻率抽樣設(shè)計方法一、基本方法DFT法基于頻域取樣定理給定頻率響應(yīng)Hd(ej) ，進行等間距取樣，則或中國科學技術(shù)大學30二、頻率響應(yīng)的逼近6.3 頻率抽樣設(shè)計方法頻率響應(yīng)的解析表達頻率取樣與內(nèi)插函數(shù)的組合 H(K)對內(nèi)插函數(shù)加權(quán)中國科學技術(shù)大學316

7、.3 頻率抽樣設(shè)計方法理想低通濾波器頻域取樣：02，N330.520.52中國科學技術(shù)大學326.3 頻率抽樣設(shè)計方法問題：對應(yīng)于取樣點的頻率，衰減無窮大 取樣點外，最小衰減不足20 dB中國科學技術(shù)大學33形式上： 取樣點之間的頻率響應(yīng)通過內(nèi)插函數(shù)得到原理上： 理想低通的沖激響應(yīng)序列在時域上無限長無論 N 多大，也不能滿足頻域取樣定理6.3 頻率抽樣設(shè)計方法中國科學技術(shù)大學34改進思路：修改|Hd(ej)|，展寬過渡帶，設(shè)置非零點6.3 頻率抽樣設(shè)計方法0.5中國科學技術(shù)大學35改進后的頻率響應(yīng)止帶最小衰減 20 dB6.3 頻率抽樣設(shè)計方法過渡帶展寬1倍，至中國科學技術(shù)大學36改進后形式上

8、：增加了非零點取樣，抵消通帶內(nèi)的內(nèi)插函數(shù)原理上：修改后的|Hd(ej)|，頻率變化減弱，時域序列能量隨時間減少6.3 頻率抽樣設(shè)計方法中國科學技術(shù)大學37三、優(yōu)化考慮1）增加過渡帶非零點取樣點，改善止帶衰減特性 提高取樣點數(shù)（增加 N），壓縮過渡帶過渡帶非零點過渡帶寬止帶衰減無20 dB150 dB270 dB6.3 頻率抽樣設(shè)計方法中國科學技術(shù)大學382）優(yōu)化非零點取值選擇H1，H2，使6.3 頻率抽樣設(shè)計方法通帶止帶中國科學技術(shù)大學39H1與H2分別是對應(yīng)頻率點內(nèi)插函數(shù)的系數(shù)H(ej)是H1，H2的線性函數(shù)設(shè)Hd(ej)是低通，通帶至第M-1個采樣點截止則6.3 頻率抽樣設(shè)計方法中國科學技

9、術(shù)大學406.3 頻率抽樣設(shè)計方法中國科學技術(shù)大學416.3 頻率抽樣設(shè)計方法2H1H1H2H2中國科學技術(shù)大學426.3 頻率抽樣設(shè)計方法低通濾波器：p=0.2， s=0.3， 50dB中國科學技術(shù)大學436.3 頻率抽樣設(shè)計方法過渡帶1點展寬，未優(yōu)化中國科學技術(shù)大學446.3 頻率抽樣設(shè)計方法過渡帶1點展寬，優(yōu)化中國科學技術(shù)大學456.3 頻率抽樣設(shè)計方法過渡帶2點展寬，未優(yōu)化中國科學技術(shù)大學466.3 頻率抽樣設(shè)計方法過渡帶2點展寬，優(yōu)化中國科學技術(shù)大學476.4 FIR濾波器的等波紋逼近中國科學技術(shù)大學486.4 FIR濾波器的等波紋逼近一、基本原理幅度響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計： 帶內(nèi)誤差最少 過

10、渡帶最窄 系統(tǒng)階數(shù)最低在通帶和止帶內(nèi)分別進行等波紋逼近，最大誤差極小化中國科學技術(shù)大學496.4 FIR濾波器的等波紋逼近中國科學技術(shù)大學50在我看來，Butterworth比Chebyshev整潔，不論從極點分布還是從幅度響應(yīng)上。但是Chebyshev濾波器雖然長得不是那么帥，有其優(yōu)勢：也就是在平坦性，過度帶寬度，復(fù)雜度與參數(shù)數(shù)量上尋找了一個令人滿意的折衷點。平坦性差一點，參數(shù)多一個，但是能讓性能保持不差，但是過渡帶與階數(shù)可以改善。而且基本上是做到了“竭盡所能”，為什么這么說呢，在波動帶里面，幾乎是用足了每一點點允許波動的空間（等幅波動），參數(shù)也只多一個，最終等待機會來了一個大跳躍直降谷底。

11、從這一點來看，Chebyshev濾波器似乎比Butterworth更精明一點：Butterworth追求完美，而Chebyshev放棄完美換來了整體的優(yōu)勢。 來自你們同學的評論中國科學技術(shù)大學516.4 FIR濾波器的等波紋逼近線性相位FIR濾波器幅度特性的一般表達：P()表達為r個余弦諧波函數(shù)之和，中國科學技術(shù)大學52h(n)對稱性N奇偶性Q()P()偶對稱奇數(shù)1偶對稱偶數(shù)奇對稱奇數(shù)奇對稱偶數(shù)線性相位4種情況下 Q()與P()的定義中國科學技術(shù)大學53設(shè)計目標使加權(quán)逼近誤差函數(shù)為等波紋，Chebyshev 逼近這里，6.4 FIR濾波器的等波紋逼近選擇一組系數(shù) 使中國科學技術(shù)大學546.4

