ch5常微分方程的數(shù)值方法

1、第5章 常微分方程的數(shù)值方法近似解析法、數(shù)值方法初值問題本章主要研究求解一階常微分方程初值問題的幾個常用的數(shù)值方法。且f(x,y)滿足李普希茨（Lipschitz)條件，即存在常數(shù)L，使則由常微分的理論知道，初值問題（5.1）在區(qū)間a,b上存在唯一解。1.求解區(qū)間a,b的離散化 5.1 建立常微分數(shù)值方法的基本思想與途徑 微分方程數(shù)值解法的基本思想：把求解區(qū)間和方程離散化，求出方程的解y(x)在一系列離散點上的近似值。因此，不同的離散方式就產(chǎn)生不同的數(shù)值解法。2.將微分方程離散化（1）差商逼近法：用差商代替導數(shù)。（2）數(shù)值積分法：（3）Taylor展開法：用 處的向前、向后差商分別代替（5.1

2、）左邊的微商，實現(xiàn)微分算子離散化。即 5.2 歐拉（Euler)方法及其截斷誤差和階 5.2.1 Euler公式Euler方法是一種最 簡單的顯式單步法。 5.2.1 Euler公式顯式Euler公式隱式Euler公式 梯形公式（隱式公式）差分公式單步法 5.2.2 梯形公式的計算 下面以 梯形公式為例，介紹隱式公式的迭代算法。對于隱式方法，如果f(x,y)是y的線性函數(shù)，則隱式公式可顯式計算。但當f(x,y)是y的非線性函數(shù)時，如 5.2.2 梯形公式的計算 下面以 梯形公式為例，介紹隱式公式的迭代算法。當h很小時，迭代過程（5.7）是收斂的。？因為f(x,y)滿足Lipschitz條件下面

3、以 梯形公式為例，介紹隱式公式的迭代算法。所以這也是迭代過程（5.7）收斂的充分條件。 5.2.3 改進的Euler法 稱為改進的Euler公式，這是一種一步顯式公式。它的嵌套形式：預報校正 梯形公式雖提高了精度，但它是一種隱式算法，需要借助于迭代過程求解，計算量大。而Euler法雖精度低，但他是一種顯式算法，其計算量小。能否綜合使用這兩種方法？ 5.2.3 改進的Euler法 改進的Euler公式：公式中用到的斜率是兩個點的斜率的加權(quán)平均，它為構(gòu)造新的計算法提供了新的途徑。下節(jié)介紹的R-K方法就是這種思想的體現(xiàn)和發(fā)展。P51 例5.1改進的Euler公式的優(yōu)點：實現(xiàn)了隱式顯算的目的，且減少了

4、計算量。公式（5.9）還可以寫為： 5.2.4 局部截斷誤差 初值問題（5.1）的單步法可用一般形式表示為：隱式單步法顯式單步法 5.2.4 局部截斷誤差定義5.1 設(shè)y(x)是初值問題（5.1）的準確解，稱隱式單步法顯式單步法為顯式單步法（5.11）的局部截斷誤差。 5.2.4 局部截斷誤差定義5.1 設(shè)y(x)是初值問題（5.1）的準確解，稱顯式單步法為顯式單步法（5.11）的局部截斷誤差。例5.2 求顯式Euler法和隱式Euler法的局部截斷誤差。 5.2.4 局部截斷誤差定義5.1 設(shè)y(x)是初值問題（5.1）的準確解，稱為顯式單步法（5.11）的局部截斷誤差。定義5.2 設(shè)y(x

5、)是初值問題（5.1）的準確解，若存在最大整數(shù)p使顯式單步法（5.11）的局部截斷誤差滿足則稱方法（5.11）是p階的，或稱具有p階精度。例5.3 P125 練 習設(shè)有求常微分方程初值問題求其局部截斷誤差及階數(shù)。 5.4 單步法收斂性和穩(wěn)定性5.4 單步法的收斂性顯式單步法差分公式（5.26）在理論上是否合理，要看差分方程的解這是差分格式的收斂性問題。這是差分格式的穩(wěn)定性問題。一個不穩(wěn)定的差分格式會使計算解失真或計算失敗。定理5.1 對于一個p階的顯式單步法（5.11），若滿足如下條件（2）微分方程的初值是精確的。則該方法收斂，其整體截斷誤差為例5.6 P132 定理5.1表明：判斷單步法的收斂性，歸結(jié)為驗證增量函數(shù)能否滿足Lipschitz條件。5.4.2 單步法的穩(wěn)定性若算法的執(zhí)行結(jié)果與算法精確解之間的誤差（它是由舍入誤差造成的）很大，就說該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的，否則是數(shù)值穩(wěn)定的。 理論上成立的算法，在計算機上機算時，由于初值的誤差在計算過程中的傳播，而導致結(jié)果的失真。顯式Euler方法的穩(wěn)定性：將顯式Euler法用于模型（5.27），有對于梯形公式，應(yīng)用于模型方程（5.27），有任何一種單步法應(yīng)用于模型方程（5