同濟(jì)大學(xué)版高數(shù)習(xí)題答案

1、同濟(jì)大學(xué)版高數(shù)習(xí)題答案習(xí)題一1. 解: 2. 解: CXA=XA=1,2,3,4,5,61,2,3=4,5,6CXB=XB=1,2,3,4,5,62,4,6=1,3,5=CCXACXB=4,5,61,3,5=1,3,4,5,6CXACXB=4,5,61,3,5=5.3.解: (1)不正確. 例如: A=1,B=1,2,3,C=2,3有AB=AC=1,2,3,但BC.(2)不正確. 例如: A=1,2,B=1,C=1,3有AB=AC=1,但BC.4.解: (1) 且,有,即A中不同的元素的有不同的像,f是單射.又,有,使,即B中每個元素都有原像,f是滿射.綜上所述,f是一一映射.(2),有,使即

2、B中每個元素都有原像,f為滿射.但,當(dāng),且,如為整數(shù)時,有,即A中不同的元素有相同的像,f不是單射.綜上所述, f為滿射,但不是單射.(3),且,有,即A中不同的元素有不同的像,f是單射.又,即B中的元素0沒有原像,f不是滿射.綜上所述,f是單射.,但不是滿射.5. 解: (1)相等.因為兩函數(shù)的定義域相同,都是實數(shù)集R;由知兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同;所以兩函數(shù)相等.(2)相等.因為兩函數(shù)的定義域相同,都是實數(shù)集R,由已知函數(shù)關(guān)系式顯然可得兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同,所以兩函數(shù)相等.(3)不相等.因為函數(shù)的定義域是,而函數(shù)的定義域是實數(shù)集R,兩函數(shù)的定義域不同,所以兩函數(shù)不相等.6. 解: (1)要

3、使函數(shù)有意義,必須即所以函數(shù)的定義域是.(2)要使函數(shù)有意義,必須即所以函數(shù)的定義域是-3,0)(0,1).(3)要使函數(shù)有意義,必須即所以函數(shù)的定義域是.(4)要使函數(shù)有意義,必須即即或,(k為整數(shù)).也即 (k為整數(shù)).所以函數(shù)的定義域是, k為整數(shù).7.解: 由已知顯然有函數(shù)的定義域為(-,+),又當(dāng)時,可以是不為零的任意實數(shù),此時,可以取遍-1,1上所有的值,所以函數(shù)的值域為-1,1.8. 解: ,9.解: 10.解: 11. 證:由解得,故函數(shù)的反函數(shù)是,這與是同一個函數(shù),所以和互為反函數(shù).12. 解: (1)由解得,所以函數(shù)的反函數(shù)為.(2)由得,所以,函數(shù)的反函數(shù)為.(3)由解得

4、所以,函數(shù)的反函數(shù)為.(4)由得,又,故.又由得,即,故可得反函數(shù)的定義域為0,2,所以,函數(shù)的反函數(shù)為.13. 解: (1)是偶函數(shù).(2)函數(shù)是奇函數(shù).14. 解: (1)函數(shù)的定義域為(-,+), 當(dāng)時,有,當(dāng)時,有,故有.即函數(shù)有上界.又因為函數(shù)為奇函數(shù),所以函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱,由對稱性及函數(shù)有上界知,函數(shù)必有下界,因而函數(shù)有界.又由知,當(dāng)且時,而當(dāng)且時,.故函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào).(2)函數(shù)的定義域為(0,+),且,使.取,則有,所以函數(shù)在定義域內(nèi)是無界的.又當(dāng)時,有故.即當(dāng)時,恒有,所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.15. 解: (1)是由復(fù)合而成.(2)是由復(fù)合而成.(3)是由復(fù)合而成.(

5、4)是由復(fù)合而成.16.證: (1)設(shè),則,有故為偶函數(shù).(2)設(shè)則,有故為奇函數(shù).17.解: 設(shè)年銷售批數(shù)為x, 則準(zhǔn)備費為103x;又每批有產(chǎn)品件,庫存數(shù)為件,庫存費為元.設(shè)總費用為,則.18. 解: 當(dāng)x能被20整除,即時,郵資;當(dāng)x不能被20整除時,即時,由題意知郵資.綜上所述有其中,分別表示不超過,的最大整數(shù).19. 證: (1)由得解方程得,因為,所以,所以的反函數(shù)是(2)由得,得;又由得,所以函數(shù)的反函數(shù)為20. 解: 從而.由得定義域為.21. 解: 當(dāng)時,.,當(dāng)n無限增大時,有三種變化趨勢:趨向于,趨向于0,趨向于.,當(dāng)n無限增大時,變化趁勢有兩種,分別趨于1,-1.22.