12、FIR濾波器的等波紋逼近解的存在性：交替定理P()是 的Chebyshev逼近的充要條件：E()在 中，至少有r+1的極值點i，i=1，2，.，r+1，使r 是用于逼近的余弦諧波函數(shù)的個數(shù)中國科學技術(shù)大學55 E()的極值由兩部分組成： H()的極值點 E()獨有的極值點，H()的頻率邊界點6.4 FIR濾波器的等波紋逼近H()的極值點H()的頻率邊界點中國科學技術(shù)大學566.4 FIR濾波器的等波紋逼近極值點分析：4 種線性相位 FIR 濾波器h(n)對稱性N奇偶性H()的余弦個數(shù)極點數(shù)Ne偶對稱奇數(shù) 偶對稱偶數(shù) 奇對稱奇數(shù) 奇對稱偶數(shù) 中國科學技術(shù)大學57結(jié)論：若 H() 是由 r 個余弦

13、函數(shù)組成，則最多提供 r 個極點交替定理要求 r 個余弦函數(shù)和至少有r+1個極點r 個可能極點由 H() 提供，其余極點由 E() 提供幅度值每變換一次，在邊界上能提供 2 個極值點特別地，E()取滿它所有可能有的極點數(shù)目時：最多波紋濾波器（超波紋濾波器）設(shè)計6.4 FIR濾波器的等波紋逼近中國科學技術(shù)大學58帶通誤差函數(shù) E() 提供 4 個邊界極點6.4 FIR濾波器的等波紋逼近中國科學技術(shù)大學59二、最多波紋濾波器設(shè)計以低通濾波器為例系統(tǒng)階數(shù) N 通帶起伏 1 止帶起伏 2 通帶截止頻率c 止帶起始頻率s 6.4 FIR濾波器的等波紋逼近截止頻率c ，止帶起始頻率s不易精確實現(xiàn)中國科學技

14、術(shù)大學60h(n) 偶對稱，N 奇數(shù)最多波紋設(shè)計，誤差函數(shù) E() 有 個極值其中 H() 取滿 個極值6.4 FIR濾波器的等波紋逼近H()cs中國科學技術(shù)大學61極值點分配通帶止帶截止頻率c的與止帶頻率s的順序位置：6.4 FIR濾波器的等波紋逼近中國科學技術(shù)大學62逼近方程（ ）個通帶止帶6.4 FIR濾波器的等波紋逼近中國科學技術(shù)大學636.4 FIR濾波器的等波紋逼近 c，s不是H()的極值點；其余 -2個極值點方程：中國科學技術(shù)大學646.4 FIR濾波器的等波紋逼近通帶止帶中國科學技術(shù)大學65N+1個未知數(shù)，解法1，用數(shù)值迭代法，求解非線性方程組，解出 ，得到最優(yōu)逼近的濾波器解法

15、2，Lagrange 多項式內(nèi)插，避免非線性方程求解，用 Lagrange 多項式逼近 ，求各極值點，解出N+1個非線性方程中國科學技術(shù)大學66最多波紋法優(yōu)化的意義：指標 N，1 和2按要求實現(xiàn)調(diào)整c與s的位置，過渡帶寬優(yōu)化， 最窄 c與s不要求精確實現(xiàn)6.4 FIR濾波器的等波紋逼近中國科學技術(shù)大學676.4 FIR濾波器的等波紋逼近c sc sH()H()中國科學技術(shù)大學68三、Remez交換算法設(shè)計條件：濾波器階數(shù)N，邊界頻率 c，s， 頻帶權(quán)重W()原理：通帶、止帶等波紋逼近目標：以多項式近似 確定極值頻率點系統(tǒng)函數(shù)6.4 FIR濾波器的等波紋逼近中國科學技術(shù)大學696.4 FIR濾波

16、器的等波紋逼近誤差方程極值點數(shù) r 由濾波器階數(shù) N 決定在極值點上的誤差k=0，1，r中國科學技術(shù)大學70算法過程： 極值頻率點初值：均勻分布6.4 FIR濾波器的等波紋逼近通帶止帶中國科學技術(shù)大學716.4 FIR濾波器的等波紋逼近形成關(guān)于P()的多項式內(nèi)插公式和逼近誤差中國科學技術(shù)大學726.4 FIR濾波器的等波紋逼近在密集的頻率點上計算誤差公式其中P()為多項式內(nèi)插公式若有頻率點j 使得 |E(j)|則選取j 作為新的極值頻率點，返回 直至極值頻率收斂，迭代完成迭代過程中， 與 保持不變 根據(jù)多項式內(nèi)插公式P()求出a(n) a）IDFT；b）求解線性方程中國科學技術(shù)大學73四、算法討論1）Remez算法處理不要求=0, 為極值點 不是最多波紋濾波器2）對給定的N，c，s及W()，將有一個最小的、不可事先設(shè)置的等波紋逼近誤差 過渡帶 s-c，事先確定，可設(shè)置3）通帶與止帶間的誤差分配由權(quán)重W()調(diào)節(jié)6.4 FIR濾波器的等波紋逼近通帶波紋K止帶波紋中國科學技術(shù)大學744）限定條件下的優(yōu)化 濾波器階數(shù)N，帶內(nèi)誤差，過渡帶 最多波紋算法帶內(nèi)誤差與 N 給定，算法選擇過渡帶，使之最窄 Remez算法過渡帶與 N 給定，算法選擇帶內(nèi)誤差，使之最小 其他算法誤差與過渡帶同時給定， N 最小6.4 FIR濾波器的等波紋逼近中國科學技術(shù)大學75通帶截止頻率： p=0.