6、解: ,要使,只須.取,則當(dāng)時,必有.當(dāng)時,或大于1000的整數(shù).,要使只要即即可.取,則當(dāng)時,有.當(dāng)時, 或大于108的整數(shù).23. 證: ,要使,只要.取,則當(dāng)nN時,恒有.故.(2) ,要使只要,取,則當(dāng)nN時,恒有.故.(3) ,要使,只要,取,則當(dāng)nN時,恒有,從而.(4)因為對于所有的正整數(shù)n,有,故,不防設(shè),要使只要取則當(dāng)時,恒有故.24.證: ,由極限的定義知,當(dāng)時,恒有.而,當(dāng)時,恒有,由極限的定義知但這個結(jié)論的逆不成立.如但不存在.25. 解: 而,當(dāng)時,.(2)記則有即而故即.(3)即而故.(4)而故.26. 證: (1),不妨設(shè),則.故對所有正整數(shù)n有,即數(shù)列有上界.又

7、顯然有,又由得,從而即,即數(shù)列是單調(diào)遞增的.由極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則知,數(shù)列有極限.設(shè),則,于是,(不合題意,舍去),.(2) 因為,且,所以, 即數(shù)列有界又由知與同號，從而可推得與同號，而故, 即所以數(shù)列單調(diào)遞增，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，的極限存在.設(shè), 則，解得(不合題意，舍去).所以27. 證：(1),要使,只須,取，則當(dāng)時，必有,故.(2),要使,只須,取，則當(dāng)時，必有,故.(3) ,要使,只要取，則當(dāng)時，必有,故.(4) ,要使,只須，取，則當(dāng)時，必有故.(5) ,要使,只要取，則當(dāng)時，必有,故.28. 解：.由無窮大與無窮小的關(guān)系知，.(7)因為由已知知，分式的分子與分母的次數(shù)相同，且x項的

8、系數(shù)之比為，于是且解得.29.解：而而(14)令則當(dāng)時，.所以(利用(13)題的結(jié)果).(16)令，則而所以30. 解：當(dāng)時，是比高階的無窮小量.31.解：當(dāng)時，是與同階的無窮小.當(dāng)時，是與等價的無窮小.32. 解：(1)因為當(dāng)時，所以(4)因為當(dāng)時，,所以(5)因為當(dāng)時，所以.(7)因為當(dāng)時，,所以(8)因為當(dāng)時，所以.(9)因為當(dāng)時，,所以(10)因為當(dāng)時，所以(11)因為當(dāng)時，所以(12)因為當(dāng)時，所以(13)因為而當(dāng)時，故又當(dāng)x0進(jìn)，所以(14)因為當(dāng)時，故所以33. 解：(6)令，則當(dāng)時，.34. 解：(1)令，則于是：即即即.(2)令，則于是即即故即.(3)令，則于是即從而故即.(

9、4)令，則于是：即即.35.解：因為所以不存在.(2)因為不存在，所以不存在.36. 解：(1)由初等函數(shù)的連續(xù)性知，在（0，1），（1，2）內(nèi)連續(xù)，又而，在處連續(xù)，又，由，知在處右連續(xù)，綜上所述，函數(shù)在0，2)內(nèi)連續(xù). 函數(shù)圖形如下：圖1-2(2) 由初等函數(shù)的連續(xù)性知在內(nèi)連續(xù)，又由知不存在，于是在處不連續(xù).又由及知，從而在x=1處連續(xù)，綜上所述，函數(shù)在及內(nèi)連續(xù)，在處間斷.函數(shù)圖形如下：圖1-3(3)當(dāng)x0時，由初等函數(shù)的連續(xù)性知在內(nèi)連續(xù)，又由知不存在，從而在處間斷.綜上所述，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在處間斷.圖形如下：圖1-4(4)當(dāng)|x|=1時，當(dāng)|x|1時，即由初等函數(shù)的連續(xù)性知在(,1),(1

10、,1),(1,+)內(nèi)均連續(xù)，又由知不存在，從而在處不連續(xù).又由知不存在，從而在處不連續(xù).綜上所述，在(,1),(1,1),(1,+)內(nèi)連續(xù)，在處間斷.圖形如下：圖1-537. 解：是函數(shù)的可去間斷點.因為函數(shù)在x=1處無定義，若補(bǔ)充定義，則函數(shù)在x=1處連續(xù)；x=2是無窮間斷點.當(dāng)時，.為可去間斷點，分別補(bǔ)充定義f(0)=1,，可使函數(shù)在x=0,及處連續(xù).();為無窮間斷點(3)當(dāng)時，呈振蕩無極限，x=0是函數(shù)的振蕩間斷點.(第二類間斷點).(4)x=1是函數(shù)的跳躍間斷點.(第一類間斷點.)38. 解：補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補(bǔ)充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).39. 解：(1)在上顯然連續(xù)，而且,當(dāng)，即時，在處連續(xù)，所以，當(dāng)時，在上連續(xù).(2)在內(nèi)顯然連續(xù).而當(dāng)，即時，在處連續(xù)，因而在上連續(xù).40. 證：令，則在0,1上連續(xù)，且,由零點定理，使即即方程有一個小于1的正根.41.證：令，則在上連續(xù)，且,若，則就是方程的根.若，則由零點定理得.,使即即，即是方程的根，綜上所述，方程至少有一個不超過的正根.42.